数学分析3部分习题解析含参量积分

1、3含参量积分部分关注的要点：、理解含参量正常积分的本质（本质：一元函数的定积分，也即正常积分）和含义（含义：函数，即参量为自变量的的函数。之所以还冠以正常积分的名称是因为这样的函数是借助正常积分来产生的；知道含参量正常积分的类型（两类：固定限和非固定限，之所以分这两类，一是因为积分上下限的形式有差异；二是方便研究，即分这两类来研究比较方便；熟记含参量正常积分解析性定理（包括连续性定理，可微性定理和可积性定理）的条件和结论，并熟练掌握解析性定理的简单应用（如计算某些定积分，计算某些由积分产生的函数的极限和导数等。、理解含参量反常积分的本质（本质：一元函数的反常积分）和含义（含义：函数，即参量为自

2、变量的的函数。之所以还冠以反常积分的名称是因为这样的函数是借助反常积分来产生的；理解为什么只需重点考虑无穷限含参量反常积分（因为函数的含参量反常积分和混合含参量反常积分，都可通过适当变量替换进行转换；理解含参量反常积分的一致收敛和内闭一致收敛的含义，并知道为什么要考虑含参量反常积分的一致收敛和内闭一致收敛的原因；熟记含参量反常积分一致收敛的常用、方便的判别法（判别法，狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，并能熟练地应用它们判断具体含参量反常积分的一致收敛性。 sin（1） dy与dy ，分别在 x,（ 0 ）和 x0,上 sin cos1 dy， 1 dyxR ysin ycos ycosxy（ ）1

3、 dy，1 dy，在 （ 0 ）上；以及 1 在 x0 xy sin（4） dy ，在 x0y、熟记含参量反常积分解析性定理（包括连续性定理，可微性定理和可积性定理）的条件和结论，并熟练掌握解析性定理的简单应用（如计算某些反常积分，计算某些由积分产生的函数的极1节部分习1f(xysgn(xy（x y时不连续1F(y) 0 f (x, 1所的函数在(, ) 上连续，并作出函数 F ( 注：只有二元函数 注：只有二元函数 f (x, y) 在指定区域（如本题的0,1(, ) ）上满足连续的要求，才能11当0 y 1时，此时0,1 0, y y,1，由定积分的区间可加性F(y) 0 f(x,y)dx

4、 0 f (x,y)dxy f (x,0 (1)dxy 1dxy1 y12综上可得yFy12y, 0 y1y显然它在(, 上连续。根据上面的表达式画其图像比较简单，请大家自行画出略2、求下列极限（1） （20 0 2 x2cosxdx数的定积分产生的函数的极限的一种算法：“积分号下求极限”或“上下限及被积函数同时求极限”】【取邻域U (0) ，显然在矩形区域U (0) 1,1 上连续，所以由连续性得 22 22 偶函x dxx dxx dx 20 xdx1x2 cosx 在矩形区域U (0) 0, 2上连续，所以由连续性得lim2 x2 cosxdx2 limx2 cosxdx2 x2dx 8

5、0 0 3、设F(x) x2 exy2dy ，求F(x)x数的定积分产生的函数的导数的计算公式（分固定限和非固定限两种公式，这些公式一定要熟记】x【显然exy2 和exy2 y2ex ln(12acosxa2)dx）【注：本题和下面的题都是用可微性和可积性来计算的积分的典型题目，虽然有些积分的计有点繁琐（如本题的积分，但仍希能够关注（因为它们太典型了 分析：对积分进行变形得，对积分（分析：对积分进行变形得，对积分（1）02 lna2 sin2 xb2 cos2 xdx02 ln 1cos22 b2 1cos2x2a2 202b2 2cos2xdx 2t2x 0 a2 2b2 2cost2a2

6、b2 212b2 0ln a 2cost d可见（1）的计算取决ln 1b2 0a cost dt0ln12acosxa2 dxln1a2 dxln1 2a2 cosx1 ln ln20 1cosx 可见（2）ln 1012cosx dx综上，对积分（1）和（2），如能计算ln 1rcosx dx（ r 10r a2 a2 ，r 1，即可算出（1）和（2）的结果。ln1rcosxdx （r 1先用可微性求 I(r注意到ln1rcosx和ln1rcosx cos都是连续的（因为是初等函数），所1 rcos由含参量正常积分的可微性，I(r)ln(1rcos) t1t1t1 d 0 1 r11 1t

7、21td1t1r(1r)t21t2 1t1r(1r)t1 rr 1 r从而，I(r)drlnr 1r1r 1r1rII(r)ln1 1r2 ln2ln122。r ，1ln12acosxa2dxln(1a2) ln1 cosx01 1 2ln(1a2)21a2 11a2 1 a r a2 ，a2 xxdx n a ln 1 b cost a2 1b2 a21b2 a2 a2 b2 ln a2 b2 a a2 b2 2 a a2 b2 2 a b a2 b2 2(a2 2(a2 5做题前回顾固定限含参量正常积分的可积性，即累次积分】1 xb 1 xb 0 sinln xln lndx（ba0 xb

8、 【注意x dy，所ln1 xb dx1 1（1）sindxsin0 a sinxydy x ln交换积分顺xb 1 1xa sinln xdxx sin dx ue(y1)u sinudu e(y1)u sinudu x xxe 1(1y 1 xb 所以0 sinln xlndxa 1(1y)2 dyarctan(1b)arctan(1a) 1 xb dx1 1 dx xydy xlnx交换积分顺b 1 x0 1xa cosln xdx1uln (y (y 1 xu0 x xuxx cosudu cosudu 1(1y 1 xb 1 1(1b)所以， 0 cosln x lndx a 1(1

9、y)2 dy 2ln1(1a)2 6、试求累次积分x2 x2 0 dx0 (x2 y2)2 dy与0 dy0 (x2 y2)2 dx并它们为什么与含参量正常积分的可积性定理的结果不符【本题并不是用可积性计算的题， 主要是通过计算的结果说明可积性定理中的二元函数连续的条件只是充分条件并非必要条件，条件不满足可积性定理的结论可能成立也可能不成立，本题恰恰是二元函数不连续，且结论不成立的例子，这当然不会与可积性的结论 。本题的计算仅仅只是定积分的计算（具体来讲是用定积分的分部积分法），因此大家可通过计a2 算过程复习定积分的计算方法，比如 0 (a2 y2)2 dy0 (a2 y2)2 dy0 (a

10、2 y2)2 dy（是三个典型的积分）如何用分部积分法计算。a2 1(a2 y2)2 dy1a2 1 a2 y2 10 (a2 y2)2 dy (a2 y2 dy0 a2 y2 dy20 (a2 y2)2 1dy 10 a2 a2 y2 分部积分法 dy y dy 00 a2 0a2 0 a2 1x2 dy x2 (x2 y2dydx dx arctan (x2 y2 0 1x2 dx (x2 y2 2 它们之所以不相等是因x2 2 (x y 在矩形区域0,10,1 上不连续（为什么请大家想 11yfx2 dx 的连续性，其中 f (x) 在闭区间0,1上是正的连续函数【说明：当函数的定义域给

11、出时，直接在给出的定义域内函数的连续性；当函数的定义域没有给出时，要先根据含参量积分的定义确定定义域，再函数在定义域内的连续性。本题没有直接给出定义域，因此，应先确定定义域后，再。】解先确定 Fy的定义域：yfx 作为 x 的一元函数在0,1上连续1以定积分1yfx2 y2 dxy 0，所以定积分1y1F( y) 的定义域为(, ) 再 F ( y) 在(, ) 上的连续性的方法与分段函数连续性的方法类似，因y0y0yfx 在矩形区域0,1(0, ) 和0,1(, 0) 上连续，所以，由含参量正常积分的连续性定理得，F(y) 在(0) 和(0) 上连续，即y 0 时，Fy0mminf(xm0y

12、0 x 0,11 yfyfx2 m x2 y2x2 dxx2 dxmmarctan lim F(y) lim marctan 1 m 在 y0也不左连续综上所述， F( y) 在其定义域(, 8、设函数 f (x) 在闭区间a, A上连续，证明lim 1x f(th f(t)dt fx f(ah0 h 【本题中 x 是常量不是自变量，自变量是 h 本题初看很容易联想到用含参量正常积分的连续性（积分号下的极限性）f(th) fh是否连续（题设并没有告可导，因此，连续性定理的条件并不一定满足实际上本题真实的解决方法是用已学过的定积分中的微积分学基本定理。因此，做题之前请回顾微积分学基本定理：a若

13、f (x在区间a,A上连续，则对任意 xaA，变上限函数 I(x) a且f (t)dt 在 xlim I(xhI(x) I(x f (x a f (t)dt ，因为f (x)在闭区间a,A 上连续，1x f(th) f(t)dt 1x f(th)dt1x f(t)dt h ah ah a x f(th)dt I(x)h utx而f(th)dt a h f (u)du I(xh)I(ah) ，所x f(th) f(t)dt I(xh)I(ah) I(x)I(a) h a I(xh)I(x) I(ah)IlimI(xhI(x fx和limI(ahI(a) f(alim 1x f(th f(t)dt

14、 fx f(ah0 h 9、设F(x,y)y(xyzf(z)dzf(zFxy(xy【本题的函数是由非固定限含参量正常积分产生的二元函数，因此，做题之前应回顾二元函数偏导数的本质（一元函数的导数，以及非固定限含参量正常积分的导数公式，本题只要注意到二元函数偏导数的本质，用此导数公式计算即可。视y为常数 【由导数公式得， Fx (x, x (xyz)f (z)dz xy (x yz)f(z)dz y(x yxy)f(xy) y xf y yxxxy f (z)dz y(x y2x)f (xy) xy f (z)dzxy(1 y2)f xx所以，F (x, f (z)dzxy(1y2)f (xy)

15、f (z)dz x(13y2)f (xy) xy(x y2x)f xf (xy) f x x(13y2f(xyx2y(1 y2f (xy) yy y1k1k2 sin2ksin211k2 sin221k2 1k2 sin2如何对定积分进行变形和化简，使它们都分别能用 E(k) 与 F (k) 来表示。这个工作对本题的第（2）其中对 E(k) 的变形比较简单，比ksin21k2 sin21k2 sin21k2 sin2k 1k2 sin21 1k2 sin2d 1k2 sin2 1k2 sin2但对但对 F (k ) 的变形化简就不那么平常，其中既需要一些积分的计算技巧，还需要敏锐的观察ksin

16、2 k2 sin213比如 F (k) 1 k2 sin2 30 1k2 sin2 2 1k2 sin2k 0 1k2 sin1k2 sin21 0 2 3 dF0 1k2 sin20 2 对3 d再如何变形使之能用 E(k) 或 F (k) 来表示，这就不明0 2 1k sin 更敏锐的观察。你能观察到下面的导数关系吗sin1sin 2 1 k2 k111k2sin1k2 sin2k如果能，问题就“OK”了，此时必ksincos1k2 sin 1k2 sin1k2 sin1k2 sin2k2 1k2 0 2 （这一过程实际上就是对3 d用分部积分法，只是分部积分法的具0 2 1k sin 藏

17、得较深，不易简单地观察出来。从而由定积分的线性性和牛顿莱布尼茨公式2 d1 k2sinE(k) k2 11k 1k sin 所以F(k) 1E(k)F(k) E(k) 1Fk 1k(1k 附：分部积分法计算2 1的同学参考01k2 sin2附：分部积分法计算2 1的同学参考01k2 sin2 d0 1k2 sin21k2 sin2k2 sin21k2 sin20 1k2 sin20k2 sin20 1k2 sin20 2 下面对 21 0 2 事实上k2 sin2很难想k 2 sin 1k2 sin1k2 sin21k sin 这样的分解 k 1k2 sin2k k cos2 cos21k2

18、1k2 sin2001k2 sin21k2 sin21ksin2 2k2 1 1 k2 sin2 02 d 1k2 sin21k2 sin 1k2 sin21k2 sin2 0 2k k2 sin2 12 d 2 2 1k2 sin211k2 sin21k2 sin22 1k2 sin2 1k2 sin22 k d k2 1 sin 2 1k1k2 sin22 112 1 k2 sin1k2 sin21k2 sin2代入上式得2 k2sin2d 2 2 0 1k2 sin21k2 sin20 1k1k2 sin22 1k2 sin2211 2节部分习1、熟悉含参量反常积分一致收敛的定义， 内闭

19、一致收敛的定义以及判断一致收敛的确界法，并能用定义或确界法下面几类典型积分的一致收敛性的情况：+ sindy 分别在,（其中 0 ）和0,上的一致收敛情况；y+ xexydy 分别在（其中 0 ）和00+ exydy 分别在（其中 0 ）和00注意：当反常积分能具体计算出结果时，用确界法比较方便；在考虑含参量反常积分不一致收敛时，用确界法比较方便。2、熟悉含参量反常积分一致收敛的常用判别法（M-判别法，阿贝尔判别法和狄利克雷判别法，并能熟练地应用它们判断具体含参量反常积分的一致收敛性；3、熟悉含参量反常积分的解析性定理（连续性定理， 可微性定理， 可积性定理。注意理解这些定理中条件的作用），并

20、能熟练地应用它们具体含参量反常积分在指定范围内的解析性，计算积分等；4、熟记伽马函数和贝塔函数的积分表示， 掌握伽马函数和贝塔函数的常用性质（ 如伽马函数的递推公式，延拓和其他积分表示；贝塔函数的对称公式，余元公式，贝塔函数与伽马函数的关系和其他积分表示，并能熟练地应用性质简化某些积分的计算。1、证明下列各题【做题之前请回顾：1、一致收敛的 M判别法，狄利克雷判别法和阿贝尔判别法（注： 中判断具体含参量反常积分在指定范围内一致收敛时一般用它们而无需考虑其他方法。在用时，首选 M判别法，不行的话，再选择狄利克雷判别法或阿贝尔判别法。）2（殊快捷方法不能凑效， 一般用此法， 而无须考虑其他方法。（

21、这里指的特殊快捷方法是指利用含参量反常积分在参量取某一点时的反常积分不收敛的方法和利用连续性定理的结论不成立的方法， 这两种方法。）才能正确地使用判别法。才能正确地使用判别法。3（1） y2 dx 在() 上一致收敛(x2 y2【由题设信息知， y 是参量。注意到在1, (, 0【因为本问是证明不一致收敛，因此，先用特殊法因为 在 x 0 不连续，从而在0, b上不连续，所以由连dy 1,x0,0理知 xexydy 在0b上不一致收敛0A0， xexydy eAx ，所A xexydy sup eAx e0 1x0,blim A xexydy 10，故由确界法知 xexydy 在0,b上不一致

22、收敛。01（4）1ln(xy)dy 1,【由题设信息知， x 是参量。注意到在1 ,b 01（第一个 环节 ） exydx ，ya,b因为0ab上， e0 eaxdx 收敛一般，当含参量反常积分可通过适当变量替换转化为变限函数时，这样的函数的解析性（ 一般，当含参量反常积分可通过适当变量替换转化为变限函数时，这样的函数的解析性（ 续性、可微性和可积性）b2对于 eyx2dx，ya2,b2，注意到在0,a2b2 ea2x2 且 ea2x2 0 a20b2 dxeyx2 b2 y a2 y( d yxdyy2 y 2 2 y (b（2）I(x et sinxtdt x0I(0 et sin0dt

23、0dt 0 66I(x et sinxtdtarctan xarctanx x0时，此时x02I(x) et sinxtdt et sin(x)tdt arctan(x) arctanx et sindt arctanx,xarctanx x x 1cosxy x sin dxx 1cos dx ，因此本题可用可微性及（2）的结论计算）记I(y)dx ，具体计算也分三种情形 ex 1cos(x0)dx 0 sin 当 y 0 时，对任意闭区间ab(0, ) ，由狄利克雷判别法可得dx在ab一致收敛，显然e 单调且e1 ex sinxydx在abx收敛，从而ex sinxydx在(0 x0 x

24、1cosxy x sin I (y) dx dx arctany 分部积故I(y)arctan yarctany 1 y2 dy yarctan y 2ln(1 y )C 注意到0I(0)CIy yarctany1ln(1 y22y0时，此时y02I(y) ex 1cosxydx ex 1cosx(y)情形 yarctan(y)ln(1(y) ) yarctan yln(1 y 综上所述，对任意 y R 5、回答下列问题 ex 1cosxy dxyarctany1ln(1y2) x0 对 1 dy (2y2xy3)exy2dx对F(x) x3ex2ydy 能否运用积分与求导运算顺序交换来求解0

25、【本题的真实意图并不是 含参量反常积分解析性定理的应用， 而是通过传统积分的计算让大家理解含参量反常积分的解析性定理中的条件只是充分条件，并非必要条件。因此，本题中的具体计算是传统积分的计算，不涉及解析性的应用。另外，下面我在附中涉及的解析性定理中一致收敛不满足的验证部分，不是属于本题的解题要求，只起帮助理解定理条件不是必要的作用，大家可以跳过。】 uxy2 （1）因为当x0时，dy e xy dxy2 eudu 1 ，所lim 2xyexy2dy 1x0 lim2xyexy2 dy 0dy 0 1，所以对极限lim 2xyexy2dy不能施行极x0 与积分运算顺序的交换来求解（附： 在0,

26、上不一致收敛的判断。用特殊快捷的方法（即用连续性定理判别的方法）因为dy 在 0 上不连续， 所以由连续性定理知，00,x分别计算累次积分 1 dy (2y2xy3)exy2dx 和 dx 1 (2y 2xy3)exyy0时，显然当0 y 1时， (202x03)ex02dx 0dx0 (2y2xy3)exy2dx 2 exy2dx2 xy2exy2y 1 exy2 2 xyedxy2 2 2 20 y2 (2y2xy3)exy2dx0,y00（附： (2y2xy 320在 y 0,1 A0y02AA0 y1 2y 1 exy2 2 y xy2exy2dxyyy2 yyA 2 eAy2 2 (

27、1 Ay2)eAy2 Ay2eAy2 2 2 取y 1 A1(2y2xy dx Ay sup Ay 从lim (2ylim (2y2dx 0 A y0,1 故(2y 2xy3dx在 y0,1上不一致收敛。x3ex2 ydy ex2 ydx2 ux2 eudu x F(x1从 x3ex2ydy 3x2ex2y 2x4yex2y dy3 ex2ydx2y2x2y dx2ux2x euduueu du321 F(所以，对F(x) x3ex2ydy 能运用积分与求导运算顺序交换来求解0（附：类似于（2）x 3 x 20 dy3x2ex2y 2x4 yex2y x0在 x() 上不一致收敛A0 x0A3

28、02ex2 y 204 ye02y dy 0dy0 x0A3x2ex2y 2x4 yex2y dy exy2dx2 y 2x2 yex2 ydx2 y (12x2A)ex2所所以3x 22 x x 22Ady 12x A 120 A x 2 取20 1 从3x2x y dy 0 22x xA A故x 3 x 20 dy3x2ex2y 2x4yex2y dy 在 x(上不一致收敛。x06、应用 e at dt a 2 （a0 0at2eat2dt 2 a4n1 22n at 13(2n 2（2）t dt a eat2dt将视为含参量a的反常积分，先用M判别法验 eat2 dt 在a(0,) 内闭

29、一致收敛，然后用可微性在 e at dt a 2 a12而对第（2）问：从第（1）但就证明方法而言，上述方法并不是简单的方法，实际上用节的伽马函数的性质证明更单。下面给出这种方法。 u2s1eu2du ，以及n 1 (2n1)! (s2n2na t2eat2 dt a( e( atu dat a u2eu2 dat a 121 21 aaa u du a aaa2teatdt ( atat)2 u aaeu2 aa2n1 1 1 u 2 du na2a(2n 13(2n n1 2a aa a 7、应用2 （aa (a2 x2 【说明：本题的意图是让大家熟悉含参量反常积分的可微性定理，并希望用可

30、微性来解决此计算问题，请回顾可微性定理。】解 将 视为含参量a(0,)的反常积分。下面验 a2 a2 x(0, ) 上内闭一致收敛，事实上，任取闭子区间c, d (0, ) ，因为在c, d 0, 8、设 f (x, y) 为abc上连续非负函数I(x) I (x) 在abf (x, y)dy 在ab上连【说明：本题实际上是含参量反常积分利用连续性判断来判断一致收敛的一个判别法称为狄尼（dini）判别法。它的证明方法是基础的方法： 即利用一致收敛的定义， 再结合有限覆盖定理来证明。】下面给出证明的过程（注：此过程一般同学可以跳过。证明 对任意xab，因I(x) Mx M(x0AMx f (xy)dy 收敛，所以，对任意0f f (x,y)dy Af (x, AA又注意到 I