【七年级数学】08三角形（二） 师新

1、拓 扑 教 育 数 学 教 师 讲 义年 级 ：七年级 课 时 数 ： 2 辅 导 科 目 ： 数学 课 题三角形（二）：全等三角形的判定授课日期及时段 2015 年 月 日 00 ：00 00 ：00 a.m/p.m.（A / B / D / E / F）教 学 目 的1理解和掌握全等三角形判定方法1： “边边边”，判定方法2：“角边角”，判定方法3：“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等2能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等重 难 点全等三角形的判定方法教 学 内 容【基础知识巩固】知识点一、图形的全等（1）全等图形：定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形

2、。全等图形的形状和大小都相同。（2）全等三角形：定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。对应顶点、对应边、对应角的定义：两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的识别方法：如果两个三角形的对应边、对应角分别相等，那么这两个三角形全等。三角形全等的表示方法：如果ABC与DEF全等，记作：ABC DEF 。（3）图形经过平移、旋转、翻折的图形运动，位置发生了变化，但形状和大小却没有改变，图形运动前后的两个图形是全等的。特别注意：记两个三角形全等时，常把表示对应顶点的字母写在对应

3、的位置上。要点二、全等三角形判定1“边边边” 全等三角形判定1“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果AB，AC，BC，则ABC. 要点三、全等三角形判定2“角边角” 全等三角形判定2“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果A，AB，B，则ABC. 要点四、全等三角形判定3“角角边”1.全等三角形判定3“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就

4、可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在ABC和ADE中，如果DEBC，那么ADEB，AEDC，又AA，但ABC和ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点一、全等三角形判定4“边角边”1. 全等三角形判定4“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：如图，如果AB ，A，AC ，则ABC. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，ABC与ABD中，A

5、BAB，ACAD，BB，但ABC与ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.口诀：三边最好，两边夹角，一边两角，没边边角。知识点五：利用三角形全等测距离 （1）在遇到不可直接测量的距离时，我们可以通过构造_，使“不可直接测量的距离”变成“_”（2）方法：延长线法构造全等三角形.垂直线法构造全等三角形平行四边形法构造全等三角形要点二、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS要点三、如何选择三角形证全等1.可

6、以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题讲解】类型一、全等三角形的对应边，对应角1、如图，ABNACM，B和C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角. 【答案与解析】对应边：AN与AM，BN与CM 对应角：BAN与CAM， ANB与AMC【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角.类型二

7、、全等三角形的判定1“边边边”2、已知：如图，RPQ中，RPRQ，M为PQ的中点求证：RM平分PRQ【思路点拨】由中点的定义得PMQM，RM为公共边，则可由SSS定理证明全等.【答案与解析】证明：M为PQ的中点（已知），PMQM在RPM和RQM中，RPMRQM（SSS） PRMQRM（全等三角形对应角相等）即RM平分PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.类型三、全等三角形的判定2“角边角”3、已知：如图，E，F在

8、AC上，ADCB且ADCB，DB求证：AECF【答案与解析】证明：ADCB AC 在ADF与CBE中 ADFCBE （ASA）AF CE ，AFEFCEEF故得：AECF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等类型四、全等三角形的判定3“角角边”4、已知：如图，ABAE，ADAC，EB，DECB求证：ADAC【思路点拨】要证ACAD，就是证含有这两个线段的三角形BACEAD.【答案与解析】证明：ABAE，ADAC， CADBAE90 CAD

9、DABBAEDAB ，即BACEAD 在BAC和EAD中 BACEAD（AAS） AC AD 【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等利用平行线找角等是本题的关键.类型五、全等三角形的判定4“边角边”5、已知：如图，ABAD，ACAE，12求证：BCDE【思路点拨】由条件ABAD，ACAE，需要找夹角BAC与DAE，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： 12 1CAD2CAD，即BACDAE 在ABC和ADE中 ABCADE（SAS） BCDE（全等三角形对应边相等）【总结升华】证

10、明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.类型六、全等三角形判定的实际应用6、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.【答案与解析】设战士的身高为AB，点C是碉堡的底部，点D是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察

11、过程中视线与帽檐的夹角不变，可知BADBAC，ABDABC90.在ABD和ABC中，ABDABC（ASA）BDBC.这名战士的方法有道理.【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.【随堂练习巩固】1、如图，ABDACE，ABAC，写出图中的对应边和对应角.【答案】AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，A和A是对应角，B和C，ADB和AEC是对应角.2、已知：如图，ADBC，ACBD.试证明：CADDBC.【答案】证明

12、：连接DC， 在ACD与BDC中ACDBDC（SSS）CADDBC（全等三角形对应角相等）3、如图，ABCD，AFDE，BECF.求证：ABCD.【答案】证明：ABCD，BC.AFDE，AFBDEC.又BECF，BEEFCFEF，即BFCE.在ABF和DCE中，ABFDCE（ASA）ABCD（全等三角形对应边相等）.4、如图，AD是ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.求证：BECF.【答案】证明：AD为ABC的中线BDCDBEAD，CFAD，BEDCFD90，在BED和CFD中BEDCFD（AAS）BECF5、已知：如图，AC与BD交于O点，ABDC，ABDC（1）

13、求证：AC与BD互相平分；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OEOF.【思路点拨】（1）证ABOCDO，得AOOC，BODO（2）证AEOCFO或BEODFO【答案与解析】证明：ABDC 在ABO与CDO中 ABOCDO（AAS）AOCO ，BO=DO在AEO和CFO中AEOCFO（ASA）OEOF.6、已知：如图，PCAC，PBAB，AP平分BAC，且ABAC，点Q在PA上，求证：QCQB【答案】证明： AP平分BACBAPCAP在ABQ与ACQ中ABQACQ(SAS) QCQB7、如图，要量河两岸相对两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=B

14、C，再定出BF的垂线DF，使A、C、E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，试说明理由。 【课后强化练习】一、选择题1. 能确定ABCDEF的条件是 （ ）AABDE，BCEF，AEBABDE，BCEF，CECAE，ABEF，BDDAD，ABDE，BE2如图，已知ABCD，ADBC，则下列结论中错误的是（ ）A.ABDC B.BD C.AC D.ABBC3AD是ABC的角平分线，作DEAB于E，DFAC于F，下列结论错误的是（ ）ADEDFBAEAFCBDCDDADEADF4 如图，已知MBND，MBANDC，下列条件不能判定ABMCDN的是 （ ）AMNBABCDCAMCNDAMCN5

15、. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是( )A.带去 B.带去 C.带去 D.都带去6如图，12，34，下面结论中错误的是（ ） AADCBCDBABDBACCABOCDODAODBOC 二、填空题7. 如图,12，要使ABEACE，还需添加一个条件是 .(填上你认为适当的一个条件即可).8. 在ABC和中，A44，B67，69，44，且AC ，则这两个三角形_全等.（填“一定”或“不一定”）9. 已知，如图，ABCD，AFDE，AFDE，且BE2，BC10，则EF_.10. 如图，ABCD，ADBC，OEOF，图中全等三角形共有_对

16、.11.如图，在ABC和EFD中，ADFC，ABFE，当添加条件_时，就可得ABCEFD（SSS）12. 已知:如图，BDEF，ABDE，要说明ABCDEF，（1）若以“ASA”为依据，还缺条件 （2）若以“AAS”为依据，还缺条件 三、解答题13阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD相交于点O，且OAOB，AC那么AOD与COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由答：AODCOB证明：在AOD和COB中， AODCOB （ASA）问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？14. 已知如图，E、F在BD上，且ABCD，BFDE，AECF，求证：AC与BD互相平分.15

17、. 已知：如图, ABCD, OA OD, BC过O点, 点E、F在直线AOD上, 且EF. 求证：EB=CF.16已知：如图，CBDE，BE，BAECAD求证：ACDADC【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】A、B选项是SSA，没有这种判定，C选项字母不对应.2. 【答案】D；【解析】连接AC或BD证全等.3. 【答案】C；【解析】可由AAS证全等，得到A、B、D三个选项是正确的.4. 【答案】C； 【解析】没有SSA定理判定全等.5. 【答案】C；【解析】由ASA定理，可以确定ABC.6. 【答案】C； 【解析】ABO与CDO中，只能找出三对角相等，不能判定全等.二、填空题7. 【答案】BC；【解析】可由AAS来证明三角形全等.8. 【答案】一定； 【解析】由题意，ABC，注意对应角和对应边.9. 【答案】6； 【解析】ABFCDE，BECF2，EF10226.10.【答案】5； 【解析】ABOCDO，AFOCEO，DFOBEO，AODCOB，ABDCDB.11.【答案】BCED；12.【答案】（1）A D；（2）ACB F；三、解答题13. 【解析】解： 这位同学的回答及证明过程不正确.因为D所对的是AO，C所对的是OB，证明中用到了OAOB