高等数学经管类专升本-第一章-向量课件

1、数量关系 第一章第一部分 向量代数第二部分 空间解析几何 在三维空间中:空间形式 点, 线, 面基本方法 坐标法; 向量法坐标,方程（组）向量与空间解析几何 四、空间直线方程一、空间直角坐标系二、向量及其运算 三、空间平面方程五、曲面方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 六、曲线方程 一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个)zox面1. 空间直角坐标系的基本概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 坐标轴 : 坐标面 :机动 目录 上页 下页 返回 结束

2、两点间的距离公式:记作:模 :向量的大小,二、向量1.向量:(又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量单位向量:模为 1 的向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 若向量 a 与 b 方向相同或相反, ab ;平行向量:2、向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 :交换律结合律机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量的减法3. 向量与数的乘法规定 :总之:运算律 :结合律分配律机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 向量的坐标表示则沿三个坐标轴方向的分向量.设点 M的坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 沿三个坐标轴方向的投影.5、向量运

3、算的坐标表示设则(4) 平行向量对应坐标成比例:机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)(2)(3) 设点则向量6. 向量的方向余弦与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦. 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 的夹角: 注:机动 目录 上页 下页 返回 结束 7、向量的数量积(1) 定义:(点积) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例(2) 性质(3) 运算律交换律结合律分配律机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求与两点等距离的点轨迹.解: 设该点为解得及机动 目录 上页 下页 返回 结束 （垂直平分面）例2. 已知两点和解:求例3. 已知两点和的模

4、 、方向余弦和方向角 . 解:计算向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 因例5. 设求其在 x 轴上的投影及在 y轴上的分向量.在 y 轴上的分向量为故在 x 轴上的投影为机动 目录 上页 下页 返回 结束 且垂直于非零向量的平面的方程为法向量.三、平面方程1、点法式方程2、一般式方程注：(1) D = 0平面过原点；(2) A = 0(3) A = 0，B = 0 平面平行于xoy面；平面平行于x轴；(4) A = 0，D = 0 平面过x轴.例1. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.解:因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程机动 目

5、录 上页 下页 返回 结束 因此有例2. 一平面通过两点垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解: 设所求平面的法向量为即的法向量约去C , 得即和则所求平面故方程为 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、空间直线方程因此其一般式方程1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，机动 目录 上页 下页 返回 结束 且平行于非零向量的直线 l 的方程为2、点向式方程3、参数式方程注:机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 垂 例1. 求过点(1,2 , 4) 且与平面机动 目录 上页 下页 返回 结束

6、 例2. 求过解: 令交点为由于从而L方程为则L方向向量为且与直线垂直相交的直线L方程.所以故得则交点为又五、曲面方程求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, (2) 不在曲面 S 上的点的坐

7、标不满足此方程,例1. 求动点到定点距离为 R 的轨迹方程.解: 设轨迹上动点为(球面)(一) 曲面定义 (二)柱面引例. 分析方程的坐标也满足方程解:在 xoy 面上，表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面.过此点作对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,在圆C上任取一点 定义2.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线l 形成的轨迹叫做柱面.C 叫做准线, l 叫做母线.如 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.表示母线平行于机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义3. 一条平面曲线(三)旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转

8、一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴 .例如 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 注：故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C: 则有则有该点转到机动 目录 上页 下页 返回 结束 给定yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:例1. 试求yoz面上直线所得曲面方程. 解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 绕z轴旋转一周-圆锥面例2. 求坐标面 xoz 上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 (双叶)(单叶)注： 常见二次曲面(1)（球面）(2)(3)(5)(4)（椭球面）（锥面）（旋转抛物面）（圆柱面）作图：(1)所围成的曲面，(2)所围成的曲面，六、空间曲线1. 一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线,例如,方程组表示圆柱面与平面的交线 C. C机动 目录 上页 下页 返回 结束 六、空间曲线(一)曲线方程将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.