高考数学 艺考生冲刺 第七章 概率与统计 第19讲 随机事件的概率、古典概型、几何概型课件

1、第七章 概率与统计第19讲随机事件的概率、古典概型、几何概型1.随机事件及概率(1)事件的相关概念(3)事件间的关系及运算 2.古典概型和几何概型(1)基本事件的特点任何两个基本事件是互斥的.任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.(2)古典概型及特点具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.每个基本事件出现的可能性相等.(3)古典概型的概率公式:(4)几何概型事件A理解为区域的某一子区域A,A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位置和形状无关,满足以上条件的试验称为几何概型.(5)几何概型的两个基本

2、特点无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个.等可能性:每个结果的发生具有等可能性.(6)几何概型的概率计算公式:题型一 随机事件与概率考点一随机事件之间的关系【例1-1】对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A=两次都击中飞机,B=两次都没击中飞机,C=恰有一次击中飞机,D=至少有一次击中飞机,其中彼此互斥的事件是,互为对立事件的是.【解析】 设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况,因为AB=,BC=,AC=,BD=,故A与B,B与C,A与C,B与D为互斥事件.而BD=,BD=I,故B与D互为对立事件.【答案】A与B,A与C,B与C,B与DB与D【规律方法】判断互斥、对立事件的两种

3、方法(1)定义法:判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.对立事件是互斥事件的充分不必要条件.(2)集合法:由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.考点二随机事件的概率与频率【例1-2】(2016全国卷)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表

4、: (1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.【解】(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数 (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.1925a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192

5、5a.【规律方法】(1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.(2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.考点三互斥事件与对立事件概率公式的应用【例1-3】某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P

6、(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=ABC.A,B,C两两互斥,P(M)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,变式训练一1.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡A 【解析】 至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”,“2张全是联通卡”两个事件

7、,它是“2张全是移动卡”的对立事件.2.某保险公司利用简单随机抽样的方法,对投保的车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.解:(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”,B表示事件“赔付金额为4000元”, 由于投保额为2800元,赔付金额大于投保金额的情形是赔付3000和4000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)设C表

8、示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”,由已知,样本车辆中车主是新司机的有0.11000=100(位),而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2120=24(位),由频率估计概率是P(C)=0.24. 3.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示:(1)求有4人或5人外出家访的概率;(2)求至少有3人外出家访的概率.解:(1)设派出2人及以下为事件A,3人为事件B,4人为事件C,5人为事件D,6人及以上为事件E,则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D,C,D为互斥事件,根据互斥事件概率的加法公式可知,P(C+D)=

9、P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下,所以由对立事件的概率可知,P=1-P(A)=1-0.1=0.9.题型二古典概型【例2】一枚硬币连掷2次,只有一次出现正面的概率为()【解析】 一枚硬币连掷2次,基本事件有(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),而只有一次出 【答案】 D【规律方法】变式训练二1.(2016北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()2.(基础经典试题)从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a,从1,2,3中随机选取一个数为b,则ba的概率是()B 【解析】 可设这5名学生分别是甲、乙、丙、丁、

10、戊,从中随机选出2人的方法有:(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁),(丙,戊),(丁,戊),共有10种选法,D 【解析】 基本事件的个数有53=15(种),其中满足ba的有3种, 3.甲、乙、丙三人随意坐在一条长凳上,乙正好坐中间的概率为() 4.口袋里装有红球、白球、黑球各1个,这3个球除颜色外完全相同,有放回的连续抽取2次,每次从中任意地取出1个球,则两次取出的球颜色不同的概率是()【解析】 甲、乙、丙坐一排的基本事件有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6个,乙正好坐中间的基本事件有2个.B 【解析】 由题意知,基

11、本事件总数n=33=9,能两次取出的球颜色不同包含的基本事件个数m=32=6,C 5.(2016全国卷)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()D 【解析】 只需考虑分组即可,分组(只考虑第一个花坛中的两种花)情况为(红,黄),(红,白),(红,紫),(黄,白),(黄,紫),(白,紫),共6种情况,其中符合题意的情况有5种,因此红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 .故选D.题型三几何概型【例3】(1)(2016全国卷)某公司的班车在730,800,830发车,小明在750至830之间到达发车站乘坐

12、班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()(3)如图所示,在ABC中,B=60,C=45,高AD= ,在BAC内作射线AM交BC于点M,则BM1的概率为.(4)(2017全国卷)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()(5)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为.【解析】 (1)由题意得图: 记事件N为“在BAC内作射线AM交

13、BC于点M,使BM1”,则可得BAMBAD时事件N发生.(4)设正方形的边长为2,则正方形的面积为4,正方形内切圆的面积为,根据对称性可 【规律方法】(1)与长度、角度有关的几何概型的求法解答关于长度、角度的几何概型问题,只要将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度或角度,即可利用几何概型的概率计算公式求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).(2)与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的区域以求面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到试验全部结果构成的平面图形,以便求解.(3)与体

14、积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解.变式训练三1.(2017江苏卷)记函数f(x)= 的定义域为D.在区间-4,5上随机取一个数x,则xD的概率是.2.如图所示,在直角坐标系内,射线OT落在30角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在yOT内的概率为.【解析】 如题图,因为射线OA在坐标系内是等可能分布的, D 【解析】 如图,满足条件的x,y构成的点(x,y)在正方形OBCA内,4.一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M是AB的中点,一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞

15、翔,则它飞入几何体F-AMCD内的概率为()D1.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,则第999次出现正面朝上的概率是()2.先后抛掷硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是() D 【解析】 概率是定值,所以不管抛多少次硬币,正面向上的概率不变,所以正面或反面向上的概率是 .D C 【解析】 2粒棋子恰好同一色可以同是黑色,也可以同是白色, 4.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()C 【解析】 前2位共有35=15种可能,其中只有1种是正确的密码, 5.如果

16、3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()C 6.从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛,则推选的2名选手恰好是1男1女的概率是()C 【解析】 从3名男生和2名女生中选两名共有10种可能,而一男一女的选法有6种,7.某天下课以后,教室里还剩下2位男同学和2位女同学.若他们依次走出教室,则第2位走出的是男同学的概率是()A 【解析】 已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女,女,男,男),(女,男,女,男),(女,男,男,女),(男,男,女,女),(男,女,男,女),(男

17、,女,女,男),8.口袋中有形状和大小完全相同的四个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中随机抽取两个球,则取出的两个球的编号之和大于5的概率为()C 【解析】 从5个球中随机抽取两个球,共有6种取法,满足两球编号之和大于5的情况有(2,4),(3,4),共2种取法.9.某单位有7个连在一起的车位,现有3辆不同型号的车需停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,则不同的停放方法的种数为()A.16B.18 C.24D.32C 【解析】 若将7个车位从左向右按17进行编号,则该3辆车有4种不同的停放方法:(1)停放在13号车位;(2)停放在57号车位;(3)停放在1、2、7号车位;(4)停放在1

18、、6、7号车位.每一种停放方法均有 =6种,故共有24种不同的停放方法.10.在平面直角坐标系中,从下列五个点: 中任取三个,这三点能构成三角形的概率是()C 【解析】 从5个点中取3个点,列举得ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE, CDE共有10个基本事件,而其中ACE, BCD两种情况三点共线,其余8个均符合题意,1.一个袋子中有号码为1,2,3,4,5大小相同的五个小球,现从袋中任意取出一个球,取出后不放回,然后再从袋中任取一个球,则第一次取得号码为奇数,第二次取得号码为偶数球的概率为()D 【解析】 试验的基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4), (3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4).共20个,其中事件“第一次取得号码为奇数,第二次取得号码为偶数”包含