人教版A版高中数学选修4-2特征向量在实际问题中的应用课件

1、特征向量在实际问题中的应用特征向量在实际问题中的应用性质 1: 设 l1, l2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值, x1, x2 是矩阵 A 的分别属于特征值 l1, l2 的特征向量, 对于任意的非零平面向量 a, 设 a=t1x1+t2x2 (其中 t1, t2 为实数), 则对任意正整数 n, 有 Ana = t1l1nx1 + t2l2nx21.用数学归纳法证明:(1) 当 n=1 时,Aa=A(t1x1+t2x2)= t1Ax1+t2Ax2= t1l11x1+t2l21x2,即 n=1 时, 性质 1 成立。(2) 假设 n=k 时, Aka = t1l1kx1 + t2l2kx2

2、 成立,那么当 n=k+1 时,Ak+1a=AAka= A(t1l1kx1 + t2l2kx2)= t1l1kAx1 + t2l2kAx2= t1l1kl1x1 + t2l2kl2x2= t1l1k+1x1 + t2l2k+1x2,即得 n=k+1 时, 等式也成立。由(1)(2)知, 对于任意正整数 n, 性质 1 都成立.性质 1: 设 l1, l2 是二阶矩阵 2. 设矩阵 P = , 其中 p, q 均为常数, 且满足 0p, q1, 试证明: (1) 矩阵 P 的特征值为 l1=1, l2=1-p-q; (2) 向量 x1= , x2= 分别为矩阵 P 的属于特征值 l1, l2 的

3、一个特征向量。1-p q p 1-qqp 1-1证明:(1)P 的特征多项式为f(l) =l-(1-p) -q-p l-(1-q)=l2-(2-p-q)l+1-p-q,解特征方程 f(l)=0 得l1=1, l2=1-p-q. 2. 设矩阵 P = 2. 设矩阵 P = , 其中 p, q 均为常数, 且满足 0p, q1, 试证明: (1) 矩阵 P 的特征值为 l1=1, l2=1-p-q; (2) 向量 x1= , x2= 分别为矩阵 P 的属于特征值 l1, l2 的一个特征向量。1-p q p 1-qqp 1-1证明:(2)将 l1=1 代入方程组得同一个方程 px=qy.令 x=q

4、, 则 y=p.属于特征值 l1 的特征向量为 x1= .qp将 l1=1-p-q 代入方程组 2. 设矩阵 P = 3. 特征向量在实际问题中的应用下面我们用 Ana 解决一类实际问题。 某国家连续几年对城镇与农村之间的人口流动情况作调查, 发现有如下稳定的流动趋势: (1) 每年, 约有 5%的农村居民移居城镇; (2) 每年, 约有 1%的城镇居民移居农村。 现在全国总人口 (城镇与农村人口的总和) 中 70%住在城镇。 假定全国总人口一直保持不变, 并且这种人口流动的趋势继续下去。 那么, 1 年以后住在城镇的人口占总人口的比例是多少? 2 年以后呢? 10 年以后呢? 最终的情况如何

5、?3. 特征向量在实际问题中的应用下面我们用 Ana 解决农村城镇 5%, 城镇农村 1%，现城镇占70%。 解：设 t0, c0 分别表示城镇、农村居民占总人口的比例数, tn, cn 分别表示 n 年后城镇、农村居民占总人口的比例数。N为总人口数。t2c2t1c1= Pt0=0.7, c0=0.3.t1c1t0c0= P0.99 0.050.01 0.95=0.70.30.7080.292= .0.99 0.050.01 0.95=0.7080.2920.7160.284 .如此, 10年后的运算量就太大了。t10c10t0c0= P10形如 Ana 的形式,则可用 P 的特征值与特征向量

6、表示。农村城镇 5%, 城镇农村 1%，现城镇占70%0.99 0.050.01 0.95P= ,P 的特征多项式为f(l) =l-0.99 -0.05-0.01 l-0.95=l2-1.94l+0.94,解特征方程 f(l)=0 得l1=1, l2=0.94.于是求得对应的特征向量为x1= ,0.050.01x2= . 1-11-p q p 1-q若 P = , 0p, q1,则 l1=1, l2=1-p-q;qpx1= , 1-1x2= .0.99 0.05P= 0.99 0.050.01 0.95P= ,P 的特征多项式为f(l) =l-0.99 -0.05-0.01 l-0.95=l2

7、-1.94l+0.94,解特征方程 f(l)=0 得l1=1, l2=0.94.于是求得对应的特征向量为x1= ,0.050.01x2= . 1-1设 =t1x1+t2x2，t0c0=t1 + t2 ,0.050.01 1-1即0.70.3解得0.99 0.05P= 则tncnt0c0= Pn= t1l1nx1+t2l2nx2于是可求 n 等于任意正整数时的 .tncn如果 n 趋向无穷大时tncn这就是人口最终比例。则tnt0= Pn= t1l1nx1+t2l2nx2于是可求 例1. 在扩散理论中的应用设某物质能以液态和气态的混合状态存在, 又假定在任意一段很短的时间内 (1) 液体的 5%

8、蒸发成气态; (2) 气体的 1%凝结成液态。求经过 n 次这样的变化后, 这物质的混合状态中, 气态和液态各占的比例是多少? 最终结果怎样?(此例与前面的问题类似, 请同学们先做做) 例1. 在扩散理论中的应用(此例与前面的问 例1. 在扩散理论中的应用设某物质能以液态和气态的混合状态存在, 又假定在任意一段很短的时间内 (1) 液体的 5%蒸发成气态; (2) 气体的 1%凝结成液态。求经过 n 次这样的变化后, 这物质的混合状态中, 气态和液态各占的比例是多少? 最终结果怎样? 设 t0, c0 分别表示混合状态最初的气体、液体的比例数, tn, cn 分别表示 n 次变化后气体、液体在

9、混合状态中的比例数。1 次变化后,0.99 0.050.01 0.95设 P= ,解: 例1. 在扩散理论中的应用 用矩阵表示 1 次变化后和 n 次变化后的表达式t1c1t0c0= P ,tncnt0c0= Pn .由 “习题4.2” 中第 2 题的结果:则 l1=1, l2=1-p-q;1-p q p 1-q若 P = , 0p, q1,qpx1= , 1-1x2= .得此题矩阵 P 的特征值 l1=1, l2=0.94;0.99 0.050.01 0.95P= .x1= ,0.050.01x2= . 1-1对应的特征向量用矩阵表示 1 次变化后和 n 次变化后的表达式t1t0= 则tnc

10、nt0c0= Pn= t1l1nx1+t2l2nx20.05t1+0.94nt20.01t1-0.94nt2= .当 n 趋向无穷大时取极限得,tn=0.05t1,cn=0.01t1,tn:cn=5:1,即气态占该物质的 , 液态占该物质的则tnt0= Pn= t1l1nx1+t2l2nx20.05令 则上述关系的矩阵形式为 此式反映了该地区当前和若干年后的环境污染水平和经济发展水平之间的关系。 令 则上述关系的矩阵形式为 此式反映了该地区当前和如则由上式得 由此可预测该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平。 如则由上式得 由此可预测该地区若干年后的环境污染水平和经济令 则上述关系的矩阵形

11、式为 由此，有令 则上述关系的矩阵形式为 由此，有应 用 由此可预测该地区t年后的环境污染水平和经济发展水平。下面作进一步地讨论： 由矩阵A 的特征多项式 得A 的特征值为应 用 由此可预测该地区t年后的 应 用下面分三种情况分析： Case 1 由(*)及特征值与特征向量的性质知， 应 用下面分三种情况分析： 即 或 此式表明：在当前的环境污染水平和经济发展水平 的前提下，t 年后，当经济发展水平达到较高程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势. 即 或 此式表明：在当前的环境污染水平和经济发展水平 由（*）及特征值与特征向量的性质由（*）及特征值与特征向量的性质即 由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展水平。 即 由此可预测该地区年后的环境污染