高中数学《等差数列的概念及通项公式》知识点讲解及重点练习

1、4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差数列的判断与证明方法知识点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零思考你能根据等差数列的概念写出它的数学表达式吗？答案an1and(d为常数，nN*)知识点二等差中项的概念由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列这时，A叫做a与b的等差中项且2Aab

2、.思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)1,5；(3)0,0；(4)a，b.答案插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)eq f(ab,2).知识点三等差数列的通项公式首项为a1，公差为d的等差数列an的通项公式ana1(n1)d.思考由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？答案只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式ana1(n1)d即可知识点四从函数角度认识等差数列an若数列an是等差数列，首项为a1，公差为d，则anf(n)a1(n1)dnd(a1d)(1)点(n，an)落在直线ydx(a1d)上，这条直线

3、的斜率为d，在y轴上的截距为a1d；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.1数列4,4,4，是等差数列()2数列an的通项公式为aneq blcrc (avs4alco1(1，n1，,n1，n2，)则an是等差数列()3若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()4若三个数a，b，c满足ac2b，则a，b，c一定是等差数列()一、等差数列的通项公式及其应用例1在等差数列an中，(1)已知a51，a82，求a1与d；(2)已知a1a612，a47，求an.解(1)由题意知eq blcrc (avs4alco1(a151d1，,a181d2，)解得eq blcr

4、c (avs4alco1(a15，,d1.)(2)由题意知eq blcrc (avs4alco1(a1a161d12，,a141d7，)解得eq blcrc (avs4alco1(a11，,d2.)所以ana1(n1)d1(n1)22n1，nN*. 反思感悟等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可(2)等差数列an的通项公式ana1(n1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”(3)通项公式可变形为

5、andn(a1d)，可把an看作自变量为n的一次函数跟踪训练1在等差数列an中，求解下列各题：(1)已知公差deq f(1,3)，a78，则a1.(2)已知a30，a72a41，则公差d.(3)已知an的前3项依次为2,6,10，则a15.答案(1)10(2)eq f(1,2)(3)58解析(1)由a7a16d，得8a16eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，故a110.(2)设首项为a1，公差为d，则eq blcrc (avs4alco1(a12d0，,a16d2a13d1，)解得eq blcrc (avs4alco1(a11，,df(1,2).)(3)由题意得，d624，

6、把a12，d4代入ana1(n1)d，得an2(n1)44n2，a15415258.二、等差数列的判定与证明例2已知数列an满足a12，an1eq f(2an,an2).(1)数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是否为等差数列？说明理由；(2)求an.解(1)数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是等差数列，理由如下：a12，an1eq f(2an,an2)，eq f(1,an1)eq f(an2,2an)eq f(1,2)eq f(1,an)，eq f(1,an1)eq f(1,an)eq f(1,2)，即eq blcrc(avs4alco1(f(1,a

7、n)是首项为eq f(1,a1)eq f(1,2)，公差为deq f(1,2)的等差数列(2)由上述可知eq f(1,an)eq f(1,a1)(n1)deq f(n,2)，aneq f(2,n)，nN*.延伸探究将本例中的条件“a12，an1eq f(2an,an2)”换为“a14，an4eq f(4,an1)(n1)，记bneq f(1,an2)”(1)试证明数列bn为等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明bn1bneq f(1,an12)eq f(1,an2)eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(4f(4,an)2)eq f(1,an2)eq f(an,2an2)eq

8、 f(1,an2)eq f(an2,2an2)eq f(1,2).又b1eq f(1,a12)eq f(1,2)，数列bn是首项为eq f(1,2)，公差为eq f(1,2)的等差数列(2)解由(1)知bneq f(1,2)(n1)eq f(1,2)eq f(1,2)n.bneq f(1,an2)，aneq f(1,bn)2eq f(2,n)2.数列an的通项公式为aneq f(2,n)2，nN*.反思感悟判断等差数列的方法(1)定义法an1and(nN*)或anan1d(n2，nN*)数列an是等差数列. (2)等差中项法2an1anan2(nN*)数列an为等差数列(3)通项公式法数列an

9、的通项公式形如anpnq(p，q为常数)数列an为等差数列跟踪训练2已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令bneq f(1,an1).(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明eq f(1,an11)eq f(1,an1)eq f(anan1,an11an1)eq f(1,3)，bn1bneq f(1,3)，又b1eq f(1,a11)1，bn是首项为1，公差为eq f(1,3)的等差数列(2)解由(1)知bneq f(1,3)neq f(2,3)，an1eq f(3,n2)，aneq f(n5,n2).三、等差中项及应用例3(1)在1与7

10、之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列解因为1，a，b，c，7成等差数列，所以b是1与7的等差中项，则beq f(17,2)3，又a是1与3的等差中项，所以aeq f(13,2)1.又c是3与7的等差中项，所以ceq f(37,2)5.所以该数列为1,1,3,5,7. (2)已知eq f(1,a)，eq f(1,b)，eq f(1,c)成等差数列求证：eq f(bc,a)，eq f(ac,b)，eq f(ab,c)也成等差数列证明因为eq f(1,a)，eq f(1,b)，eq f(1,c)成等差数列，所以eq f(2,b)eq f(1,a)eq f(1,c)，即2acb

11、(ac)因为eq f(bc,a)eq f(ab,c)eq f(cbcaab,ac)eq f(c2a2bac,ac)eq f(a2c22ac,ac)eq f(2ac2,bac)eq f(2ac,b)，所以eq f(bc,a)，eq f(ac,b)，eq f(ab,c)成等差数列反思感悟若a，A，b成等差数列，则Aeq f(ab,2)；反之，由Aeq f(ab,2)也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项Aeq f(ab,2).跟踪训练3(1)若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项解由m和2n的等差中项为4，得m2n8.又由2m和n的等差中项为5，得2m

12、n10.两式相加，得mn6.所以m和n的等差中项为eq f(mn,2)3.(2)已知a，b，c成等差数列，证明：a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)也成等差数列证明因为a，b，c成等差数列，所以ac2b.又a2(bc)c2(ab)2b2(ca)a2cc2aab(a2b)bc(c2b)a2cc2a2abcac(ac2b)0，所以a2(bc)c2(ab)2b2(ca)故a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)成等差数列等差数列的实际应用典例某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调

13、整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1200，an1an20(nN*)，每年的利润构成一个等差数列an，从而ana1(n1)d200(n1)(20)22020n.若an0，则该公司经销这一产品将亏损由an22020n11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损素养提升(1)解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题(2)能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列

14、的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现1已知等差数列an的通项公式an32n(nN*)，则它的公差d为()A2 B3 C2 D3答案C解析由等差数列的定义，得d2.2若5，x，y，z，21成等差数列，则xyz的值为()A26 B29 C39 D52答案C解析5，x，y，z，21成等差数列，y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项5212y，y13，xz2y26，xyz39.3在等差数列an中，若a184，a280，则使an0，且an10的n为()A21 B22 C23 D24答案B解析公差da2a14，ana1(n1)d84(n1)(4)884n，令eq blcr

15、c (avs4alco1(an0，,an10，)即eq blcrc (avs4alco1(884n0，,884n10)21n22.又nN*，n22.4已知eq r(3)1与eq r(3)1的等差中项为a，等差数列an的通项公式为ana2n1(nN*)，公差为d，则ad.答案3eq r(3)解析由题意，知aeq f(r(3)1r(3)1,2)eq r(3)，d3，所以ad3eq r(3).5九章算术是我国古代数学名著，其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即

16、每节容量成等差数列)，则中间两节各多少容量？在这个问题中，中间一节的容量为升答案eq f(67,66)解析设从最上至最下每节的容量构成等差数列an，公差为d，由题意知eq blcrc (avs4alco1(a1a2a3a43，,a7a8a94，)则eq blcrc (avs4alco1(4a16d3，,3a121d4，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1f(13,22)，,df(7,66)，)故a5a14deq f(67,66).1知识清单：(1)等差数列的有关概念(2)等差数列的通项公式(3)等差数列的判定与证明2方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法3常见误区：在具体应用问题中

17、项数不清1设数列an是等差数列，若a24，a46，则an等于()An B2n C2n1 Dn2答案D解析a4a22d642.d1.a1a2d3.an3(n1)1n2.2在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7等于()A10 B18 C20 D28答案C解析设公差为d，则a3a8a12da17d2a19d10.3a5a73(a14d)(a16d)4a118d20.3(多选)已知在等差数列an中，a12，且a4a8aeq oal(2,3)，则公差d等于()A0 B.eq f(1,2) C1 D2答案AB解析根据题意知，a4a8aeq oal(2,3)a13da17d(a12d)2.又a12

18、，则410d(22d)2，解得deq f(1,2)或d0.4一个等差数列的前4项是a，x，b，2x(b0，x0)，则eq f(a,b)等于()A.eq f(1,4) B.eq f(1,2) C.eq f(1,3) D.eq f(2,3)答案C解析b是x，2x的等差中项，beq f(x2x,2)eq f(3x,2)，又x是a，b的等差中项，2xab，aeq f(x,2)，eq f(a,b)eq f(1,3).5在数列an中，an1eq f(an,13an)，a12，则a20为()A.eq f(115,2) B.eq f(8,115) C.eq f(16,115) D.eq f(2,115)答案D

19、解析对an1eq f(an,13an)取倒数得eq f(1,an1)eq f(1,an)3，eq f(1,an1)eq f(1,an)3，eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是以eq f(1,2)为首项，3为公差的等差数列eq f(1,an)eq f(1,2)(n1)33neq f(5,2)eq f(6n5,2)，aneq f(2,6n5)，a20eq f(2,115).6在等差数列an中，a12,2an12an1(nN*)，则该数列的公差为答案eq f(1,2)解析an1aneq f(1,2)，an1aneq f(1,2)(nN*)，数列an是以2为首项，eq f(1,2)为

20、公差的等差数列7设x是a与b的等差中项，x2是a2与b2的等差中项，则a，b的关系是答案ab或a3b解析由等差中项的定义知，xeq f(ab,2)，x2eq f(a2b2,2)，eq f(a2b2,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2，即a22ab3b20，(a3b)(ab)0，a3b或ab.8某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费元答案23.2解析根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支

21、付1.2元所以可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2，表示4 km处的车费，公差d1.2，那么当出租车行至14 km处时，n11，此时需要支付车费a1111.2(111)1.223.2(元)9在等差数列an中，a1a58，a47.(1)求数列的第10项；(2)问112是数列an的第几项？(3)在80到110之间有多少项？解设数列an的公差为d，则eq blcrc (avs4alco1(a1a14d8，,a13d7，)解得eq blcrc (avs4alco1(a12，,d3，)(1)a10a19d22725.(2)an2(n1)33n5，由1123n5，解得n39.所以112是数列an的第39项(3)由803n5110，解得28eq f(1,3)n0，)解得eq f(8,3)a4a5 Ba3a6a4a5 Da3a6a4a5答案B解