第四讲-行程之多人行程与钟面问题

1、文档编码 : CR9R7B6O9P2 HW5Y6N2Q8L2 ZO3J5C6J3J9第四讲 行程之多人行程与钟面问题在行程问题中, 只显现两者的相对运动,可以表现为相遇和追及两大类,它的一种特殊形式表现为钟面问题；在很多重点中学小升初的入学考试或者其它竞赛中,往往会出教学目标现三人或者说多人行程,对这样的专题进行归纳和总结是很有意义的；1 回忆基本相遇、追及问题与变速问题；2 精讲：一、钟面问题：钟面追及、钟面相遇、时钟校准；二、多人行程：其本质是从两两关系中推出结论；可以看作是多个两者运动关系在某一等量联系下的变化；专题回忆相遇与追及【例 1】 （第三届“ 走进精妙的数学花园” 解题技能呈现

2、大赛）猎狗发觉北边 200 米处有一点兔子刚要逃跑,拔腿就追；兔子的地窖在兔子的北边480 米,如兔子每秒跑 13 米,猎狗每秒跑 18 米,可怜的兔子能逃过这一劫吗？（判断“ 能” 仍是“ 不能”,并说明理由）【例 2】 （ 2022 浙江省学校数学活动课夏令营）甲、乙两人的速度之比是 5:4, 乙先从 B地动身行往 A 地,当走到离 B 地 336 米的地方时,甲从 A 地动身行往 B 地；结果两人相遇的地方离 A、B 两地距离之比是 3:4,那么 A, B两地的距离是 米；【例 3】 （ 2022 年“ 我爱数学杯” 数学竞赛）甲、乙两车同时从 A地动身开往 B 地,甲车的速度为每小时

3、45 千米, 乙车的速度为每小时 50 千米； 乙车到达 B 地后立刻返回, 在距 B地 5 千米处与甲车相遇,那么 A,B 两地相距 千米；变速问题【例 4】 （华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛模拟题）一个圆周长 70 厘米,甲、乙两只爬虫从同一点同时动身,同向爬行,甲以 4 厘米 /秒的速度不停地爬行,乙爬行 15 厘米后,立刻反向爬行,并且速度增加 1 倍,在离动身点 30 厘米处与甲相遇；就乙爬虫原先的速度是；【例 5】 （ 2022 年北京市“ 数学解题才能呈现” 读者评比活动高年级组初赛）甲、乙两地相距 100 千米, 张山骑摩托车从甲地动身,1 小时后李强驾驶汽车也从甲地动身,二人同

4、时到达乙地；已知摩托车开头的速度是每小时 50 千米,中途减为每小时 40 千米；汽车的速度是每小时 80 千米并在途中停留 10 分钟；那么,张山骑摩托车在动身 分钟后减速；专题精讲多人行程：【例 1】 甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走 60 米,乙每分钟走 50 米,丙每分钟走40 米；甲从 A地,乙和丙从 B地同时动身相向而行,甲和乙相遇后,过了 15 分钟又与丙相遇,求 A、B 两地间的距离；【例 2】 A、B、C、O 四个小镇之间的道路分布如以下图,其中A、O 两镇相距20千米, B、O 两镇相距 30 千米； 某天甲、 乙二人同时从B 动身, 甲到达 O 镇后再向 A 镇走,到达 A

5、 镇后又立刻返回, 而乙到达 O 镇后直接向 C 行进；丙从 C 镇与甲、 乙两人同时动身,在距离 O 镇 15 千米处与乙相遇；当丙到达 O 镇后又向 A 镇前行,在与 O 镇相距 6 千米的地方与甲相遇；已知甲、乙的速度比为A 8：9,求 O、C 两镇之间的距离；O C B 【例 3】 （ 2022 年江西省婺源县学校数学竞赛）甲、乙、丙三人同时从 A 地向 B地跑,当甲跑到 B地时,乙离 B 地仍有 30 米,丙离B 地仍有 40 米；当乙跑到 B 地时,丙离 B地仍有 16 米； A、B 两地相距多少米？【例 4】 （华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛模拟题）某社区为迎奥运会举办徒步竞赛；甲

6、、乙、丙三名运动员同时从同一个动身点起步后不间断地匀速步行,每分钟乙比甲少走 15 米,而比丙多走 3 米；当乙到达赛程中点折返处时,比甲晚到 4 分钟,而比丙早到 1 分钟；这次徒步竞赛全程多少米？【例 5】 2022 年学校数学 ABC精选题 如右图所示,甲、乙、丙分别从A,B, C点同时动身,并且同时到达B,CAC,A 点；假如 ABC的周长是 460 米,甲、乙、丙绕行一周的时间分别是8,9,12 分钟,那 么 BC长多少米 . B钟面问题 追及关系：【例 6】 （奥数争论中心）某工厂的一只走时不够精确的计时钟需要69 分钟（标准时间） 时针与分针才能重合一次；工人每天的正常工作时间是

7、8 小时,在此期间内,每工作一小时付给工资4元,而如超出规定时间加班,就每小时付给工资 时,那么他实际上应得工资多少元？相遇关系：【例 7】 （奥数争论中心）6 元；假如一个工人照此钟工作小小明在 1 点多钟时开头做奥数题,当他做完题时,发觉仍没到两点钟,但此时的时针和分针与开头做题时正好交换了位置,你知道小明做题时用了多长时间吗？时间校准：【例 9】（ 2022 年北京市“ 数学解题才能呈现” 读者评比活动高年级组初试）一个挂钟每天慢 30 秒；一个人在 3 月 23 日 12 时校正了挂钟,到 4 月 2 日 14 时至15 时之间,挂钟的时针与分针重合在一起时,标准时间应当是 4 月 2

8、 日 时分 秒（精确到秒）真题实战1（2022 年学校数学 ABC精选题）小光和小华同时从甲乙两村相对动身,小光每分钟走 80 米,下华每分钟走 75 米,两人在距中点 10 米处相遇,就甲乙两村相距（）米；A 620 B 310 C 155 D 600 2（ 2022 年“ 我爱数学少年夏令营”）某小组在下午 6 点开了一个会,刚开会时小张看了一下手表,发觉那时手表的分针和时针垂直；下午 7 点之前会就终止了,散会时小张又看了一下手表,发觉分针与时针仍然垂直,那么这个小组会共开了 分钟；3（ 2022 年香港“ 华罗庚” 杯数学邀请赛初赛）甲、乙、丙三人以不变的速度从A 地向 B地动身, 已

9、知乙比丙迟了10 分钟动身,出发后 20 分钟乙追上丙； 甲比乙迟了 发后多久便可以追上丙；4（江苏省吴江市 2022 年学校数学联赛）10 分钟动身, 动身后 30 分钟甲追上乙； 问甲出甲、乙两人从 A 村,丙从 B 村同时相向而行,甲每分行 70 米,乙每分行 60 米,丙每分行 75 米,丙遇到甲后 8 分钟,与乙相遇,A, B两村的路程有多少米？5（ 2022 年学校数学 ABC第一套 C卷）一辆汽车从甲地开往乙地,假如车速提高 20,可以提前 1 小时到达；假如按原速行驶一段距离后,再将速度提高 30,也可以提前 l 小时到达,那么按原速行驶了全部路程的几分之几 . 数学语絮 爱好

10、是最好的老师爱因斯坦说：“ 爱好是最好的老师”（高尔基好象也这样说） ；杨振宁先生说 :“ 成功的真刚要领是爱好； ” 每位同学可能对此深有同感,说明大家都有伟人潜质,而这么多将来伟人 都能这样想,看来“ 爱好是最好的老师” 这样的意思不会错；我们关怀的是,我在学奥数,也想请来爱好这样的老师,如何做到呢？很简洁的,这里支你三招：第一招：心中默念一百遍“ 数学是好玩的”；其次招：心中再想一百道“ 好玩” 的数学题；第三招：梦中再说一句关于奥数的梦话,这样的情形很好玩；这几招好像有点离谱,其实大有深意；第一点, 心里示意在起作用,我要真正想对数学感爱好,这很重要； 有的同学可能会说,应当是在老师引

11、导和激发下,才能对奥数感爱好吧？没错,老师在培养同学们的爱好方面功不行没,但前提是每个同学要做好接纳奥数的思想预备,会宠爱奥数；要主动地迎向奥数,拥抱奥数,终其次点, 假如有同学能在心中想到一百道“ 好玩”的奥数题, 恭喜你, 你确定是奥数 “ 骨灰级” 粉丝；更要恭喜你,你将做任何奥数题,都会所向披靡；更重要的是,假如正好有一道题你做的有点不爽,那么你将如获至宝； 假如你现在仍没攒够一百道好玩的奥数题,那么,快点行动起来！第三点, 更厉害的一招, 只要你能在梦中做出一道最简洁的奥数题,或者哪怕只是轻轻地梦呓奥数的好玩与美丽,那么我可以大胆地向你保证,你将在数学方面突飞猛进,一路高歌；这些话并不唯心, 由于我们在老师的指引下,可以真正做到, 可以逐步体会到奥数的美：挑战并战胜困难,很了不得吧；看似“ 巨难”,其实是纸老虎,很好笑吧；