新课标人教A版高中数学必修1知识点总结

1、优选文档优选文档PAGEPAGE29优选文档PAGE高中数学必修1知识点总结第一章会集与函数看法【】会集的含义与表示（1）会集的看法会集中的元素拥有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）会集与元素间的关系对象a与会集M的关系是aM，也许aM，两者必居其一.4）会集的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述会集.列举法：把会集中的元素一一列举出来，写在大括号内表示会集.描述法：x|x拥有的性质，其中x为会集的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示会集.（5）会集的分类含有有限个元素的会集叫做有限集.含有

2、无量个元素的会集叫做无量集.不含有任何元素的会集叫做空集().【】会集间的基本关系（6）子集、真子集、会集相等名称记号意义性质AB(1)AA子集（或A中的任一元素都属(2)A于B(3)若AB且BC，则ACBA)(4)若AB且BA，则ABABAB，且B中至（1）A（A为非空子集）真子集稀有一元素不属于A（或BA(2)若AB且BC，则AC）中的任一元素都属表示图A(B)BA或BA会集AB于B，B中的任一元素(1)ABA(B)相等(2)BA都属于A（7）已知会集A有n(n1)个元素，则它有2n个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集，它有2n2非空真子集.【】会集的基本运算（8）交集、并集、

3、补集名称记号意义性质表示图1A交集A并集x|xA,BxBx|xA,BxB且（1）AAA（2）A（3）ABAABABB或（1）AAA（2）AA（3）ABAABABB1A(eUA)2A(eUA)U补集Ux|xU,且xA痧U(AB)(UA)(?UB)eA痧(AB)(A)(?B)UUU【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|x|a(a0)x|axa|x|a(a0)x|xa或xa，把axb看作一个整体，化成|x|a|axb|c,|axb|c(c0)|x|a(a0)型不等式来求解2）一元二次不等式的解法鉴识式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)O

4、的图象一元二次方程x1,2bb24acax2bxc0(a0)2ax1x2b无实根（其中2ax2)的根x1ax2bxc0(a0)x|xbRx|xx1或xx2的解集2aax2bxc0(a0)x2x|x1x的解集21.2函数及其表示】函数的看法（1）函数的看法设A、B是两个非空的数集，若是依照某种对应法规f，关于会集A中任何一个数x，在会集B中都有唯一确定的数记作f(x)和它对应，那么这样的对应（包括会集A，B以及A到B的对应法规f）叫做会集A到B的一个函数，f:AB函数的三要素:定义域、值域和对应法规只有定义域相同，且对应法规也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的看法及表示法设a,b是两个实数，

5、且ab，满足axb的实数x的会集叫做闭区间，记做a,b；满足axb的实数x的会集叫做开区间，记做(a,b)；满足axb，或axb的实数x的会集叫做半开半闭区间，分别记做a,b)，(a,b；满足xa,xa,xb,xb的实数x的会集分别记做a,),(a,),(,b,(,b)注意：关于会集x|axb与区间(a,b)，前者a能够大于或等于b，此后者必定b3）求函数的定义域时，一般依照以下原则：f(x)是整式时，定义域是全体实数f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一的确数f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的会集对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大

6、于零且不等于1ytanx中，xk(kZ)2零（负）指数幂的底数不能够为零若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集的定义域应由不关于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为a,b，其复合函数fg(x)解出等式ag(x)b关于含字母参数的函数，求其定义域，依照问题详尽情况需对字母参数进行分类谈论由实责问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要吻合问题的实质意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，若是在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求

7、函数的最值与值域，其实质是相同的，可是提问的角度不相同求函数值域与最值3的常用方法：察见解：关于比较简单的函数，我们能够经过观察直接获得值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，此后依照变量的取值范围确定函数的值域或最值y的关于的二次方程b(y)xc(y)0，则在鉴识式法：若函数yf(x)能够化成一个系数含有xa(y)x2a(y)0时，由于x,y为实数，故必定有b2(y)4a(y)c(y)0，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：经过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转变成三角函数的最值问题反函数法：

8、利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【】函数的表示法5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）照射的看法设A、B是两个会集，若是依照某种对应法规f，关于会集A中任何一个元素，在会集B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括会集A，B以及A到B的对应法规f）叫做会集A到B的照射，记作f:AB给定一个会集A到会集B的照射，且a

9、A,bB若是元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象1.3函数的基本性质【】单调性与最大（小）值1）函数的单调性定义及判断方法函数的性质定义图象若是关于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量yy=f(X)的值x1、x2,当x1x2时，都f(x2)函数的有f(x1)f(x2)，那么就说f(x1)单调性f(x)在这个区间上是增函数o12xxx判断方法1）利用定义2）利用已知函数的单调性3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数4若是关于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说（1）利用定义yy=f(X)

10、（2）利用已知函数的f(x1)单调性（3）利用函数图象（在f(x)2某个区间图f(x)在这个区间上是减函数ox2x象下降为减）x1（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数关于复合函数yfg(x)，令ug(x)，若yf(u)为增，ug(x)为增，则yfg(x)为增；若yf(u)为减，ug(x)为减，则yfg(x)为增；若yf(u)为增，ug(x)为减，则yfg(x)为为减，ug(x)为增，则为减减；若yf(u)yfg(x)（2）打“”函数()a(0)的图象与性质fxxxaf(x)分别在(,a、a,

11、)上为增函数，分别在a,0)、(0,a上为减函数y（3）最大（小）值定义一般地，设函数yf(x)的定义域为I，若是存在实数M满足：（1）关于任意的xI，都有oxf(x)M；（2）存在M是函数f(x)x0I，使得f(x0)M那么，我们称的最大值，记作fmax(x)M一般地，设函数yf(x)的定义域为I，若是存在实数m满足：（1）关于任意的xI，都有f(x)m；（2）存在x0I，使得f(x0)m那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作fmax(x)m】奇偶性4）函数的奇偶性定义及判断方法函数的性质定义图象判断方法若是关于函数f(x)定义域内（1）利用定义（要先任意一个x，都有f(x)=判判断义域

12、可否关于f(x),那么函数f(x)函数的叫做奇函原点对称）数（2）利用图象（图象奇偶性关于原点对称）5若是关于函数f(x)定义域内（1）利用定义（要先任意一个x，都有f(x)=f(x),判判断义域可否关于那么函数f(x)叫做偶函数原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）若函数f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象1）作图利用描点

13、法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；谈论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要正确记忆一次函数、二次函数、反比率函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换yf(x)伸缩变换yf(x)yf(x)对称变换f(x)yf(x)yf(x)f(x)2）识图h0,左移h个单位k0,上移k个单位yf(xh)yf(x)yf(x)kh0,右移|h|个单位k0,下移|k|个单位伸01,yf(x)缩1,缩A1,伸yAf(x)A1,轴轴yf(x)yf(x)yyf(x)x原点直线yf(x)yf(x)yx1yf(x)去掉y轴左边图象yf(|x|)保留

14、y轴右边图象，并作其关y轴对称图于象保留x轴上方图象y|f(x)|将x轴下方图象翻折上去关于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注妄图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题供应了“形”的直观性，它是研究解题路子，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章基本初等函数()2.1指数函数】指数与指数幂的运算（1）根式的看法6n,aRxRn,1nNxannana若是，且，那么叫做的次方根当是奇数时，的次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na

15、表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0根式的性质：(na)na；当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nan|a|a(a0)a(a0)（2）分数指数幂的看法m0,且nnnm1)0的正分数指数幂等于0正数的正分数指数幂的意义是：aa(aNmm1正数的负分数指数幂的意义是：an(1)nn()m(a0,m,nN,且n1)0的负分数指数幂没aa有意义注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质arasars(a0,r,sR)(ar)sars(a0,r,sR)(

16、)rrr(0,0,)abababrR【】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义ax(a0且a1)叫做指数函数函数ya10a1yyaxyaxy图象y1(0,1)O定义域值域过定点图象过定点奇偶性单调性y1(0,1)xOR(0,)(0,1)，即当x0时，y1非奇非偶x在R上是增函数在R上是减函数7ax1(x0)a函数值的ax1(x0)a变化情况ax1(x0)axxx1(x0)1(x0)1(x0)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低2.2对数函数】对数与对数运算（1）对数的定义若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其

17、中a叫做底数，N叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：（2）几个重要的对数恒等式xlogaNaxN(a0,a1,N0)loga10，logaa1，logaabb（3）常用对数与自然对数常用对数：，即N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828lgNlog10,）（4）对数的运算性质若是a0,a1,M0,N0，那么加法：logaNloga(MN)减法：logaMlogaNlogMlogaMaN数乘：nlogaMlogaMn(nR)alogaNNnnR)换底公式：logaNlogbN0,且b1)logabMlogaM(b0,n(bblogba【】对数函数及其性质5）对数函数函数

18、名称对数函数log(0且叫做对数函数定义函数yaxaa1)图象a10a18x1x1yylogaxyylogxa(1,0)O(1,0)xOx定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当x1时，y0奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数logax0(x1)logax0(x1)函数值的0(x1)logax0(x1)logax变化情况logax0(0 x1)logax0(0 x1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高反函数的看法设函数yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)若是关于y在C中的任何

19、一个值，经过式子叫做函数函数x(y)（7）反函数的求法x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改写成yf1(x)确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式yf(x)中反解出xf1(y)；将xf1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域（8）反函数的性质原函数yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域若P(a,b)在原函数yf(x)的图象上，则P(b,a)在反函数yf1(x)的图象上一般地，函数yf(x)要有反函数则它必定为单调

20、函数2.3幂函数（1）幂函数的定义9一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都经过点(1,1)单调性：若是0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数若是0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无量凑近x轴与y轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶

21、函数当qp,q互质，p和qZ），（其中pqq若p为奇数q为奇数时，则yxp是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则yxp是偶函数，若p为偶数q为奇数时，q则yxp是非奇非偶函数图象特色：幂函数yx,x(0,)，当1时，若0 x1，其图象在直线yx下方，若x1，其图象在直线yx上方，当1时，若0 x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直线yx下方补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)极点式：f(x)a(xh)2k(a0)两根式：10f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的极点坐标或与对称

22、轴有关或与最大（小）值有关时，常使用极点式若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，采纳两根式求f(x)更方便（3）二次函数图象的性质f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb二次函数,极点坐标是2a(b,4acb2)2a4abb,当a0时，抛物线张口向上，函数在(,上递减，在)上递加，当xb时，2a2a2a4acb20时，抛物线张口向下，函数在(,b上递加，在bbfmin(x)；当a,)上递减，当x4a2a2a2a时，4acb2fmax(x)4a二次函数f(x)ax2bxc(a0)当b24ac0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2

23、|x1x2|a|（4）一元二次方程2bxc0(a0)根的分布ax一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完满，且解决的方法侧重于二次方程根的鉴识式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来解析一元二次方程实根的分布设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两实根为x1,x2，且x1x2令f(x)ax2bxc，从以下四个方a对称轴地址：xb面来解析此类问题：张口方向：鉴识式：端点函数值符号2akx1x2yybf(k)0a0 x2akxOkOxxxx2121xbf(k)0a0 x2ax1x2k11yyf(k)0ba0 x2aOOkxx2kxxx2x11ba0f(k)0 x2ax1kx2af(k)0yya0f(k)0kx1x2xx1Okx2xf(k)0a0k1x1x2k2ya0 xb0f(k2)y2af(k1)0 x1x2k1k2Ok2xOxx2k11xbf(k1)0)0 xf(k2a02a有且仅有一个根x1（或x2）满足k1x1（或x2）k2120，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两f(k)f(k)种情况可否也吻合ya0yf(k1)0f(k1)0 x1k2k2OOxk1xk1x2x12xf(k2)0a0f(k2)0k1x1k2p1x2p2此结论可直接由推出（5）二