中考数学圆的综合(大题培优)及详细答案

1、一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）如图，在O0中，直径AB丄弦CD于点E,连接AC,BC,点F是BA延长线上的一点,且/FCA=ZB.1求证：CF是O0的切线；（2）若AE=4,tanZACD=，求AB和FC的长.CC【答案】见解析;（2）AB=20,CF二亍【解析】分析：（1）连接OC，根据圆周角定理证明0C丄CF即可；（2）通过正切值和圆周角定理，以及ZFCA=ZB求出CE、BE的长，即可得到AB长，然后根据直径和半径的关系求出OE的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明OCE-CFE，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.详解：证明：连结OCTAB是OO的直

2、径ZACB=90ZB+ZBAC=90OA=OCZBAC=ZOCAZB=ZFCAZFCA+ZOCA=90即ZOCF=90TC在OO上.CF是OO的切线AE1TAE=4,tanZACD竺=-EC2CE=8-直径AB丄弦CD于点EAD二AC-ZFCA=ZB.ZB=ZACD=ZFCAZEOC=ZECACE1.tanZB=tanZACD=BE2BE=16AB=20.OE=AB=2-AE=6-CE丄ABZCEO=ZFCE=90.OCE-CFEOC_OECFCE10=6CF8CF二40点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解

3、，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.矩形ABCD中，点C(3,8),E、F为AB.CD边上的中点，如图1点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面内滑动，如图2,设运动时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动.当t=0时，点F的坐标为；当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离；求运动过程中，点F到点0的最大距离；当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值.c42【答案】(1)c42【答案】(1)F(3,4)；8-4爲；(3)7；(4)t的

4、值为或丰-【解析】试题分析：(1)先确定出DF,进而得出点F的坐标；利用直角三角形的性质得出ZABO=30，即可得出结论；当0、E、F三点共线时，点F到点0的距离最大，即可得出结论；分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可.试题解析：解：(1)当t=0时.TAB=CD=8,F为CD中点，.DF=4,.F(3，4)；(2)当t=4时，0A=4.在RtAABO中，AB=8,ZAOB=90,ZABO=30,1ZABO=30,点E是AB的中点，0E=-AB=4,B0=4-3，.点B下滑的距离为F二点共线时,点F到点0的距离最大，.F二点共线时,点F到点0的距离最大，.FO=OE+EF=7.(3

5、)当0、E、C4图1(4)在RtAADF中，FD2+AD2=AF2,.AF=FD2+AD2=5,设A0=t时，OF与x轴相切，点A为切点，.FA丄0A,Z0AB+ZFAB=90.:ZFAD+ZFAB=90,ABao.ZBA0=ZFAD.TZB0A=ZD=90,.RtAFAE-RtAAB0,.=FAFE.S罟,设A0=t2时，OF与y轴相切，B为切点，同理可得，t2J5、一24、32综上所述：当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为丁或丁-点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解（2）的关键是得出Z

6、ABO=30，解（3）的关键是判断出当0、E、F三点共线时，点F到点0的距离最大，解（4）的关键是判断出RtAFAEsRtAABD，是一道中等难度的中考常考题.3.已知A（2,0），B（6,0），CB丄x轴于点B,连接AC画图操作：（1）在y正半轴上求作点P,使得/APB=ZACB（尺规作图，保留作图痕迹）（2）在（2）在（1）的条件下,若若tanZAPB求点p的坐标当点P的坐标为时，ZAPB最大拓展延伸：使得ZAPB使得ZAPB最大，求点P的坐标2），（0，4）（0，2、爲）（3）空）5【解析】试题分析：（1）以AC为直径画圆交y轴于P,连接PA、PB,ZPAB即为所求；（2）由题意AC的中

7、点K（4，4）,以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P,易知P（0，2），P（0，6）；当OK与y轴相切时，ZAPB的值最大，（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，ZAPB最大.想办法求出点P坐标即可解决问题；试题解析：解：（1）ZAPB如图所示；B1（2）如图2中,（2）如图2中,vZAPB=ZACB,tanZACB=tanZAPB=.vA(2,0),BBC(6,0),.AB=4,BC=8,C(6,8),.AC的中点K(4,4),以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P,易知P(0,2),P(0,6).当OK与y轴相切时，ZAPB的值最大，此时AK=PK=4,AC=8,bc=AC2A

8、B2=4臂3,C(6,4、豆),K(4,2、込),P(0,2J3)故答案为：(0,2朽).（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，ZAPB最大.V直线y=4x+4交x轴于M(-3,0),交y轴于N(0,4).vMP是切线，MP2=MAMB,MP=3岛，作ONOMNM43512躬PKOA于KVONPK，PK=MK=MPK=MK=近，PK=丁mk=座，ok=座-3,p(座-3,空)5555点睛：本题考查了一次函数综合题、直线与圆的位置关系、平行线的性质、切线的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，学会构造辅助圆解决最大角问题，属于中考压轴题.4.如图

9、，AB是O0的直径，D、D为O0上两点，CF丄AB于点F,CE丄AD交AD的延长线于点E,且CE=CF.求证：CE是OO的切线；连接CD、CB，若AD=CD=a，求四边形ABCD面积.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】连接OC,AC，可先证明AC平分/BAE，结合圆的性质可证明OCIIAE，可得ZOCB=90,可证得结论；可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明厶OCB为等边三角形，可求得CF、AB,利用梯形的面积公式可求得答案.【详解】(1)证明：连接OC,AC.TCF丄AB,CE丄AD,且CE=CF.上CAEZCAB.OC=OA,ZCAB=ZOCA.ZCAE=ZOCA.OC

10、IIAE.乙OCE+ZAEC=180,TZAEC=90,ZOCE=90即OC丄CE,TOC是OO的半径，点C为半径外端，.CE是OO的切线.(2)解：TAD=CD,.ZDAC=ZDCA=ZCAB,.DCIIAB,TZCAE=ZOCA,OCIIAD,.四边形AOCD是平行四边形，.OC=AD=a,AB=2a,TZCAE=ZCAB,.CD=CB=a,.CB=OC=OB,.OCB是等边三角形，TOC o 1-5 h z在RtACFB中，CF=：:, HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 1却.S四边形ABCD=(DC+AB)CF=:4【点睛】本题主要考查切

11、线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径.5.如图，ABC内接于OO,ZBAC的平分线交OO于点D,交BC于点E(BEEC)，且BD=2訂.过点D作DFIIBC，交AB的延长线于点F.求证：DF为OO的切线；【答案】(1)详见解析；(2)9爲-2n.【解析】【分析】(1)连结OD,根据垂径定理得到OD丄BC,根据平行线的性质得到OD丄DF,根据切线的判定定理证明；(2)连结0B,连结0D交BC于P,作BH丄DF于H,证明OBD为等边三角形，得到厶ODB=60,oB=BD=2J3，根据勾股定理求出

12、PE，证明ABE-AFD，根据相似三角形的性质求出AE，根据阴影部分的面积=BDF的面积-弓形BD的面积计算.【详解】证明：(1)连结0D,TAD平分/BAC交O0于D,ZBAD=ZCAD,二BD=CD，.0D丄BC,TBCIIDF,.OD丄DF,.DF为OO的切线；(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BH丄DF于H,TZBAC=60,AD平分ZBAC,ZBAD=30,ZBOD=2ZBAD=60,.OBD为等边三角形，ZODB=60,OB=BD=2p3,ZBDF=30,TBCIIDF,ZDBP=30,在RtADBP中，PD=2BD=J3,PB=l3PD=3,在RtADEP中，TPD=,DE=

13、f7,.PE=E7)2(3=2,TOP丄BC,BP=CP=3,.CE=3-2=1,TZDBE=ZCAE,ZBED=ZAEC,BDE-ACE,AE：BE=CE：DE,即AE：5=1：、；7.ae=久77TBEIIDF,ABE-AFD,BE_AEBE_AEDFAD5即DF=巫7解得DF=12,1l在RtABDH中，BH=-BD*3,厶阴影部分的面积=厶BDF的面积-弓形BD的面积=BDF的面积-（扇形BOD的面积-BOD的面积）=2x12-60需空号%5仝-2n【点睛】考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公

14、式是解题的关键.6.如图，BCD的边AD是厶ABC外接圆OO的切线，切点为A,连接AO并延长交BC于点E,交O0于点F,过点C作直线CP交AO的延长线于点P,且/BCP=ZACD.（1）求证：PC是OO的切线；（2）若/B=67.5,BC=2，求线段PC,PF与弧CF所围成的阴影部分的面积S.4兀【答案】（1）见解析；（2）1-4【解析】【分析】（1）过C点作直径CM,连接MB,根据CM为直径，可得ZM+ZBCM=90,再根据ABIIDC可得ZACD=ZBAC,由圆周角定理可得ZBAC=ZM,ZBCP=ZACD，从而可推导得出ZPCM=90,根据切线的判定即可得；（2）连接OB,由AD是OO的

15、切线，可得ZPAD=90,再由BCIIAD,可得AP丄BC,从而1得BE=CE=-BC=1,继而可得到ZABC=ZACB=67.5,从而得到ZBAC=45,由圆周角定理可得ZBOC=90,从而可得ZBOE=ZCOE=ZOCE=45,根据已知条件可推导得出OE=CE=1,PC=OC=：0E2+CE2=、：，根据三角形面积以及扇形面积即可求得阴影部分的面积.【详解】(1)过C点作直径CM,连接MB,CM为直径，AZMBC=90,即上M+ZBCM=90,T四边形ABCD是平行四边形，AABIIDC,ADIIBC,AZACD=ZBAC,TZBAC=ZM,ZBCP=ZACD,AZM=ZBCP,AZBCP

16、+ZBCM=90,即ZPCM=90,ACM丄PC,APC与OO相切；(2)连接OB,TAD是OO的切线，切点为A,AOA丄AD,即ZPAD=90,1TBCIIAD,ZAEB=ZPAD=90,AAPIBC.ABE=CE=BC=1,AAB=AC,AZABC=ZACB=67.5,AZBAC=180ZABC-ZACB=45,AZBOC=2ZBAC=90,TOB=OC,AP丄BC,AZBOE=ZCOE=ZOCE=45,TZPCM=90,AZCPO=ZCOE=ZOCE=45,-OE=CE=1,pc=oc=；Oe2+CE2=42POCPOC【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等

17、，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键.7.如图，已知ABC,AB=J2,BC=3,ZB=45，点D在边BC上，联结AD,以点A为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E,点F在圆A上，且AF丄AD.设BD为x,点D、F之间的距离为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；如果E是df的中点，求BD:CD的值；联结CF,如果四边形ADCF是梯形，求BD的长.uACuAC【答案】y=：44x+2x2(0 x3);5；BD的长是1或52【解析】【分析】过点A作AH丄BC,垂足为点H.构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD的长度.联结DF，点D、F之间的距离y即为DF的长度，在RtAAD

18、F中，利用锐角三角形函数的定义求得DF的长度，易得函数关系式.由勾股定理求得：AC*AH2+DH2.设DF与AE相交于点Q，通过解RtADCQ和DQ1RtAAHC推知cq=-.故设DQ=k，CQ=2k，AQ=DQ=k，所以再次利用勾股定理推知DC的长度，结合图形求得线段BD的长度，易得答案.(3)如果四边形ADCF是梯形，则需要分类讨论：当AFIIDC、当ADIIFC.根据相似三角形的判定与性质，结合图形解答.【详解】BD为XBD为X，DH=|x-1AB-cosB=1.在RtAADH中，ZAHD=90。，.AD=JAH2+DH22-2x+x2.联结DF,点D、F之间的距离y即为DF的长度.点F

19、在圆A上，且AF丄AD，AD二AF，ZADF=45。.ADI在RtAADF中，ZDAF=90。，.DF=-4x+2x2.cosZADFy=：4-4x+2x2.(x3)；(2)TE是DF的中点，AE丄DF，AE平分DF.tanZDCQ=DQCQBc=3，HC=3-1=2AC=,!AHtanZDCQ=DQCQ设DF与AE相交于点Q,在RtADCQ中，ZDQC=90,在RtA在RtAAHC中,ZAHC=90，皿心=HC=2ZDCQ=ZACH,D2=1CQ2设DQ=k,CQ=2k,AQ=DQ=k,TOC o 1-5 h z3k=5,k=,DC=：DQ2+CQ2= HYPERLINK l bookmar

20、k68 o Current Document 344BD=BC-DC=,BD:CD=35如果四边形ADCF是梯形则当AFllDC时，ZAFD=ZFDC=45.ZADF=45,AD丄BC，即点d与点H重合BD=1.当ADllFC时，ZADF=ZCFD=45.ZB=45,ZB=ZCFD.ZB+ZBAD=ZADF+ZFDC,ZBAD=ZFDC.AABD-ADFCABADDF=DCBC-BD(:2-2x+xBC-BD(:2-2x+x2=3-x,AD2=BC-BD.即整理得x2-x一1=0，解得x=空(负数舍去).215综上所述，如果四边形ADCF是梯形，BD的长是1或-+2【点睛】此题属于圆的综合题,

21、涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值以及勾股定理等知识,综合性较强,解答本题需要我们熟练各部分的内容,对学生的综合能力要求较高,一定要注意将所学知识贯穿起来8如图，四边形ABCD是O0的内接四边形，AC为直径，BD=AD，DE丄BC,垂足为E判断直线ED与O0的位置关系，并说明理由；若CE=1,AC=4,求阴影部分的面积.【答案】(1)ED与OO相切理由见解析；(2)S阴影=3兀彰3.【解析】【分析】连结0D,如图，根据圆周角定理，由BD=AD得到/BAD=ZACD,再根据圆内接四边形的性质得/DCE=ZBAD，所以/ACD=ZDCE；利用内错角相等证明ODIIBC,而D

22、E丄BC,则OD丄DE,于是根据切线的判定定理可得DE为OO的切线；作OH丄BC于H,易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=2,则CH=HE-CE=1,于是有/HOC=30,得到/COD=60，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=$扇形OCD-SC。进行计算即可.【详解】直线ED与OO相切.理由如下：连结0D,如图，TBD=AD,AZBAD=ZACD.ZDCE=ZBAD,AZACD=ZDCE.IOC=OD,AZOCD=ZODC，而ZOCD=ZDCE,AZDCE=ZODC,AODIBC.TDE丄BC,AOD丄DE,ADE为OO的切线；作OH丄BC于H,则四边形ODEH

23、为矩形,AOD=EH.TCE=1,AC=4,AOC=OD=2,ACH=HE-CE=2-1=1.在RtAOHC中，TOC=2,CH=1,扇形OCDOCD360ZOHC=90,ZHOC=30,AZCOD=60,A阴影部分的面积=$一S扇形OCDOCD360【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.也考查了扇形面积的计算.9.如图，AB是半圆O0的直径，点C是半圆O0上的点，连接AC,BC,点E是AC的中点，点F是射线0E上一点.如图1,连接FA，FC,若/AFC=2ZBAC,求

24、证：FA丄AB；如图2,过点C作CD丄AB于点D,点G是线段CD上一点(不与点C重合)，连接FA,FG,FG与AC相交于点P,且AF=FG.试猜想/AFG和/B的数量关系，并证明；连接0G,若OE=BD,ZGOE=90,OO的半径为2,求EP的长.【答案】(1)见解析；(2)结论：ZGFA=2ZABC.理由见解析；PE=【解析】【分析】证明ZOFA=ZBAC,由ZEAO+ZEOA=90,推出ZOFA+ZAOE=90,推出ZFAO=90即可解决问题.结论：ZGFA=2ZABC.连接FC.由FC=FG=FA，以F为圆心FC为半径作OF.因为AGAG，推出ZGFA=2ZACG,再证明ZACG=ZAB

25、C.图2-1中，连接AG,作FH丄AG于H.想办法证明ZGFA=120，求出EF,OF,OG即可解决问题.【详解】(1)证明：连接0C.OA=OC,EC=EA,OF丄AC,FC=FA,乙OFA=ZOFC,TZCFA=2乙BAC,.ZOFA=ZBAC,TZOEA=90,ZEAO+ZEOA=90,ZOFA+ZAOE=90,.ZFAO=90,.AFAB.(2)解：结论：ZGFA=2ZABC.理由：连接FC.TOF垂直平分线段AC,FG=FA,TFG=FA,.FC=FG=FA，以F为圆心FC为半径作OF.TAGAG,ZGFA=2ZACG,TAB是OO的直径，ZACB=90,TCD丄AB,.ZABC+ZBCA=90,TZBCD+ZACD=90,.ZABC=ZACG,ZGFA=2ZABC.如图2-1中，连接AG,作FH丄AG于H.郵-1TBD=OE,ZCDB=ZAEO=90,ZB=ZAOE,.CDB竺AEO(AAS),.CD=AE,TEC=EA,.AC=2CD.ZBAC=30,ZABC=60,ZGFA=120,TOA=OB=2,.OE=1