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文档简介

1、第四章 留数定理4.2 利用留数定理计算实变函数定积分4.1 留数定理4.1 留数定理若l所围区域解析，则考虑积分若l所围区域包围一个奇点z0 ，展开f(z)，则由(l不包围)(l包围)a-1称为f(z)在 奇点z0的留数若l所围区域包围n个奇点b1 b2 b3 .， bn , 则称为留数定理如何求a-1？若z0为单极点若若z0为f(z)的m阶极点m阶极点单极点留数定理求 Resf(0)例：解：求 Resf(1)例：解：的极点，求留数例：确定函数解：例：计算回路积分解：被积函数的奇点为单位圆 z = 1 内的奇点为4.2 利用留数定理计算实变函数定积分(1)、无穷积分若f(z) 在实轴上无奇点

2、，在上半平面除有限个孤立奇点bk (k=1,2,n) 外处处解析；在包括实轴在内的上半平面中，当z 无穷时，zf(z)一致趋于零，则o-RRCR则至少高于 两阶证明：o-RRCR例：计算积分解：上半平面奇点为z0 = i例：计算积分解：被积函数的奇点为上半平面为n阶极点z0 = in为整数(2)、三角函数有理积分积分若R(cos, sin)为 cos, sin 的有理函数，且在0，2上连续，则其中表示f(z)在单位圆内所有奇点的留数和证明：例：计算积分解：令有两个一阶极点(a1)有两个一阶极点为单极点，在圆内例：计算积分解：令(a1)有一个奇点z=0,为2n+1阶极点(3)、含三角函数的无穷积分其中F(z)为偶数，G(x)为奇数若f(z) 在实轴上无奇点，在上半平面除有限个孤立奇点bk (k=1,2,n) 外处处解析；在包括实轴在内的上半平面中，当z 无穷时，f(z)一致趋于零，且m0则证明：o-RRCRo-RRCR由约定当引理o-RRCR由约定当引理z 无穷时，f(z)在包括实轴在内的上半平面中，一致趋于零，则例：计算积分解：有两个一

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