2021年上海市高三数学竞赛试题

1、2018年上海市高三数学竞赛试题2018年上海市高三数学竞赛试题【说明】解答本试卷不得使用计算器-填空题TOC o 1-5 h zI+集合t(巧y)丨*#wloo,且心yeZ的元我个数J&设函数只小是RtR的函数满足对一切工巨&都有/(幻+#(2t)21/M的解析式=_*22已知椭圆4=l(a60)TFaa为椭圆的右議点川B为过中心O的弦，则A目F面积的最大值为A诰僅kJ丄_L丄丄丄戎果rj127JIT13T15T-的非空于集为你4，仏记集合人中的所有元素的积为已(单元数集的兀素积是这个元素本身),i=lf2,，岀，则+Pi十Pz=5,已知一个等腰三角形的底边获为矢则它的一条底角的角平分线长的

2、取值范围是&设实数J队满足/+X+J二1,/?nc=0.求证：I4UBUC1J-(lAI+i/?I+ICl)；举例说明(】)中的等号可能成立这里示有限集合X的元素个数-求不定方程x+y+2+;=25的满足兀2jots=计伍，且0401与O役外切（=1,2,，2017）,则a=_二、解元9.已知三个有限集合A,B,C满足AQ一、填空题1.317丄7，1;X-11,X=1ba/2-I)27965(2,32.T(I*42./(%)=3.4.5.6.7.二、解答题9.解：(1)由容斥原理及Anbnc=0,得IMUBUCI=141+131+1Cl-I4QBI-IBQCI-TOC o 1-5 h zICA

3、Al.因为(力a)qqC)=4nnc=0,以及力nz?C4,ancca,所以lAOBI+IAnCIIAI,同理可得IAaBl+1BQClWl31,IBGCl+1CQAlWlCl,由、可得lAnBi+ixnci+iBnci组数与不定方程x+y+z+w=25的满足xy的正整数解组数一样多所以，满足题意的正整数解的组数为型严=946.11.解：令九二a+6+c+d,则a2+b2+c2+d2+ab+acad+be+bd+cd+a+b+c+d=(a+6+c+d)2+(a+1)2+(6+1)2+(c+I)2+(d+l)2-2M*(a+6+c+*(a+1)+(6+1)+(c+1)+(d+l)?-2=*/+*

4、(%+4)*-2y(l41+1Bl+1Cl),于是,由、可得I力UBUCIM*(l41+IBl+1Cl)(2)等号成立的条件是、中的等号同时成立例如：4=|1,2(,B=|2,3|,C=|3,1|.10.解：不定方程x+y-z+w=25的正整数解的组数为C：=2024.不定方程x+y+z+w=25的满足x=y的正整数解的组数就是2%+z+m;=25的正整数解的组数.对于不定方程2x+z+w=25,因为z+wM2,所以1当=i(lWiWll)时,z+w=25-2i的正整数解的组数为24-2i,故加+z+仞二25的正整数解的组数为IlIIX(24-2i)=11x24-20=132.若(,%,zo,

5、w0)是不定方程x+y+z+纫二25的满足久vy的正整数解，则(,兀0，Zo，w0)是不定方程+y+z+W=25的满足兀y的正整数解，反之亦然.故不定方程x+y+z+w=25的满足工的正整数解的以下寻求毗、力与如、Jui的关系.为直观起见，将对人，耳，G,$所染的颜色分别写在矩阵(；中a,b,c,d的位置上.(1)对于使为X型的任意一种7；的染法，由对称性,不妨设S*上的染色为?).若将S纽中的B如染为y色，则仏|、C如不能染a.y色，故只能染色，进而6“不能染0、y色，于是得到S“的一种X型染色(a地，若将S綽中的久染为0色，于是得到S“的一种X型染色(a当a=6=c=rf=-当a=6=c=

6、rf=-时，等号成立.12.解：对=1,2,，设4百-k,約，B“k),Cg-k),Dk,-fc),并记S/t=Bk,Ck,Dk|,Tk=|OUSUs2UUS*,特别地，有7；=T.在对T按要求染色的前提下，考虑：的4个点中所含的颜色数加*.若=3,则称S*是“X型”的，此时正方形AkBkCkDk有一组相对顶点异色，另一组相对顶点染有剩下的那种颜色;若叫=2,则称S&是“丫型”的，此时正方形BkCkDk的每对相对顶点同色;显然不可能为.设人的染色方式数为4,其中使S&是X型、Y型的染色方式数分别为心、以，这样有由于对片染色时,。、4,的颜色有3x2=6种选择，以下&、0只能染剩下的那种颜色，进

7、而G只能染与州一样的颜色,这表明Xi=0,/I=6.r；其余情况下只有一种丫型染色ay(:；)这表明，力对如、畑的贡献分别为仙、3力综合(1)、(2)得,勺+|=4xk+4yk,小=2比+3yv由、知，衍=24,y2=18,从而tj=心+/i=6,l2=x2+y2=42.又由得，h.i=+力+1=6色+7力=7“-叫=7耳-4如(M2).y型染色y3;具余情况下*均只能染a色，此时得的两种龙型染色利两种F型染色这表明，叭对孤卄、人氣的贡献分别为4忑、(2)对于使菽为卩型的任意一种耳的染法，由对称性*不妨设上的染色为在对比+i的染色屮，若垓+“】中存在了色，则血“、G“必为停色,从而得到两种X型类似地，若九心C如中存在y