【九年级数学讲义】01初三数学培优（教师）动点产生的相似问题

1、动点产生的相似问题如图，抛物线的顶点为点，与轴相交于点，直线与轴交于点，矩形的顶点在此抛物线上，矩形面积为。求此抛物线的对称轴是经过、两点的一个动圆，当与轴相交，且在轴上两个交点的距离为时，求圆心坐标；若线段与交于点，以点、为顶点的三角形是否有可能与以点、为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点坐标及抛物线解析式；如果不能，请说明理由。解：（1）易知：对称轴为直线（2）易知：另一交点坐标为（，）或（，），所以圆心的坐标为（，）或（，）（3）线段与交于点 点纵坐标必须大于 设点坐标为（，），过点作轴，垂足为，（舍）点坐标为（，），抛物线解析式为如图，平面直角坐标系中,直线与轴，轴分别交于（，），

2、（，）两点，点为线段上的一动点,过点作轴于点.求直线的解析式；若，求点的坐标;在第一象限内是否存在点，使得以、为顶点的三角形与相似.若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）直线解析式为：。 （2）方法一：设点坐标为（，），那么，由题意：，解得，（舍去）（，）方法二：，由，得，可得 ，（，）（）当时，如图若，则，（，）若，则，（，）当时过点作于点（如图），此时，过点作于点方法一： 在中， 在中， ；（，）方法二：设（，），得 ，由,得 ，解得此时，（，） 若（如图），则，（，）（由对称性也可得到点的坐标）当时，点在轴上,不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是

3、：（，），（，），（，），（，）如图，已知在梯形中，是边上的一个动点，交射线于点设点到点的距离为，点到点的距离为（1）用含的代数式表示的长（2）求关于的函数解析式，并写出它的定义域（3）与能否相似？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由解：（1）过点作于点在中，所以，在中，（2），又，即 因此，定义域为（3）要使与相似，必须有或如果，那么，因此，所以四边形是平行四边形于是，即解方程，整理，得 解得如果时，那么点与点重合于是，即解得 综上所述，与能相似，此时或已知：如图1，抛物线yax 2bxc与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线yx2经过A、C两点，且AB2（1）求抛物线的解析式

4、；（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E、D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位的速度运动（如图2），当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连接DP，若点P运动时间为t秒，设s EQ F( EDOP , EDOP ) ，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值；（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由OxOxyCAB图1OxyCAB图2EDP（1）直线yx2与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点CA（2，0），C（0，2）又AB2，B

5、（4，0）设抛物线解析式为ya( x2 )( x4 )，把C点坐标代入，得a EQ F(1, 4 )抛物线的解析式为y EQ F(1, 4 )( x2 )( x4 ) EQ F(1, 4 ) x 2 EQ F(3, 2 ) x2（2）依题意，CEt，PB2t，OP42tOxyCABEDPDEBA， EQ F( ED , OB ) EQ F( CE , COOxyCABEDP即 EQ F( ED , 4 ) EQ F( CE , 2 ) ，ED2CE2t又s EQ F( EDOP , EDOP ) EQ F( 2t42t , 2t( 42t ) ) EQ F( 1 , t 22t )t 22t(

6、 t1 )21当t1时，t 22t有最大值1当t1时，s有最小值 EQ F(1, 1 ) 1OxyCABEDP（3）由题意可求：CDeq r(,5)t，BC2eq r(,OxyCABEDPBD2eq r(,5)eq r(,5)tPBDABC以P、B、D为顶点的三角形与ABC相似有两种情况当 EQ F( BP , BA ) EQ F( BD , BC ) 时，即 EQ F( 2t , 2 ) EQ F( 2eq r(,5)eq r(,5)t , 2eq r(,5) ) ，解得t EQ F(2, 3 )当 EQ F( BP , BC ) EQ F( BD , BA ) 时，即 EQ F( 2t ,

7、 2eq r(,5) ) EQ F( 2eq r(,5)eq r(,5)t , 2 ) ，解得t EQ F(10, 7 )当t EQ F(2, 3 ) 或t EQ F(10, 7 ) 时，以P、B、D为顶点的三角形与ABC相似【课后作业】抛物线（）交轴与点、两点（点在点左侧），交轴于点，已知（，），的面积为。求抛物线的解析式；若动直线（轴）从点开始，以每秒个长度单位的速度沿轴负方向平移，且分别交轴、线段于、两点，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向原点运动。连结，设运动时间秒，当为何值时，的值最大，求出最大值；在满足（2）的条件下，是否存在的值，是否存在的值使以、为顶点的三角形与相似

8、，若存在，试求出，若不存在，请说明理由。解：（1）易知：（，），（，） 抛物线的解析式为：（2）易知：（，），（，），（，）当时，的值最大，最大值为（3）当时： 当时： 当、时，与相似。【教师备用】在平行四边形ABOC中，AOBO，且AOBO以AO、BO所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知B（6，0），直线y3xb过点C且与x轴交于点D（1）求点D的坐标；（2）点E为y轴正半轴上一点，当BED45时，求直线EC的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线EC与x轴交于点F，ED与AC交于点G点P从点O出发以每秒1个单位的速度沿折线OFFE运动，在运动过程中直线PA交BE于H，设运动时

9、间为t当以E、H、A为顶点的三角形与EGC相似时，求t的值BBACxOyD解：（1）B（6，0），BO6AOBO，AO6ABOC，ACOB，ACBO6C（6，6）直线y3xb过点C，618bb12，y3x12令y0，得03x12x4，D（4，0）BACOyKDExI123（2）BACOyKDExI123则12903BED45，EBK45BKEK，RtBDKRtEIKEIBDBOOD641012，BOIEOD EQ F( OI , OD ) EQ F( BO , EO ) ， EQ F( OI , 4 ) EQ F( 6 , 10OI )解得OI2（舍去负值）EOEIOI10212E（0，12）

10、设直线EC的解析式为ykxm eq blc( eq aalco1vs4(12m,66km) 解得 eq blc( eq aalco1vs4(k1,m12)BACOyDEGFxPH4BACOyDEGFxPH45（3）yx12，当y0时，x12F（12，0），OF12OEOF，OEF45BED45，45OEF45，ECG45当EAHECG45时，EHAEGCOAPEAH45，OPOA6t6当EHAECG45时，EAHEGC EQ F( EH , EC ) EQ F( EA , EG )BACOyDEGFxPH45EAEOAO6，BACOyDEGFxPH45EO12，OD4，ED eq r(, 4 212 2 )4eq r(,10)EAAO6，AGOD，EG EQ F(1, 2 ) ED2eq r(,10) EQ F( EH , 6eq r(,2) ) EQ F( 6 , 2eq r(,10) ) ，EH EQ F(18eq r(,5), 5 )EHPEFB45，PEHBEFEHPEFB， EQ F( EP , EB ) EQ F( EH , EF ) EQ F( EP , eq r(, 6 212 2 ) ) EQ