(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第52讲《圆锥曲线的综合应用-定点、定值问题》（讲）（解析版）

1、第52讲 圆锥曲线的综合应用定点、定值问题思维导图知识梳理1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程例：由eq blcrc (avs4alco1(AxByC0，,Fx，y0)消去y，得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则：0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为eq f(

2、1,2)，求证：直线AB过x轴上一定点解(1)因为抛物线y22px(p0)的焦点坐标为F(1，0)，所以eq f(p,2)1，所以p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，设Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(t2,4)，t)，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(t2,4)，t).因为直线OA，OB的斜率之积为eq f(1,2)，所以eq f(f(t,t2),4)eq f(f(t,t2),4)eq f(1,2)，化简得t232.所以A(8，t)，B(8，t)，此时直线AB的方程为x8.当直线AB的斜率存在时，设其方程为ykxb，A(xA，

3、yA)，B(xB，yB)，联立eq blcrc (avs4alco1(y24x，,ykxb)消去x，化简得ky24y4b0.所以yAyBeq f(4b,k)，因为直线OA，OB的斜率之积为eq f(1,2)，所以eq f(yA,xA)eq f(yB,xB)eq f(1,2)，整理得xAxB2yAyB0.即eq f(yoal(2,A),4)eq f(yoal(2,B),4)2yAyB0，解得yAyB0(舍去)或yAyB32.所以yAyBeq f(4b,k)32，即b8k，所以ykx8k，即yk(x8)综上所述，直线AB过定点(8,0)【跟踪训练1-1】已知椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(

4、y2,b2)1(ab0)的右焦点F(eq r(3)，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标【解】(1)由题意得，ceq r(3)，eq f(a,b)2，a2b2c2，a2，b1，椭圆C的标准方程为eq f(x2,4)y21.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm(m1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立eq blcrc (avs4alco1(ykxm，,x24y24，)消去y，可得(4k21)x28kmx4m240

5、.16(4k21m2)0，x1x2eq f(8km,4k21)，x1x2eq f(4m24,4k21).点B在以线段MN为直径的圆上，eq o(BM,sup7()eq o(BN,sup7()0.eq o(BM,sup7()eq o(BN,sup7()(x1，kx1m1)(x2，kx2m1)(k21)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20，(k21)eq f(4m24,4k21)k(m1)eq f(8km,4k21)(m1)20，整理，得5m22m30，解得meq f(3,5)或m1(舍去)直线l的方程为ykxeq f(3,5).易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意故直线l过定点，且该定点

6、的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(3,5).【名师指导】定点问题实质及求解步骤解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动这类问题的求解一般可分为以下三步：题型2 “设参用参消参”三步解决圆锥曲线中的定值问题【例2-1】设O为坐标原点，动点M在椭圆eq f(x2,9)eq f(y2,4)1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足eq o(NP,sup7()eq r(2)eq o(NM,sup7().(1)求点P的轨迹E的方程；(2)过F(1,0)的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过F(1,0)作与l1垂直的直

7、线l2与点P的轨迹交于C，D两点，求证：eq f(1,|AB|)eq f(1,|CD|)为定值解(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)eq o(NP,sup7()eq r(2) eq o(NM,sup7()，(xx0，y)eq r(2)(0，y0)，x0 x，y0eq f(y,r(2).又点M在椭圆上，eq f(x2,9)eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(y,r(2)2,4)1，即eq f(x2,9)eq f(y2,8)1.点P的轨迹E的方程为eq f(x2,9)eq f(y2,8)1.(2)证明：由(1)知F为椭圆eq f(x2,9)eq f(y2,8)1的

8、右焦点，当直线l1与x轴重合时，|AB|6，|CD|eq f(2b2,a)eq f(16,3)，eq f(1,|AB|)eq f(1,|CD|)eq f(17,48).当直线l1与x轴垂直时，|AB|eq f(16,3)，|CD|6，eq f(1,|AB|)eq f(1,|CD|)eq f(17,48).当直线l1与x轴不垂直也不重合时，可设直线l1的方程为yk(x1)(k0)，则直线l2的方程为yeq f(1,k)(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,f(x2,9)f(y2,8)1)消去y，得(89k2)x218k2x9k27

9、20，则(18k2)24(89k2)(9k272)2 304(k21)0，x1x2eq f(18k2,89k2)，x1x2eq f(9k272,89k2)，|AB| eq r(1k2)eq r(x1x224x1x2)eq f(481k2,89k2).同理可得|CD|eq f(481k2,98k2).eq f(1,|AB|)eq f(1,|CD|)eq f(89k2,48k21)eq f(98k2,48k21)eq f(17,48).综上可得eq f(1,|AB|)eq f(1,|CD|)为定值【跟踪训练2-1】已知椭圆C的两个顶点分别为A(2，0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为eq f

10、(r(3),2).(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，点D为x轴上一点，过点D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过点D作AM的垂线交BN于点E.求证：BDE与BDN的面积之比为定值，并求出该定值【解】(1)设椭圆C的方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，由题意得eq blcrc (avs4alco1(a2，,f(c,a)f(r(3),2)，,b2c2a2，)解得eq blcrc (avs4alco1(b1，,cr(3)，)所以椭圆C的方程为eq f(x2,4)y21.(2)法一：设D(x0,0)，M(x0，y0)，N(x0，y0)，2x02，所以kAMeq f

11、(y0,x02)，因为AMDE，所以kDEeq f(2x0,y0)，所以直线DE的方程为yeq f(2x0,y0)(xx0)因为kBNeq f(y0,x02)，所以直线BN的方程为yeq f(y0,x02)(x2)由eq blcrc (avs4alco1(yf(2x0,y0)xx0，,yf(y0,x02)x2，)解得Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)x0f(2,5)，f(4,5)y0)，所以eq f(SBDE,SBDN)eq f(f(1,2)|BD|yE|,f(1,2)|BD|yN|)eq f(blc|rc|(avs4alco1(f(4,5)y0),|y0|)eq f(4

12、,5).故BDE与BDN的面积之比为定值eq f(4,5).法二：设M(2cos ，sin )(k，kZ)，则D(2cos ，0)，N(2cos ，sin )，设eq o(BE,sup7()eq o(BN,sup7()，则eq o(DE,sup7()eq o(DB,sup7()eq o(BE,sup7()eq o(DB,sup7()eq o(BN,sup7()(22cos ，0)(2cos 2，sin )(22cos 2cos 2，sin )又eq o(AM,sup7()(2cos 2，sin )，由eq o(AM,sup7()eq o(DE,sup7()，得eq o(AM,sup7()eq o(DE,sup7()0，从而(22cos )(2cos 2)(2cos 2)sin20，整理得4sin