高三一轮复习教案第8章 数列与数学归纳法、推理与证明

1、 39/39第八章数列与数学归纳法、推理与证明本部分的要求主要有四个方面：第一，考查数列的基本概念和判断，等差数列、等比数列的基本运算和基本性质的应用，属于基本问题：第二，考查简单的递推数列求通项问题、由通项公式求前n项和问题、S与an的关系问题，属于中档问题；第三，考查数列背景下的综合数学问题，属于高端要求；第四，考查数学阅读、数学推理、数学论证方法与技巧，属于创新问题，考查数学综合能力，一般都是推理与证明的压轴题；一、数列的有关概念：1.数列的概念：数列是有序排列的一列数：数列是定义在自然数集或其有限子集上的函数当自变量由小到大依次取值是对应的一列函数值：数列是特殊的函数：数列的学习是函数

2、学习的延续；可以借助函数的知识和方法研究数列；数列是离散型函数：数列的图像是一系列孤立的点；数列与函数比较更具有特殊性，数列的学习更多关注的是其特殊性；2.数列的单调性：数列a是递增数列对 数列a是递减数列对 数列的单调性定义是判断数列单调性的基本依据：数列的单调性与函数的单调性不同。一般地，若函数f(x)(x0)单调增(减)，则数列f(n)单调增(减);但：若数列f(n)单调增(减)，不一定函数f(x)(x0)单调增(减);数列的单调性与数列的项的最值密切相关；【典例1】已知数列a的通项公式为 an分析：欲判断该数列是否有最大(小)项，关键是看该数列的单调性，而要判断该数列的单调性，只需依据

3、定义比较该数列相邻两项的大小关系即可。解：由 an=n+1所以a=10所以:当1na; 当n=9时 a=a, 即:当ln9时数列 a从而：n=9时，该数列的项最大为 a9=1010119; 【提升】本题的解法中，在判断数列的单调性时应用了“作差比较相邻项大小的方法”.简称“差比法”，这是数学中常用的比较大小的方法。除此外，还有另一种比较大小的方法叫“商比法”判断如下：因为an=n+110令an+1an所以:当1na; 当n=9时 a即:当ln9时数列 a从而：n=9时，该数列的项最大为 a9=1010119; 【体验练习1】1.已知下列数列 a的通项公式，求数列 a 1a=|3n19| 3an

4、=n2.已知数列 a是递增数列，且对于任意的正整数n，均有 a3.对于数列 x,若对任意 nN,都有 设 bn=2ttn14.若数列 nn+425.设函数 fx=logxlog6.已知数列 a中, a(1)若a=-7,求数列 a中的最大项和最小项的值(2)若对任意的 nN,都有3.数列的表示：数列有三种表示方法(1)通项公式表示法： an=fn,nN,【典例2】已知数列 a的通项公式是 写出该数列的前三项；并分别写出该数列的第(n-1)项、第(n+1)项、第2n+1项、第(3n-1)项.判断25是否是该数列的项？确定该数列的单调性；求该数列的最小项；(2)递推关系表示法：由相邻项的关系表示数列

5、，这是数列最基本的表示方法，也是数列的间接表示方法；由数列的递推关系可以求出该数列的通项公式，这也是数列的基本题型，也是难点问题；高考要求掌握的基本递推关系求通项公式问题有以下七类：类型一：型如 a1=事实上就是利用 an【典例3】.数列 a满足a1=1an+1类型二：型如a1=a即利用 an【典例4】: 数列 a满足a1=1an+1类型三：形如a1=a方法如下：设 a=pa+q可化为 a+=pa+,即 a=pa+p1【典例5】.数列 a满足 a1=1an+1=3类型四：形如 a1方法如下：设 a=pa+qn+r可化为 a+n+1+=pa+ a=a+【典例6】.数列 a满足 a1=1an+1=

6、3类型五：形如 a1由 a=pa+qan+1pn【典例7】.数列a满足a1=1an+1类型六：形如a1方法如下：由 an+1=p【典例8】.数列a满足a1=1an+1类型七：升(降)标相减(除)法：在数列的递推公式中，以上几个类型只是最基本的类型(当然还有一些基本类型是高考不要求的)，很多时候问题的条件并不是直接的符合某一类型的，这时经常采用“升(降)标相减(除)法”来解决，目的是通过升(降)标相减(除)的方法消去某些影响化简的数或项.具体方法是：用n+1或n-1来代换已知递推关系式中的n得到另一个式子，然后再把这两个式子进行相减(除)，进而对所得结果进行化简或重新构造新数列，从而求出 a【典

7、例9】.在数列 a中, a1=2nan【体验练习2】1.已知数列a满足 a1=12,2.已知数列 a满足 a1=23,3.已知数列 a中, a=1,a=2a+3,4.在数列a中, a1=32,25.已知数列a中, a=1,a=3a+2,6.已知数列 a中, a1=1,a 7.数列 a满足a1=1,8.已知数列 a满足： an=a9.在数列 a中，若 a=0,a=210.已知数列 a,其中a=1,且 an+1=(3)前n项和表示法： Sn=fn,nN,也是数列的一种间接的表示方法；由 Sn=fn,nN可以求数列的通项公式，这是数列的基本问题：【典例10】已知数列 a的各项都是正数， S为其前n项

8、和，且对任意的 n(1)求证: an2=2S【分析】本题的已知条件既不是递推公式，也不是前n项和，而是 S与 a的关系，因而，将已知转化为关于 a或 S的递推关系，是基本的解题思路.仔细分析已知条件中的 a13+a23+a3【解】(1)因为 a13+又由 a0 a因为 a0,所以 又因为n2时 S=S注意到a=1满足 an2=2(2)由(1)得 a从而：当n2时有 2即 a即 aaa+a所以，数列 a是首项为1，公差为1的等差数列；从而 所以数列 a的通项公式为 【提升】(1)第一问中的证明，实际上就是对条件的化简，为第二问的深入解决问题提供了解决的桥梁.善于把握题目中提供的条件信息的实质，认

9、真分析条件的特征，将未知问题化归为已知问题，是解决数学综合问题的关键.(2)本问题的解决，给我们提供了一种综合解决 S与 a an=S1 (n=1)Sn【体验练习3】1.已知数列 a的前n项和 S=n2.已知 a1+3a3.已知数列 an,a4.数列 a中,a=1 ,且对于任意 nN且n2,都有 a15.已知数列 a的前n项和为 S,且 6.已知数列 a的前n项和为 S,S7.定义:称 nP1+P2+Pn为n个正数 P1,8.已知数列 a中,a=1,前n项和 (1)求a,a;(2)求 a9.数列 a的前n项和为 S,已知 a1=12,10.已知数列 a中, S是它的前n项和，并且(1)设 b=

10、a2a,(2)设 cn=an(3)求数列 a4.合情推理、归纳推理(归纳法、不完全归纳法、完全归纳法)、类比推理、演绎推理、数学归纳法：归纳推理：根据一类事务的部分对象具有的某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理；归纳推理是特殊到一般的推理，是一种重要的合情推理，是发现问题并解决问题的第一步：归纳推理也叫归纳法，包含不完全归纳法和完全归纳法。当然，这种推理的结果不一定正确，要说明结论正确必须要经过演绎推理的逻辑论证。类比推理：根据两类不同事物之间具有的某些相似或一致的特性，推出其中一类事物具有与另一类事物类似或相同的性质的推理；类比推理是特殊到特殊的推理，也是一种重要的合情推理。

11、当然，这种推理的结果也是不一定正确的。演绎推理：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理。演绎推理是由一般到特殊的推理；演绎推理的结论一定是正确的。数学归纳法：是针对有关自然数的具有某些递推特征的命题的一种证明方法，是一种重要的演绎推理方法；在数学中常常以考查“归纳、猜想、证明”的数学思想为主体的提醒出现，即考查是否能想到用“归纳、猜想、数学归纳法证明”解决问题的意识。事实上，数列的学习过程中贯穿着归纳推理和类比推理，如根据数列的某些项归纳出数列的通项公式，根据等差数列、等比数列的定义归纳出通项公式，类比等差数列来研究等比数列等。因而归纳推理和类比推理也

12、是高考的重要考查点(至于数学归纳法我们在本章的最后再来复习)。【典例11】写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：0,3,8,15,24; 32,83,154,242,49,625,849,10【提升】根据数列的前几项特点，写出数列的一个通项公式，是数列的一类基本题型，解决该问题的关键是找出数列的项an与项数n之间的关系规律.对于简单问题只需直接观察即可，对于稍复杂的问题，一般地需要将项进行分解、重组等变形，以求使规律凸显出来达到目的.在应用归纳推理写出数列的通项公式问题中，难点是如何准确把握所给项的特点和规律，如何分解与重组.熟练掌握一些基本数列的项的特点，将有利于解决这个问题.

13、如:an =n：1 ,2,3,4,; an=2n1:1,3,5,7,; a=2;2,4,8,16,; a an=1 an=1+1n2;0,1,0,1,a=【体验练习4】1.数列 23 A.1617 B.2.将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，为“梯形数”.根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差,即a014-5等于( )A.20182012B.20202013C.10092012D.101020133.观察下列各式： a+b=1,A.28B.76C.123D.1994.数列an满足an+1=5.有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有 种

14、不同的走法.6.数列an中,已知 a=1,a7.已知数列an满足 a=aa A.a C.a8.数列an满足 anA.5 B.72 9.数列an满足 an+1=10.已知数列 a满足 a1=0,an+111.在等差数列 a中，若 a=0,则有 a1+a2+a12.观察下图,可推断出“x”处应该填的数字是 . 13.某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点 Pxy处,其中14.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )A.n+1 B.2nC.15.已知数列 a为等差数列，若 a=a,a=bnm1mnN,16.在平面上，设 a,

15、b,c17.若数列 a是等差数列，则数列 bnbn=a1+a218.已知等差数列 a中，有 a11+a19.在RtABC中,ABAC,ADBC于D,求证: 1A20.对于三次函数f(x)=ax+bx+cx+d(a0),给出定义:设f(x)是函数y=f(x)的导数,f(x)是f(x)的导数,若方程f(x)=0有实数解x,则称点(x,f(x)为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若 fx(1)求函数f(x)的对称中心;(2)计算 f(二)等差数列：1.数列 a是等差数列对 nN对 nN存在常数A，B，使

16、得 an存在常数A，B，使得 Sn2.等差中项:a,b,c成等差数列a+c=2b;3.通项公式： a4.前n项和公式： SS2n5.等差数列的常用性质：在等差数列 a中，若m,n, p,q特殊地，在等差数列 a中,若m,n,pN且m+n=2p,则 若数列 a、b分别是公差为d，d的等差数列，且 bn若数列 a、b分别是公差为d，d的等差数列，则数列； a+在等差数列 a中，已知 an=在等差数列 a中，已知 S a等差数列 a中, S公差d0时，等差数列 a为递增数列；公差d0时，等差数列 a为递减数列；公差d=0时，等差数列 若数列 a(1)若数列的项数为2n+1,则: S奇 S(2)若数列

17、的项数为2n，则： S奇S【典例12】(1)在等差数列 a(2)已知等差数列 a中,aa=-16,a+ a = 1 5,求 a(3)设S,T分别为等差数列 a,b的前 n项和，若对 nN【典例13】设等差数列的前n项和为 S,已知 (1)求公差d的取值范围.(2)指出 S1【体验练习5】1.在等差数列 a中, S(1)若 aa(2)若 a+a+(3)若 aa+a(4)若S=9,S=36,求a+a+a,(5)若 S=6,S(6)若 2a(7)已知 a=20,a=10,求(8)若 a12.(1)设等差数列 a(2)等差数列 a的公差d0,a+a(4)等差数列 a的前n项和为 S,已知 (5)在等差

18、数列 a中,a=-2008,其前n项和为 S,若 S1212(6)已知 a的前n项和 S=10nn,令 b=|3.已知数列 a、b都是等差数列， S和 T(1)若a=25,b =75,且 a+b=100,求数列(2)若 SnTn(3)若 anbn4.已知xy，且两个数列 x,a1,a25.如果 a16.已知方程(x-2x+m)(x-2x+n)=0的四个根组成一个首项为 147.已知三个数成等差数列，第一个数与第三个数之积等于第二个数的5倍，第二个数与第三个数之和为第一个数的8倍，求这三个数.8.已知数列 a的前n项和为 S9.(1)若等差数列 a共有 2(2)若等差数列a的项数为偶数，且奇数项

19、的和为24，偶数项的和为30，最后一项与首项的差为10.5，求该数列的项数、首项和公差.10.已知等差数列 a的前n项和 S(1)求数列 a(2)设 bn=9n(三)等比数列：1.数列 a是等比数列 a an a anSn2.等比中项： bab=ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件； b=3.通项公式： a4.前n项和公式： S5.等比数列的常用性质：既是等差数列又是等比数列的数列一定为非零常数列；在等比数列 a中,若m+n=p+s,则 aa=特殊地，在等比数列 a中,若m+n=2p,则 am若数列 a是等比数列且 a0,则 若数列 a成等差数列，则 a若数列a是等比数列，那么数列 1a

20、n为首项为 1a若数列 a和 b ka数列 anbn必为以首项为但数列 a+若数列 a是等比数列，数列 b是等差数列且 bnN,等比数列的单调性如下：当q1,a0或0q1,a1,a0或0q0;时，该等比数列为递减数列；等比数列 a中, S【典例14】(1)已知一个等比数列的前10项和为10，前20项和为30，求其前50项的和.(2)已知数列 a是首项为正数的等比数列，前n项和 S=80,前2n项和 【典例15】已知首项为 32的等比数列 a的前n项和为 (1)求数列. a的通项公式：(2)证明： 【体验练习6】1.已知等比数列 a2.公差不为0的等差数列 a中，有 2a33.在等比数列 a4.

21、等比数列 a满足 a0,nN,且 5.在正项等比数列. a中，已知 a6.已知数列 a是递增的等比数列，a+a=9,aa=8,则数列 a7.在等比数列an中，各项均为正值，且 a8.等比数列an的首项a=-1,前n项和为Sn,若 S109.已知等比数列 a的公比为正数，且 a10.等比数列. a共有奇数项，所有奇数项和 S=255,所有偶数项和 11.已知 S是等比数列 a的前n项和，若存在 mN,满BN 12.等比数列 a中, S13.已知数列 a的首项为1，数列 b为等比数列且 bn=an14.若等比数列 a的各项均为正数，且 aa+15.数列 a满足a=2且对任意的m， nN,都有 an

22、+16.定义在(一，0)(0，+)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列 fa,f(x)=x:f(x)=2; fx=17.三个数成等比数列，其积为512，若第1个数与第3个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.18.(1)已知数列 c,其中 c=2+3且数列 (2)设 a和 b是公比不相等的两个等比数列， 19.已知数列 a中,a=1,且 (1)若p=2,求数列 a的通项公式 (2)当p=3时,求证:数列 a+2(3)当p2时,试判断数列 an如果不是等比数列，请说明理由。20.设数列 a的首项 a1=a14,记(四)数列求和问题：求数列的前n项和问题是数列的基本问题，求数列的前

23、n项和必须紧紧抓住数列的通项公式的特征，选择适当的方法来进行转化和化归.常见的数列求和类型和方法有：方法一：分组公式求和法：对于等差数列和等比数列，我们总可以直接利用已知数列的求和公式来求和；对于有些数列，总可以分解为一些特殊数列(等差数列或等比数列)的和.那么就可以对每个特殊数列求和，再对各个和求和即可，这就是“分组公式求和法”，简称“分组求和法”。分组求和法常见的求和公式有：等差数列 a的前n项和 S等比数列 a的前n项和S 1+2+3+n=11【典例16】求数列n+3n-1+2n方法二：乘比错位相减法：对于形如数列 ab(其中a是等差数列，b是等比数列)的前n项和问题，一般采用“乘比错位

24、相减法”求解.【典例17】求数列n3【典例18】求数列n(n+1)的前n项和 S.方法三：裂项相消求和法：我们知道，数列n的前n项和可以应用等差数列的求和公式来求得为 Sn=nn+12,数列 1n S象这样把数列每一项拆开为两项的差，然后在相加的过程中消去中间的项从而计算出和的方法，叫做裂项相消法(简称裂项求和法，也叫拆项求和法).主要适用于一些分式数列或三角数列的求和问题.如：求数列1ana此时根据 1a S常见的裂项公式有： 1nn+1= 1 Cnm1=C【典例19】求数列2n方法四：倒序相加求和法：在等差数列前n项和公式的推导时，我们用到了一种方法倒序相加求和法.此法适用于数列的前n项中

25、前后对称型的数列求和.【典例20】函数 fx=1【典例21】求 C【体验练习7】1.求和 113+1 Sn=22.数列an的通项公式为an=(1)n1(4n3),则它的前13.数列 a的通项公式为 an=ncosn2, 4.5.已知a为等差数列，其公差为-2，且a是a与a的等比中项， S为 a的前n项和，nN+,则 S6.已知函数.f(n)=ncos(n),且 a=fn+fn+1,则 7.数列an中, a+1a=2n1,则数列a的前12项和等于8.已知函数fn=n2,当n为奇数时n29.在等差数列a中,a0,aa0,a1=12,如果 a是1与16.已知数列 a中,a=3,a=5,且 a1是等比

26、数列.(1)求数列 a的通项公式；(2)若 b=na,求数列 b的前n项和 T.17.正项数列 a的前n项和 S满足： S(1)求数列 a的通项公式an；(2)令 bn=n+1n+22an2,18.设等差数列a的公差为d，前n项和为S，等比数列 b的公比为q,已知b=a,b=2, q=d,S=100.(1)求数列a,b的通项公式;(2)当d1时,记 cn19.在数列 a中,a=1,当n2时,其前n项和 S(1)求 S的表达式；(2)设 bn=S20.已知数列 a的前n项和 Sn=12(1)确定常数k,并求a;(2)求数列 92a21.设正项等比数列 a的首项 a1=12(1)求 a的通项；(2

27、)求 nS的前n项和 T.22.若数列 a的前n项和为点 aS在 y=16(1)求数列 a的通项公式；(2)若c=0，且对任意正整数n都有 cn+1对任意正整数n2，总有 1(五)数学归纳法：1.数学归纳法原理：一般地，对于一个与正整数n有关的命题，如果满足：(1)当n取第一个值 nnN(2)假设n=k(kn,kN+)时命题成立,可以证明当n=k+1时命题也成立.(归纳递推)那么，该命题对从n开始的所有正整数n都成立.(1)数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题.(2)证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据.(3)

28、在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n=no的n不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值.(4)第(2)步，证明n=k+1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.2.应用数学归纳法可以证明有关自然数n的等式、不等式、整除问题、几何问题；3.应用数学归纳法的关键是：当应用其他方法很难解决有关自然数的问题时，要想到应用数学归纳法；并且经常性的是应用“归纳-猜想-证明”这样的数学思想来解决问题。【体验练习8】1.不等式2n恒成立的n的取值范围是 ;2.用数学归纳法证明 1+a+a3.今天是星期一，那么从明天开始的第 8n3.在应用数学归纳法证明“平面内有 nnN条直线，最

29、多可将平面分成的区域数为4.已知 fnA.f(n)中共有n项,当n=2时, fB.f(n)中共有n+1项,当n=2时, fC.f(n)中共有n-n项,当n=2时, fD.f(n)中共有n-n+1项,当n=2时, f5.设 Sn=1+16.已知 a满足 an+1=a7.利用数学归纳法证明 “n+18.设数列 a的前n项和为 S,且对任意的自然数n都有 S1=aS,则 9.用数学归纳法证明： “1+110.已知 fn=1+1211.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当，f(k)k成立时,总可推出f(k+1)(k+1)成立”.那么,下列命题总成立的是( )A.若f(1)1成立,则

30、f(10)100成立;B.若f(2)4时,f(n)= (用n表示)14.已知数列 a的前n项和 S满足： Sn=an15.已知 fn16.设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf (x),x0,其中f(x)是f(x)的导函数.(1)令 gx(2)若f(x)ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;(3)设nN,比较 g1(六)北京高考真题选1.(2011北京文12).在等比数列 a中, a1=12.(2011北京理11)在等比数列 a中，若 a1=13.(2012北京文6)已知 a为等比数列，下面结论中正确的是( )A.a+a2a B.a4.(2012北京文理10)已知 a等差数列 S为其前

31、n项和.若 a1=15.(2013北京理10、文11)若等比数列an满足a+a=20,a+a=40,则公比q= ;前n项和 S6.(2014北京理5)设an是公比为q的等比数列,则“(“q1”是“an为递增数列”的( )A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.(2014北京理12)若等差数列 a满足 a+a+a0,a+a0,则a+a0B.若a+a0,则a+a0C.若0a0的E数列A;()若a=12,n=2000,证明：E数列 A是递增数列的充要条件是 a=2011;(提高型)()对任意给定的整数n(n2)，是否存在首项为0的E数列A ，使得 SA=0?如果存在，写出一个满足条件的E数列 22.(2012北京文20,13分)设A是如下形式的2行3列的数表,abcdef满足性质P:a,b,c,d,e,f1,1,记 rA为A的第i行各数之和(i=1,2),c胝(A)为第j列各数之和(j=1,2,3);记k()对如下数表A,求k(A)的值110.80.1-0.3-1()设数表A形如11-1-2ddd-1其中-1d0。求k(A)的最大值;(提高型)()对所有满足性质