第九届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准

1、 第九届全国学生数学竞赛决赛试题参考答案及评标准(非数学类 2018 年 3 )一、 填空题(满 30 分，每题 分)：(1) 极限 lim 0 sin x ln(1 2 x12.(2) 设一平过原点和 (6, ，且与平面4 z 垂直，则此面方程为2 2 y 0.(3) 设函数 f ( x y)具有一阶连续偏导，满足 df ( y) yed (1 ) d ，及 f 0) ， f ( y ) .du )12t (4) 满足dt t ) 0u( u(0) 的可微函数 t ) 3 .(5) a, b, c, 是互相同实数x, y z 是实，满，b， 11 d，则列式1 1 11110.1 11二、

2、(本题分 11 分 设函 f (x 在间(0,1) 内连续，且存在两两互的 点 , , , x 使得1 2 3 f (x ) ( ) f (x ) ( ) 3 4 1 2 4证明：对任意 ,) ，存在互异的点 x , x ，使得 5 f (x ) ( ) 5 6.5 【证】 不妨设 x x ，考虑辅助函数1 3 4F (t f (1) ) x )2 4 1 (1)( ) ( )2 4 3， 4 分则 ( t ) 闭区间 1且 F (0) . 根据连续函数介值定理，存在 t (0,1) ，使得 ( ) 0 0. 3 分11 f ( )dx 1 x 1 f ( )dx 1 x f ( )d x 2

3、n !n lnn n 令 (1 )x x ， x x ，则 x , (0,1) ，且5 6 2 0 5 (t 0f ( x ) ( ) 5 4 分5 6(本满分 11 分)设函 f ，证明：0在区间 上存在三个不同的 ，使得 2 xf (t) d t ( ) 1 3 0f ( t ) d t (x ).【证】 令F ( ) 4 0f (t)dt，则F 且函数 F 在闭0f ( t区间 上可导 根据介值定理存在点 x . 5 分理，存 x ) 1 3，使得F ( ) F )( 0) 3，即 1 1 f ) x ) arctan 1 ； 3 分且存在x x ，使F (1) (x ) F )(1 )

4、 ，即 3 2 3f ( ) d ( ) arctan x ) 0 .四、(本满分 12 分)求极： n n 3 分 .【解】 注意到 n( nn!=n nn!n， 而 3 分nn! 1 k ln xd1， 3 分2nn 3 1 n n n n 2i 2 1 n n n n 2i 2 1 0 1 n(n n !(n(n 1)! (n!)n ( (n n (n n， 3 分利用等价无穷小替ex x(x ，得nnn( n ! lim n 1 kln x ， n 0 因此，所求极限为n(n n! limnn !n lim n n!1e. 3 分五、(本满分 12 ) 设 x x , x )T R n

5、1 2 n ( ) ii i，iin .证明：对任一非零 x Rn， ( x) 0 ；求 H x) 足条件 的最小值 nn 【证】 (1) 二次型 H ( x) x iii i 1的矩阵为11111A 2122 111 2 1， 3 分2因为 实对称，其意 阶顺序主子式 0 所以 A 定，故结论成立(2) 对 A 作分块如 A，其中(0, 3 分 1)T ，取可逆矩 2阵 I n n T AP An0 10 nA n0 a，其中41 0 0T T T 2 d1 0 0T T T 2 d1 2 2 a n. 3 分记 P( T，其中 x x x , x )T R，因为0 1 2 ( ) T Ax

6、 P ( P T ) n0 00a PP 0 T A ，且 A 正定，所以 H ( x) x x ，当x ( x P 时， H ( ) .n 0 00因此， H ( ) 足条件 x 的最小值为 .n 3 六(本满分 分 设函数 f y 区域 D ( ) 2 y 2 上具有一阶连续偏导数，且足 f (, y)a2，以及 max 22，其 ( , ) 中 . 证明：f (, d 4a D【解】 在格林公3(x, y Q, D中，依次取 yf (, ) 和取 ， Q (, ) ，分别可得f ( x )dxdy yx dd ，D Df (, dy (, yy dd D D两式相加，得)dxdy Da2

7、21 d xdy 2D y dy I I 4 分对 I 再次利用格林公式，得 I 1 a22 Da4， 2 分对 I 的被积函利用柯西不等式， 2I 21 dd 1dd52 2 2 2 2D 2D 6n n n n a2y2dd 1a4， 4 分2D3因此，有f ( x )ddy a41 a . 2 分D3 七(本满分 12 分) 设 , n ， ln1anq (有限或).nn ln (1)证明：当 时级数 a 收敛，当 q 级数 发散；n n n(2)讨论 q 时级数 的收敛性并阐述理.nn证: (1)若 q 1 ，则 ,s.t. q 根据极限性质， Z+，s.t.ln1an11 ，有ln p ，即 nnp，而 1 时nnp收敛 ,所以 收敛.nn 3 分若 q R q 1 据极限性质， Z+,s.t. N ln1an11有p