gct数学精讲课件线性代数

1、GCT 线性代数-第一章 行列式a11 a a23 a23 22 aaaaaan阶行列式中，划去元素aij所在的第ijn1为元素aij的式，记作M ij 令A (1)ijM ，称A 为a 的代数式 二. ana2A1n k a21b21 a22b22 a23b23 a31 a32 a33 D an a2 Da1jA1j a2jA2j anj,n 阶行列式 D 的某一行的各元素与另一行对应元素的代数式的乘积的和等于ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn i 四.a1iA1ja2iA2janiAnj i aaOa11a22 an a2Nn(n1 a1na2五.消零降阶法问题 3：利用行列式按行（列

2、）展开球行列式的值xD3 21 （x3 13x13x1 0，则a ）b A. a 或b B. a b D. a 2且b 0 5 的代数式A21 4，则a （ 6AB AB2x112x11x0 x20 x0 答5(2007)行列展开式中的常数项为（D A6. DAD. 答7. 四阶行列的值等Aa1a2a3a4 - Ca1a2 -b1b2 a3a4 -B a1a2a3a4 Da2a3 -b2b3 a1a4 -b1b4 11. 2a112a21 a122a22 a132a23 的值等于ACD答12（204aaaaa M 2a33 A. C. A. C. D. 答a b c c1a b a b b c

3、 c c2c3a1b1c114(2009) 不恒为零的函数f(x) a2b2c2 x a3b3c3C恰有2个零D恰有3个零f (x) x2x 3xx2x3 0的根的个数是3xA.B.C.16. g(x) xx 0的根是A. B. 1, C. 1, D. 1, 29 0,则x为18（2005 a 的值等bB.答D.C.120012220C.1200122201113式，那么A21 A22 A23 A24的值为BCD答x00230 x036012x20.(2012GCT22)f(x00230 x036012xA. C.8第二章一 加法,数乘,乘法, 转置,方阵的幂乘的定义及性质 a1na2nb2n

4、 mn丿 mna11a12 2n a1na2n ka2n（2）数乘： 矩阵的数乘运算(入A入(A(入 A 入AA入A B) 入A入B c1n a2k b2nc2n mk丿 kkn 丿 mn 其中cij ai1b1j ai2b2 j ai3b3 j aikbkj ；矩阵的乘法运算满足结合律，左（右乘分配律，及入(AB)(入A)BA(入B)，EmAmnA，AmnEnA等；应特别注意矩 a1n a2n am1am2（4）转置： mn mn 转置运算满足(AT )T A，(AB)T AT BT，(入A)T 入AT，( BTAT等A入A入nAAB A B 定义：A,B都是n阶方阵，满足ABBAI E ，

5、则称B是A的逆矩阵。记A1 B .AA1 A1A E ；A 0AT1 A1TA11A(入A1 1 A1入 0AB1 B1A1入A11伴随矩阵：A* n2,满足AA* A*A AE 2nn AA（5）公式： A1 1 A1 1 AA AnAX BX A1BXA BX BA1二.（列）的k倍加到另一行（列）AE)(E A1三.定义：在mnA中，任取k行k列，位于这k行k列交叉处的k2个元素按原有次序组成一个kA的一个kA中有某个r阶子式不为零，而所有r 1A的秩为r 对于nA，如果rA) nArA0 ArAmn minm,rAr A中有一个rrA r A中所有r1对于nArAn A r(A) r(

6、AT)，r(kA) r(A)(k A、（1）(AB)2 A2 2ABB2（2）(AB)(AB) A2 B2(A E)(A E) (A E)(A E) ；（4）AkAl AlAkA0B1C2D3答A，B均是n阶对称矩阵，且AB=BA.则AB是（A）对称矩（B）称矩（C）对角（D）数量（2 则G2 等于A. B. D. 设 1，11，AEaaT, BE2aaT，则AB 2ABCD答 T，P6 0T2已知A 3，则An 30 0 P 1 ,A 则P1AP 100 0丿0丿00丿0丿02100 丿丿200824:设P 是三维列向量，Pr是P 的转置，若PP 2，PTP4 （ B 1E Q 110110

7、AQE A2 Q，则Q的第一行的行向量是（CA. (1 B. (1 C. D. 10. 已知XA B AB X ，A 0, B 0 ，求1 1 1X99 000 0 丿丿0 11设A 0 B P1AP，其中P为3阶可逆矩阵，则B2004 2A2 12(201122). 在 的展开式中，x x 项的系数是3 5 x2 2 丿3A. B. C. D. A,B 都是n阶阵,则下列结论不正确的是AB A A AB An AAB AAA,B 都是n阶阵,A 0,AB 0.则下列结论正确的是A.B B. A 0或B C.BA D.(A B)2 A2 Baf3,y1,y2y3均为4维列向量，已知A a y1

8、 y2 y3 5, B y1 y2 y1,AB BD已知 a1,a2,a3 f3 ,y 均4维列向量，若4阶行列a1 a2 a3 y a, f3 y a1 a3 b那么42f3 a1 a2 a3 A2aB2bC2aD2a 已知|a,y |3,a, ,y 3维列向量|ay,2a7y,3a52y|设A,B,C都是n阶矩阵，满足ABC E，则A. BCA B. ACB C. BAC D. CBA 答(201124) 对任意的nABC ABC E(E是单位矩阵，则下列5(i) ACB (ii) BCA ( BAC () CBACAB A. C. B. D. 已知n阶方阵A满足 A3 A2 2A0,则下

9、列矩阵中一定可逆的是BACA DA答设B2 B, A EB .则下列结论不正确的是A可逆B. A不可逆C. A3E 可D. A2E可22（2004B 3答223（2007）11 行的行向量是（C A2 1 B. 1 C. 1D. 21 1 ，则A*1 设( 1 1 A1A1 1010ABD4答A,BM3 ，且A 2, B 3，求2A* 2A*B1 (-108,， 3，1设矩阵A 1，B A2 3A2E，则B1 3 -0 -P是可逆矩阵，A=PBP ，则B= ，则2 23. （2012GCT24）3 阶可逆矩阵 A 2A1B 2BE E 是单位矩阵，0 B 0 ，则矩阵AE的第二行是 323（A

10、）(11 （B）(1 1 （C）(1 1 0) （D）(1 1 A1，若r(A) 2，则a的值为5050A. a B. a C. a D. a 答设A,B都是n阶非零矩阵，且ABO，则A和B的秩B都小于C一个小于n，一个等于D都等于答32（2003）A 为4 阶非零矩阵，其伴随矩阵A*的秩r(A*) 0，则r(A) 等于A1或2 B1或C2或D3或答33（2003）0 , B 1 ，则必有A. AB B. AB BT C. BA D. AB 答设A0 ,B1 1,则丿AB BA BA D. AB a 1 3T,f31 3，Af, 则rAB.C.D.0 3 设A 1,B 6, 则rABB5 9

11、B.D. 2 设A x ,三阶矩阵B 0,且满足AB 0,则丿 丿x 8,r(B) B. x 8,r(B) C. x 8,r(B) D. x 8,r(B) 3 2 如果矩阵A 2 2 1 39.(201022A 0 20，B 0ABB的秩为2a A. B. D第三向一. aa（1）a1,a2,k入1入2,k为 一组 数，则入1a1入2a2 入kak 称 为 向 量 a1a2,k的 一 个 线 性 组 合 ； 若P入1a1入2a2入kak，则称P 可由a1a2,k线性表示（2） 线性相关与线性无关： 设 a1a2,k 为一组向量， 如果存在不全为零的数入1入2,入k，使得入1a1 入2a2 入k

12、ak 0，则称向量组a1a2,k线性相关；a1a2,k线性相关的充要条件x1a1x2a2 xka 0有非ka1a2,k线性无关的充要条件是方x1a1 x2a2 xka 0只有零解k定理 若a1,a2 ,as线性无关，而a1,a2 ,a, P 线性相关, 则P 可a1,a2 ,s 线性表出,，且表示法惟Amn矩阵，将矩阵的每个行看作行向量，矩阵的m个行向量构成一个向量组，1e 1 0T ,e 0 10T ,e1n1个nn个n维向量a1a2,n相关a1,a2,a 若a1,a2,a1 1 0T ,a 0 2T ,a 0 4T1 1 aT, 0 bT, 0 0T41 1 aT 0 bT 0 44 1

13、D. 1 0 1T , 1 2T , 3 2T , 2 1 （ABCD答A. B. C. 答8(2009) 设向量a1(1,2,0)T，a2 (2,3,1)T，a3 (0,1,1)T，(3,5,k)T若可由a1,a2 ,a3 线性表示，则k （CC. 设A6BM3,rB 2,且AB 0.则t 丿丿10设任意两个n维向量组a ,a 和 , 若存在两组不全为零的数入 ,入 和k ,k (入 k )a (入 k (入 k ) (入 k 0,AB,a和,a和Ca ,a a 线性无Da a a a a，a2，aA必定r B 向量组中任意小于r个向量的部C 向量组中任意r个向量线性D向量组中任r 1个向量

14、必线性相关 设A为mn矩阵，秩rA m n，不正题是（ A A的行向量组线性无关B A中有m个线性无关的列向量C A的列向量组线性相关D A中任m个列向量线性无关(201023)设向量组S a1,a2,a3线性无关，下列向量组中与S 等价的有a1 a3,a2 a1 a3,a1 a3, 2a1, a1,a1 a2,a1 a2 aa1 a3,a1 a3, 2a2, BCD Da1，a 答02， 1 1， 0 0 ，则向量11 0 0 1 a1,a2a3,a4的一个极大线性无关组是（ D A.a3 ,aB. a1,a2 ,a3 ,aC.a1,a2 D.a1,a2 ,a1 0 0 18.200823：

15、若向量组a ，a ，a ，a 的秩为2 ，则t 1 2 3t 2 ( A A. CD19 设 a1a2a3a4 是 一 个 n 维 向 量 组 ， 且 a a1 a2 a3 a4 Bi aai (i aAx 0有非零解的充要条件是rA) n（Amn矩阵AX 0只有零解rAn.AA为nAx0A 0AMm,n ，当mnAX 0注：a1,a2,a 线性相关 Ax 0有非零解，其中A (a1,a2,a) 若1，2是齐次AX 0的解，则和(1 2AX 0的解若 是齐次线性AX 0 的解，则 的任意常数倍(k) AX 0的解若1,2Ax 0的解，则k11 k22Ax 0的解，其中k1k2是任意Ax0的解向

16、量，其次它们是线性无关的，第三每一个解都可A 为m n 矩阵，则 Ax 0的基础解系中含有n rA) 个向量基础解系往往不若12,nrAx 0的一组基础解系，则 Ax 0的通解（一般解）xk11 k22 knrnr其中k1k2,kn3.a11x1a12x2a1nxn 设n元非齐次线性方程组（*）21x1a22x2 b2a1n am1x1am2x2 amnxn bmaaA a2n 称为方程组（*）a1xk1占1 k2占2 knr占nr n 其中k1k2,knA. B. D.16（2006）三阶矩阵A 的秩r(A) 1 ,Y 0)T ，Y2 1丿丿cA. B. 设f31，f32是线性方程组Axb的

17、两个不同的解，a1，a2是方程组导出组Ax0的基础解系，则方程组Ax b的通解是（1（f3 f3 ）k a k f3 ）k(a a 1 2 2121D. （f31f32）k1a1 k2a其中kk1k2 答 解向量，且满足X1 X2 02 1 1 1 D.21 AMmnAX 0AX b对应的齐次方程组.AX 0只有零解,AX b 有唯一解. AX0有非零解,AX b 有无穷多解. AX b有无穷多解,AX 0有非零解.若AX b无解,则AX 0 只有零解设线性方程组Ax b有n个未知量，m个方程，且r A r，则此方程组（Ar m时，有Cm n时，有惟一解；Br n时，有惟D r n时，有无穷多

18、解AM4,5 A的行向量线性无关，则错误的ATX 0只有零解ATAX 0必有无穷多解b, AT X b有惟一解b,AX b总有无穷多解123a a1x1a2x2 123设A c x c x 3 11 2 A.有唯一解 B.有无穷多解 C.无4x1 tx2 x3 4x 5x 21.(201024) 线性方程组0，当x1 x2 x5x1x2At 0时无Bt 0时有无穷多Ct 0时无Dt 0时有无穷多x1x2 ax3 22.(201123).若方程组x ax x a2,有解，则其中ax 1x x A. B. C. D. 概念A 为n 阶方阵，如果有数入 和非x 0Ax 入x ，则称入 为方A 的特征x A 的属于入 的特X1X2A的属于特征值的特征向量X1X2A的属于特征值入 的, 入入.入.;an.入入AI A的特征值为