高斯定理基本情形simplified

1、第五章“静电场”题型、按照带电体分类：基本带电体：7种情况（参见表1）按带电体分两类d点按带电体分两类d点+球壳，球壳+球壳，球体+球壳，线+筒，筒+筒，柱+筒，线系复合:面系复合：平面+平面）二、计算内容求带电体在空间产生的电场强度E U带电体产生的电势（或者电势差）三、解题步骤声明：请参见第一章“声明”部分。（一）求带电体电场分布的解题步骤基本带电体电场分布解题步骤（1）场强方向分析（微元法or记忆）和等E面分析（微元法or记忆），记得要表达清楚（要设坐标系的话，也 讲一下怎么设定）；（2）充分使用等E面构造一个闭合的高斯面（根据电荷分布情况，决定是否需要分区）（a）“点系”一直接使用球面

2、形高斯面；（b）“线系”、“面系”一等E面不封闭的，用等E面加上和场强平行的简单平面来“封口”；（3）计算高斯定理公式的右边（根据电荷分布情况，如果需要分区就分区计算）；（4）计算高斯定理公式的左边（即高斯面上的电场通量）切记计算会非常简单（作为数学专业的学生，你有义 务理解结果是怎么来的）；（5）从高斯定理得到场强大小（根据电荷分布情况，如果需要分区就要分区给出结果）。复合带电体电场分布解题步骤方法一（推荐）：（1）先得到每个基本带电体（总共7种）单独存在时候的空间电场强度分布。这个可以直接给出来，或者想从头求一遍都行，看你的心情而定。（2）指出：根据电场的叠加原理，总电场等于“每个带电体单

3、独存在时候的电场强度”的矢量和（这是必需的）。（3）最后实际计算出矢量和来（建议画图，看着分一分区域，然后认真算一下。虽然极为简单，但是每次都有 一批人做错，让广大阅卷教师对这批神人敬佩不已）。方法二（这种路子算起来，容易失误的地方相对多一点）：使用和1中所述一样的方法来做即可。（二）求带电体电势分布的解题步骤（1）如果电场强度未知，则使用（一）中所述合适的方法算出任意P点的电场强度；如果已知，则直接使用；（2）选取合适的电势零点：（a）如果带电体只占据有限的空间，则选择无穷远点为电势零点；（b）如果带电体占据无限的空间，则选择一有限远点为电势零点；（3）选取合适的路径，计算下列积分得到P点的

4、电势：零,点U（P）=U（P）-0=U（P）-U（零点）=J E（r）/r（沿你自己选择的捷径积分）。注意：（a）“捷径”就是最容易计算积分的路径，你可自行选择；（b）如果电场强度有分区，那么电势也要分段计算。（4）如果要求的是两点之间的电势差，可选两种方法之一：（a）用（3）的方法先求分别出两点的电势，再求两 电势之差；（b）使用两点电势差的计算公式：Up = U（P）-U（Q）= TE（r）*r（沿你自己选择的“捷径”积分） p点直接计算。从成木上说，如果仅仅是计算电势差的话，用方法（b）更划算一些。四、典型例题和习题（一）基本带电体求基木带电体的电场分布（具体参见表1）。在1的基础上，求

5、空间任意点的电势（或者求空间任意两点的电势差）。【例题1】求均匀带电球体（半径日，带电+ Q）的空间电场分布，电势分布。解：下面是严格按照前面解题步骤来计算的过程。（1）空间电场分布：建立球坐标系（原点在带电球体球心处），则我们要求的是空间任意一点P处的电场强度， 设P点距离原点为r。场强方向沿球坐标系的径向向外。根据电荷分布，空间分为内区：r R。构造一个过P点（半径为r ）的同心球面作为高斯面（关于高斯面的构造是关键点之一）。高斯面上处处电场强度大小相等，且处处场强方向和球面面元垂直。先讨论内区：r R，此地略去过程（诸位考场上可不能偷懒），仅写出结果:高1E = Q。矢量式为:4ks r

6、20e = Q r。4兀8 r 2 00（2）空间电势分布：即我们要求空间任意一点P处的电势。电场分布已经由（1）求得。电势零点：设为无穷远点3 （最基本要点，不能少）。选择球坐标系的径向为路径，计算积分3U（P）=j E（r）件（沿径向积分）p点的值，即可故点电势。电场分布存在分区问题，所以电势也要分区计算。内区：r R 类似过程，略去细节（你们自己补上）U(P)= f E(r)件=f 4 Q 匕件=f 4 Q dr = -QP 点r 0r 00【习题】其它基本带电体的电场分布（参见表1） （二）复合带电体求复合带电体的电场分布。在1的基础上，求空间任意点的电势（或者求空间任意两点的电势差，

7、一般复合带电体大多求电势差）。【例题2】求由一无限长均匀带电薄圆筒（半径，单位长度带电+人）和一同轴无限长均匀带电薄圆筒（半径R/R，单位长度带电顷）形成的复合带电体形成的空间电场分布和两筒之间的电势差。解：（1）求电场分布。使用方法一。建立柱坐标系，z轴就是沿着筒的轴线。查表得下列结果：小筒的空间电场分布为： TOC o 1-5 h z 人 内区(r R )E =r112 说 r o0大筒的空间电场分布为：-人. 内区（r R ）E =r0根据电场的叠加原理，总电场等于“每个带电体单独存在时候的电场强度”的矢量和（这话一定要说）。 那么复合带电体的空间电场分布为（虽然很简单，依然请各位画个图

8、，看清楚再写出来）/区（r R2）E = 0（2）求电势差目标是求小筒和大筒之间的电势差。这个时候我们直接使用电势差的公式来计算是最划算的（因为不用再去设电 势零点，也不用再去求线和筒了的电势分别是多少，省很多力）。当然，你要明白的是：整个小筒上各处电势是相同的，而整个大筒上的电势也是相同的（不知道原因的人，回去 面壁）。因此，要求电势差的时候，可以在一个垂直于z轴的平面内，沿径向进行如下的计算：u两筒=u （小筒）-u （大筒）=n（r时（在一个垂直于乞轴的平面内，径向路径） 小筒人八 r 2k8 r人八 r 2k8 r 0小筒R10lnR10这就是电势差。 【习题】参见本章之“一、按带电体

9、分类”中复合带电体部分所列情形。表1:基本带电体的电场分析目标：求出任意给定点P处的电场强度E （矢量）。带电体形状1任意点场强方向等E面形状EP点场 强方向 和该处 等E面 几何关 系高斯面囹高斯面上 电场通量 5高斯面内电荷代数和6E （仅是大小）E（矢量表达式，妇表示所选的单0位矢量，请自行搞清楚其方向）点电荷（电量Q）（球坐 标系中 的）径向同心球面垂直同心球面，半 径r4 兀 r 2 E q =QiE = Q4ks r 20曰Q八E =r4ks r 2 0 0均匀带电薄球壳（电量Q）（球坐 标系中 的）径向同心球面垂直同心球面，半 径r4 兀 r 2 E内区：r R q =Q内区：r

10、 RE =H4兀& 2内区: r Re=*r4兀&2 .0均匀带电球体（电量Q）7（球坐 标系中 的）径向同心球面垂直同心球面，半 径r4 兀 r 2Ei内区：r R q =Qii0内区：r R E = F4赤r 2 00内区：r R e=r 4赤 r 2 0 0*无限长均匀带电细线（线电荷密 度门）（柱坐 标系中 的）径向同轴柱面垂直同轴柱面（半 径r，长度l） +顶+底=“罐 头筒”2 冗 rlE q =miiE = 2双r0曰n 八E =r2kg r 00无限长均匀 带电薄圆筒 （单位长度 带电不）7（柱坐 标系中 的）径向同轴柱面垂直同轴柱面（半 径r，长度l） +顶+底=“罐 头筒”

11、2兀 rlE内区：r R q = mi内区：r RE = 2兀汗内区：r R e= r -2kg r 0无限长均匀带电圆柱（单位长度 带电不）7（柱坐 标系中 的）径向同轴柱面垂直同轴柱面（半 径r，长度l） +顶+底=“罐 头筒”2 冗 rlE1内区：r R q = nii内区：r RE = 2ks r 00内区：r RE =r2kg r 00无限大均匀 带电薄平面 （面电荷密度O）垂直于 带电平 面平行平面垂直“任意顶面形状（顶/底面积S）的盒子（顶+底+侧面）”2 SE q =bSiie2&0_Q_.E = r 2g 00注：1对于“点系”，建立球坐标系，原点就在那个“点”上；对于“线系

12、”，建立柱坐标系，Z轴就沿着那条“线”；“面系”，建立平 面直角坐标系，XY平面就在“面”上。任意点处电场E的方向，在表中第二列描述之外，还要根据电荷的电性来决定最终的方向：如果是正电荷，则带电体发出电场 线，反之带电体接收电场线。比如，带正电的“点系”，则电场方向沿球坐标系的径向向外（反之，带负电的则电场方向沿径向向 内）。而最后两列的公式中电量或者电荷密度是代数值，已经包含了正负电性的信息。这一栏的“同心”或者“同轴”指的是和设定的坐标系同心或者同轴（Z轴）。（1）充分利用等E面建立高斯面：如果等E面是封闭的，则直接用过P点的等E面作为高斯面即可；如果等E面不封闭，则使 用过P点的等E面加上垂直于电场的平面形成封闭的高斯面。（2）切记：我们的目标是求一个任意P点的电场强度矢量，方向可 以用叠加原理搞清楚，大小就用