专题突破二次函数面积最值问题的4种解法,必看

1、专题突破二次函数面积最值问题的4种解法，必看！二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。而求三角形面积的最值问题，更是常见。今天介绍二次函数考试题型中，面积最值问题的4种常用解法。同学们，只要熟练运用一两种解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题，就好。从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合在这里以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。例题：如图抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A0)

2、,BL3,0)两点。求该抛物线的解析式；设中的抛物线交Y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q使得AQAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由；如图2,在中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使APBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。原题：在(1)中的抛物线上的第二象限是否存在一点P,使PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标及PBC的面积最大值，若没有，请说明理由。考试题型,大多类似于此。求面积最大值的动点坐标,并求出面积最大值。一般解题思路和步骤是,设动点P的坐标,然后用代数式表达各线段的长。通过公式计算,得出二次函数顶

3、点式,则坐标和最值,即出。解：抛物线解析式为丫=-/-2汀3；将军饮马问题，求出Q(-b2)；下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法解法1:补形割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。方法一：如图3,设P点(x厂以一2x托)吉亘亠同苦射屉阳卞厶凤-5-2L7旺辿息母厲述29若几现喻有血尢價,则就捻大*窘rBEP恵+OC)=y(x+3)(-+3)+-(-2x+3+3)当x八号嗽$丽桦心駁火值二专+寻*-P-Jr皴大ffl寻*亠青三备此时,x-2s+3-芋T/-点尸坐标为卜寻普)*解法一：补形,割形法。方

4、法要点是,把所求图像的面积适当的割补,转化成有利于面积表达的常规几何图形。请看解题步骤。方法二：如图4,设P点(x,-x2-2x+3)(-3x0).（下略.）图4解法2：铅锤定理“铅垂高，水平宽”面积法如图5tiSAABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫AABC的“水平宽掙（a）,中间的这条直线在ZkABC内部线段的长度叫AABC的“铅垂高（”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：SAABC=l/2ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半遅解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度x水平宽度寺2。这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。铅锤定理，在教材上

5、没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。327当278寻时w?最大-+T二点P327当278寻时w?最大-+T二点P坐标为(-3/2?15/4)根据上述方法，本题解答如下:图G解：如图6,作PE丄x轴于点E,交BC于点F.设P点(x7-x2-2x+3)(3x0)ipwtrs白血尸甘严盘*戸尸-BE+寺PFOE=yf/XRE十()E)py-PFQBafS2缶+3(jc+3)解法二：铅锤定理，在求二次函数三角形面积最值问题，运用非常多。设动点P的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然后利用铅

6、锤定理的计算公式，得出二次函数，必有最大值。2BP由3斗吕-址3且解法養切线法若要使APBC的面积最大,只需使BC2BP由3斗吕-址3且解法養切线法若要使APBC的面积最大,只需使BC上的高最大过点P作BC的平行线I,当直线I与抛物线有唯一交点（即点P时fBC上的高最尢此时APBC的面积最大于是，得到下面的切线法.解:如图7,直线BC的解析式My=x+3t过点P作BC的平行线I,从而可设直线I的解析式为，y=x斗b.=27/8图7Xbv-x2-+3mx2亠Nn+*3,咲立，此i寸RU上的応h百左大.=-sin厶=jW7-曲n二QMP解法三：切线法。这其实属于高中内容。但是，基础好的同学也很容易理解，可以看看，提前了解一下。解法4：三角函数去本题也可直接利用三角函数法求得.解：如图8,作PE丄x轴交于点匚交BC于点F,作PIV1解法4：三角函数去本题也可直接利用三角函数法求得.于点M设P点(x?-xz-2x+3)(-3x0),则F(x,x+3)从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解口从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解口总之，从以上的四种解法可以得出一个规律。过点P做辅助线，然后利用相关性质，找出各元素之间的关系。设动点P的坐标，然后找出各线段的代