第三章函数的概念与性质知识点梳理（填空版）-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1、第 页高中数学必修第1册学习笔记0301 函数的概念及表示1函数的定义：一般地，设A，B是 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，xA 2函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的 ，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的 ；值域是集合B的子集3函数的三要素： 、 和 4相等函数：如果两个函数的 相同，并且 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数，也说两个函数相等0302 函数

2、的表示方法1解析法：就是用 表示两个变量之间的对应关系；2列表法：就是 表示两个变量之间的对应关系；3图象法：就是用 表示两个变量之间的对应关系；4分段函数：一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 ，这样的函数叫做分段函数5分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；0303 函数定义域的求法 1具体函数定义域的求法：(1)若f(x)是分式，则 ;(2)若f(x)是偶次根式，则 ;(3)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域是 ;(4)若出现0次方，则 ;(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.2

3、求抽象函数定义域应注意两点： (1)求函数f(x)的定义域，就是求 的取值范围；(2)在同一问题中，同一对应法则f后括号里的式子的取值范围 .0304 函数值域的求法求函数值域常用的方法如下:1观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到;2配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的函数时,可利用配方法求其值域;3分离常数法:此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域；如形式的函数可用分离常数法解决；当bcad时值域为 4基本不等式法:利用基本不等式求出函数的最值,即可得函数的值域;5换元法:运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得

4、原函数的值域.对于f(x)=ax+b+cx+d(其中a,b,c,d为常数,且0305 函数解析式的求法求函数解析式的常用方法:1已知f(x),求f(g(x)时,用g(x)代替f(x)中的x即可.2已知f(g(x)=(x),求f(x),常用的方法有两种:(1)换元法：即令t=g(x),解出x,代入(x)中,得到一个含t的解析式,即为函数解析式,注意换元后 的取值范围;(2)配凑法：即先从f(g(x)的解析式中配凑出“g(x)”,即用g(x)来表示(x),再将解析式中的g(x)用x代替即可.3方程组法:当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有 或互为 关系时,可构造方程组求解.4待定系数法

5、：主要解决 求函数解析式的情况；设出函数解析式，根据题目条件列出方程(组)，解出系数即可.0306 函数的单调性 1一般的，设函数f(x)的定义域为I，区间D(1)如果x1,x2D，当x1(2)特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是 (3)如果x1,x2D，当x1f(2)设函数f(x)是定义在区间D上的减函数，则f(x1)f4两种变形形式 已知函数f(x)，设x1,(1)(x1x2)f(x1)f(x2(2)(x1x2)f(x1)f(x20307 二次函数的单调性已知f(x)=ax2+bx+c (a0)图象的对称轴为x=(1)当a0时，y=f(x)的单调增区间为 ，单调减区

6、间为 ；(2)当a0)的单调增区间为 ，单调减区间为 (2) f(x)=x+ax (x0，a0)的单调增区间为 ，单调减区间为(3) f(x)=x的单调增区间为 ，单调减区间为 (4) f(x)=x+a的单调增区间为 ，单调减区间为 (5) 若一个函数在几个不同的区间上单调性相同，则这几个区间要分开写，而不能写成 ；(6) 若两函数f(x)，g(x)在x(a，b)上都单调递增，则函数(x)=f(x)g(x)若两函数f(x)，g(x)在x(a，b)上都单调递减，则函数(x)=f(x)g(x)0309 函数的最值1一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M(1) xI，都有 (2)x0

7、I，使得那么，我们就称M是函数y=f(x)2 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M(1) xI，都有 (2)x0I，使得那么，我们就称M是函数y=f(x)函数的最大值和最小值统称为函数的 .3最值的几何意义：从图象上看，函数最大值是函数f(x)图象 的纵坐标；函数最小值是函数f(x)图象 0310 二次函数的最值问题二次函数f(x)=a(x)2+k(a0)(1)当n时，y=f(x)在区间m,n上单调 ；f(x)max= ；(3)当mn时，y=f(x)在区间m,上单调 ；在区间,n上单调 ；f(x)min0311 函数的奇偶性1定义：(1)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如

8、果xI，都有 ，且 ，那么函数f(x)就叫偶函数偶函数的图象关于 (2)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有 ，且 ，那么函数f(x)就叫奇函数奇函数的图象关于 2变形形式：若函数f(x)的定义域为对称区间，则：(1) f(x)f(x)=0f(x)是 (2) f(x)+f(x)=0f(x)是 0312 奇函数的性质及应用奇函数的性质：1奇函数的图象关于 对称；反过来也成立；2若函数f(x)是奇函数，f(0)有意义，则f(0)= 3若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a,b和 的单调性；4已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，并且在区间0,+)上单调递增，那么

9、f(x)在 上单调递增，即5已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，并且在区间0,+)上单调递减，那么f(x)在 上单调递减，即6若f(x+a)是奇函数，则f(x+a)= ；此时函数f(x)的图象关于点 7若函数f(x)=ax3+b8若奇函数f(x)在区间a,b上的最大值和最小值分别是M,m,则b,a上的最大值是 ；最小值是 0313 偶函数的性质及应用偶函数的性质：1偶函数的图象关于 对称；反过来也成立；2若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a,b和b,a上具有3若函数f(x)是偶函数，则有f(x)=f(x)= 4若f(x+a)是偶函数，则f(x+a)= ；此时函数关于直

10、线 对称5若函数f(x)=ax3+b6若偶函数f(x)在区间a,b上的最大值和最小值分别是M,m,则b,a上的最大值是 ；最小值是 0314 抽象函数的奇偶性1在函数f(x)，g(x)的公共定义域上的奇偶性如下表所示:f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)g(x)f(g(x)g(f(x)奇函数奇函数奇函数偶函数不确定偶函数偶函数奇函数不确定偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数2复合函数 y=f(g(x)的奇偶性的判断，即（1）若g(x)为偶函数，则y=f(g(x)为 （2）若g(x)为奇函数且f(x)为奇函数，则y=f(g(x)为 （3）若g(x)为奇函数且f(x)为偶函数，则y=f(g(x)为

11、 （4）若g(x)为奇函数且f(x)不具有奇偶性，则y=f(g(x) 0315 幂 函 数1定义：一般地,函数 叫做幂函数,其中 是自变量, 2五个常见幂函数的性质函数y=xy=y=y=y=定义域RRR0,+x值域R0,+R0,+y奇偶性奇函数偶函数奇函数无奇偶性奇函数单调性增函数图象特征过点(3幂函数的性质:(1)所有的幂函数在区间(0,+)内都有定义,图象都过点 ；(2)若0,则y=x在区间(0,+)内的单调性为 ，图象过点(0,0)；若0,则y=x在区间(0,+)内的单调性为高中数学必修第1册学习笔记答案0301 函数的概念及表示-答案非空的实数集 任意 唯一 定义域 值域 定义域 对应

12、关系值域 定义域 对应关系.0302 函数的表示方法-答案数学表达式 列出表格 图象 对应关系 并集.0303 函数定义域的求法-答案分母不等于零 被开方数大于等于零 使得每一个式子有意义的自变量的取值范围 底数不等于零 自变量 相同.0304 函数值域的求法-答案 0305 函数解析式的求法-答案新元 互为相反数 倒数 已知函数类型.0306 函数的单调性-答案 增函数 减函数 单调递增 单调递减 单调递增 单调递减.0307 二次函数的单调性 或.0308 几个特殊函数的单调性-答案 并集 单调递增 单调递减.0309 函数的最值-答案 最值 最高点 最低点0310 二次函数的最值问题-答案递增 递减 递减 递增 0310 二次函数