类型七 二次函数与直角三角形有关的问题

1、（2）当 ，b （2）当 ，b 类型七 次函数与直角三形有关的问【典例 】如图，抛物线y 2 与 轴于 ， 两（1）若过点的直线 是抛物线的对称轴求抛物线的解析式；对称轴上是否存在一点 P 使点 关于直线 OP 的称点 B对称轴上存在， 请求出点 P 的标；若不存在，请说明理由b 0 x 时，函数值 的大值满足 ，求 的值范围【答案y ；存在， P (2,2 21) 或 (2, ) ） 7 7 【解析析（1）根据抛物线的对称轴公即可求出解析式；如图 1，若点 P 在 x 轴上方， 于 OP 称的点 B在对称轴上，连接 O、PB根据轴对称得到， PB ，出点 的坐，勾股定理得到 B 21)，再根

2、据PB ，出方程解答，同理得点 在 轴下时的坐标即可；（2）当 时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当 x 时，函数的增减性，从而得到当 x=2 时函数取大值，再列出不等式解答即可【详解】解）抛物线y bx 的对称轴为直线 b ，若过点的直线 是抛物线的对称轴，则2，解得b=4，y 2 ；存在，则如图 1，若点 P 在 x 轴方，点 B 关 OP 对称点 B ， PB ，在对称轴上，连接 B、PB，对于y 2 ，令 ， x ，解得：x 1 ，A（5,0OB ， 22 21， 21)，设点 P（2，m由 可得： 21 m (5 ，得： 2 7，2 (2, ) ，7同理，当点 P 在 x 轴

3、下方时， P (2, 2 7) ，综上所述，点 P (2,2 21 ) 或 (2, )7 7（2）抛物线y 的对称轴为直线 b ，当 时，x ，抛物线开口向下，在对称轴左边y 增大而增大，当 x 时，取 x=2，y 有大值，即 ， b ，解得： ，又 ， 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用及了二次函数的图象与性质以及勾股定理的应用其中第（1）问要先画出图形再解，第）问运用到了二次函数的增减性，难度不大，解 题的关键是熟记二次函数的图象与性质【典例 】如图，二次函数 yaxbx4 的图与 x 轴于点 A(1，0)，B(4，0)与 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，其对称轴与线段 BC 交点 垂

4、直于 x 轴动直线 l 分别交抛物线和线段 BC 于 P 和 ，动直线 l 在物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿 x 轴正方向移动到 B 点（1）求出二次函数 yaxbx4 和 BC 所在直线的表达式；（2）在动直线 l 移的过程中，试求使四边形 DEFP 为平行四边形的点 P 的标；（3）连接 ，CD，在移动直线 l 移动的过程中，抛物线上是否存在点 P，使得以点 P，C，F 为点的三角形与 相，如果存在，求出点 的坐，如果不存在，请说明理由, 4 , 4 【答案）y=-x 3x4，y=-x4 ）在， 【解析】【分析】（1）运用待定系数法，利用 ，B 点的坐标构建二元一次方程组求解二次函数的

5、表达式， 利用 B 两的坐标确定直线 BC 的达式；（2）先求得 DE 的，根据平行边形的性质得到 PF=DE点 P 与 的坐标相同，故利用抛物线与直线的解析式表示它们的纵坐标，根据其差等于 DE 长建一元二次方程求解；（3）结合图形与已知条件，易发现若两三角形相似，只可能存在PCF CDE 一情况 的边均可求）已表示 PF 的，再构建直角三角形或借助两点间距离公式利勾股定理表示出 CF 的这根据比例式列方程求解从而可判断点 P 是存在， 以及求解点 P 的【详解】（1）由题意，将 A(-10)0)入y 2bx ，得 a ，得 ， a b 二次函数的表达式为y ，当 时，y=4，点 C 的标(

6、，4)又点 的坐(4，0)设线段 BC 所在线的表达式为y mx ， m ，解得 m ，BC 所直线的表达式为 ；（2）DEx 轴PFx 轴DE，只要 DE=PF，此时四边形 DEFP 为平行四边形由二次函数 y=- x +3 x x - ) 2+ ， D 的标为( ， ， 将x 5 3 5 代入 ， y=- +4= ，点 E 的标( ， )， 2 2 2 2 2 2 DE= 5 15- = ， 4设点 P 的坐标为 t，则 P(t，-t+3t+4)，F(t，-t+4) PF=-t+3t+4-(-t+4)=-t，由 DE=PF，得-t+4t=154，解之，得 = (不合题意，舍去，t = ，当

7、 时，-t+3t+4=-( )+3 +4= ， P 的标( 21， )； 4（3）由（），PFDE，CFP，又 与 有同的顶点 ，且 在DCE 内部， PCFDCE，只有当PCF=CDE 时 eq oac(,) eq oac(,，)CDE由 D ( 3 ， )，C(0，4)，E( ， )利用勾股定理，可得 2 5 2CE= 4 ，DE= 2 4，由（2）以及勾股定理知PF=-t+4t，F(t，-t+4)，CF= tt ， 2 2PCF eq oac(,，)PF CFCE DE 4t ，即 15，t0，154( )=3，t=， 当 时-t+3t+4=-( )+3 +4= 5 5 25 点 P 的

8、标( ， ) 【点睛】本题属于二次函数综合题考查了一次函数的性质次函数的性质相似三角形的判定和性质平四边形的判定和性质勾股定理的应用等知识，解题的关键是用形结合 的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题【典例 】如图，抛物线 14 与 轴于 A ， B 两点（点 A 在点 B 的侧轴交于点 C 线 l 与物线交于 A ，D 点与 轴于点 点 D 的标（1）请直接写出 ， 两的坐标及直线l的函数表达式；（2）若点 P 是物线上的点，点 的坐标为，过点 P 作 PM 轴，垂足为2 2 M PM与直线 l交于点，当点是线段PM的三等分点时，求点 P 的标；【答案 l的函数表达式为：y x ）点是线段PM的三等分点时，点 P 的标为154；【解析】【分析】（1x 0,可得 B两点的坐标 A D 的标代入一次函数解析式可得l的解析式；（2）根据题意画出图形，分别示P M , 三点的坐标，求解PM , , MN的长度，分两种情况讨论即可得到答案； 【详解】解）令x2 0, 6. 设直线l的函数表达式为： kx ，把A代入得： k 解得： 12b 直线 l 的数表达式为：y x （2）解：如图，根据题意可知点 与的坐标分别为 1P 4 1 N 3, 4 3, 4 PM 1 m m 2 4 1 m