2022高考数学（文）一轮通用版讲义：8.1.1系统知识-空间几何体

1、PAGE21第八章eqblc|rcavs4alco1,立体几何第一节空间几何体考纲要求1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2能画出简单空间图形长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图3会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式4了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式第1课时系统知识空间几何体空间几何体的结构特征1简单旋转体的结构特征1圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；2圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；3圆台可以由直角梯

2、形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；4球可以由半圆或圆绕直径旋转得到提醒1球是以半圆面为旋转对象的，而不是半圆2要注意球面上两点的直线距离、球面距离以及在相应的小圆上的弧长三者之间的区别与联系2简单多面体的结构特征1棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；2棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；3棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形提醒1棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱2棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台3注意棱台的所有侧棱相交于一点

3、eqavs4al小题练通avs4al教材改编题在如图所示的几何体中，是棱柱的为_填写所有正确的序号答案：avs4al教材改编题下列命题中正确的是_由五个平面围成的多面体只能是四棱锥；棱锥的高线可能在几何体之外；仅有一组相对的面平行的六面体一定是棱台；有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥答案：avs4al教材改编题一个棱柱至少有_个面；面数最少的一个棱锥有_个顶点；顶点最少的一个棱台有_条侧棱答案：543avs4al易错题从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E，F，G不与顶点重合，过此三点作长方体的截面，那么这个截面的形状是A锐角三角形B矩形C平行四边形D正方形答案：A5下面图形

4、都是由六个全等的小正方形组成，其中可以折成正方体的是答案：C6已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别是棱D1C1，B1C1的中点，过E，F作一平面，使得平面平面AB1D1，则平面截正方体的表面所得平面图形为A三角形B四边形C五边形D六边形解析：选D如图所示，平面是平面EFGHJK，截面是六边形，故选D直观图与三视图1直观图1画法：常用斜二测画法2规则：原图形中轴、y轴、轴两两垂直，直观图中，轴、y轴的夹角为45或135，轴与轴和y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来

5、的一半谨记常用结论直观图与原图形面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：1S直观图eqfr2,4S原图形2S原图形2eqr2S直观图2三视图1几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线2三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线eqavs4al小题练通avs4al教材改编题下列说法正确的是A相等的角在直观图中仍然相等B相等的线段在直观图中仍然相等C正方形的直观图是正方形D若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案：Davs4al教材改

6、编题用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是解析：选A由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为eqr2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2eqr2avs4al教材改编题用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于轴已知四边形ABCD的面积为2eqr2cm2，则原平面图形的面积为A4cm2B4eqr2cm2C8cm2D8eqr2cm2解析：选C依题意可知BAD45，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2eqr2倍，所以原平面图形的面积为8cm2avs4al易错

7、题沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为解析：选B给几何体的各顶点标上字母，如图，A，E在侧投影面上的投影重合，C，G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图所示，故正确选项为B5某几何体的正视图与侧视图均为边长为1的正方形，则下面四个图形中，可能是该几何体俯视图的个数为A1B2C3D4解析：选C俯视图从左到右依次记为：如果几何体为棱长为1的正方体，则俯视图如图；如果几何体为圆柱，它的底面直径为1，高为1，则俯视图如图；如果几何体为从棱长为1的正方体中挖去直径为2，高为1的圆柱的eqf1,4，则俯视图如图；以图为俯视图的几何体的

8、正视图不是正方形故选C6一个几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是解析：选B由几何体的直观图知，该几何体最上面的棱横放且在中间的位置上，因此俯视图应排除A、C、D，经验证B符合题意，故选B空间几何体的表面积与体积1空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体棱柱和圆柱S表面积S侧2S底VSh锥体棱锥和圆锥S表面积S侧S底Veqf1,3Sh台体棱台和圆台S表面积S侧S上S下Veqf1,3S上S下eqrS上S下h球S4R2Veqf4,3R3提醒解决与几何体的面积有关问题时，务必要注意是求全面积还是求侧面积2求表面积与体积的常用方法1割补法割补法是割法与补法的总称补法是把不规则不

9、熟悉的或复杂的几何体延伸或补成规则的熟悉的或简单的几何体，把不完整的图形补成完整的图形割法是把复杂的不规则的几何体切割成简单的规则的几何体割与补是对立统一的，是一个问题的两个相反方面割补法无论是求解体积问题还是求解空间角或空间距离以及证明垂直或平行关系都有简化解题过程、开阔思维的优点2等积法等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形或几何体的面积或体积通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形或三棱锥的高，而通过直接计算得到高的数值eqavs4al小题练通avs4al教材改编题如图，将一

10、个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_答案：147avs4al教材改编题已知某几何体的三视图单位：cm，如图所示，则该几何体的体积是_答案：100avs4al教材改编题已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于_答案：20eqr3avs4al易错题若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_答案：7216eqr25某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为_答案：eqf4,36将一个相邻边长分别为4，8的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是_解析：当底面周长为4时，底面圆的半径

11、为2，两个底面的面积之和是8；当底面周长为8时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积322故所求的表面积是3228或32232答案：3228或32232课时跟踪检测1下列说法中正确的是A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线解析：选D当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋

12、转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误选D2用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是解析：选BD选项为正视图或侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B3某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为Aeqr5B2eqr2C3D3eqr2解析：选C依题意，可知该几何体为如图所示三棱锥DABC，最长的棱ADeqr12r223，故选C42022长沙模拟如图是某几何体的三视图，其正视图、侧视图均是直径为2的半圆，俯视图

13、是直径为2的圆，则该几何体的表面积为A3B4C5D12解析：选A由三视图可知，该几何体是半径为1的半球，其表面积为252022南阳联考已知一个三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为解析：选C由已知条件得直观图如图所示，则该几何体的体积单位：cm3是A2B4C6D8解析：选C由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的两底边长分别为1,2，高为2，该几何体的体积为Veqf1,22122692022承德期末某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为

14、A84eqr22eqr5B64eqr24eqr5C62eqr22eqr5D82eqr22eqr5解析：选C由三视图可知，几何体为如图所示的四棱锥P是边长为2的正方形，侧面PAB垂直于底面ABCD，且点P到底面ABCD的距离为2，故其表面积为22eqf1,222eqf1,222eqr22eqf1,22eqr562eqr22eqr5故选C102022天津红桥区一模某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是Aeqf2r2,3Beqf,2Ceqfr2,3D解析：选C由三视图知，几何体是半径为1，母线长为3的半圆锥，几何体的体积Veqf1,3eqf1,212eqr3212eqfr2,3112022洛阳

15、二模某几何体的三视图如图所示，则其表面积为f17,2B9f19,2D10解析：选B由三视图可知，几何体为下部分是圆柱与上部分是eqf1,4球的组合体圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1所以几何体的表面积为12213412eqf1,4eqf1,212eqf1,21212已知正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为Aeqf81,4B16C9Deqf27,4解析：选A如图，设球心为O，半径为r，则在RtAOF中，4r2eqr22r2，解得reqf9,4，所以该球的表面积为4r24eqblcrcavs4alco1f9,42eqf81,413已知某几何体的三视图如

16、图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1，直径为4的球的体积为V2，则V1V2A12B21C11D14解析：选A由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥，因此V18eqf8,3eqf16,3，V2eqf4,323eqf32,3，V1V21214下列几何体是棱台的是_填序号解析：都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故不满足题意中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故不满足题意符合棱台的定义，故填答案：15已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为_解析：由俯视图可知，四棱锥顶点在底面的射影为O如图，又侧视图为直角

17、三角形，则直角三角形的斜边为BC2，斜边上的高为SO1，此高即为四棱锥的高，故Veqf1,3221eqf4,3答案：eqf4,316中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示单位：寸，若取3，其体积为单位：立方寸，则图中的的值为_解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，左侧是一个底面直径为2r1、高为的圆柱，右侧是一个长、宽、高分别为,3,1的长方体，则该几何体的体积V31eqf1,4，解得答案：172022江苏高考如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_解析：由题意知所给的几何体是棱长均为eqr2的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V正四棱锥2eqf1,3eqr221eqf4,3答案：eqf4,3182022贵阳适应性考试已知底面是