高中数学知识点总结导数的应用

1、导数的应用、复数1.用导数研究函数的单调性。 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 内可导，若 SKIPIF 1 0，则 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上递增;若 SKIPIF 1 0 0，则 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上递减. 注意： SKIPIF 1 0 为正（负）是函数 SKIPIF 1 0 递增（减）充分不必要条件。如果函数f(x)在区间（a,b）内可导且不是常函数，上述结论可以改进为：f(x)在区间（a,b）上单调递增 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 0在（a,b）上恒成立；f(x)在区间（a,b）上单调递减 SKIP

2、IF 1 0 SKIPIF 1 0 0在（a,b）上恒成立举例1已知函数 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 是增函数，求实数 SKIPIF 1 0 的范围。解析： SKIPIF 1 0 0在 SKIPIF 1 0 上恒成立 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上恒成立而 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上的最小值为16，故 SKIPIF 1 0 。举例2已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f/(x)在R上也可导，且其导函数f/(x)/0，则y=f(x)的图象可能是下图中的 （ C ）OxyOxyOxy

3、OxyOxOxyOxy解析：由f/(x)/0知f/(x)在R上递减，即函数y=f(x)的图象上从左到右各点处的切线斜率递减，不难看出图象满足这一要求。举例3 f(x)是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足xf/(x)+f(x)0,对任意正数a、b,若ab，则必有 （ ） （07陕西理11）A.af(b) bf(a) B.bf(a) af(b)C.af(a) f(b) D.bf(b) f(a)解析：xf/(x)+f(x)0 SKIPIF 1 0 xf(x)/ 0 SKIPIF 1 0 函数F(x)= xf(x) 在（0，+）上为常函数或递减，又0ab且f(x)非负，于是有：af(a)bf(b

4、)0 SKIPIF 1 0 两式相乘得： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 af(b) bf(a)，故选A。注：本题的难点在对不等式的设计，需要经验更需要灵感。巩固1函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ）上递增， SKIPIF 1 0 的取值范围是 。巩固2设 SKIPIF 1 0 是函数 SKIPIF 1 0 的导函数，将 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 g/(x),若ab，则 （ ）Af(a)g(b) Bg(a)f(b)Cf(a) -f(b) g(a)- g(b)2“极值点”不是“点”，而是方程 SKIPIF 1 0 的根。 SKIPIF 1 0 是

5、函数 SKIPIF 1 0 极值点则 SKIPIF 1 0 ；但是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 未必是极值点（还要求函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 左右两侧的单调性相反）；若 SKIPIF 1 0 （或 SKIPIF 1 0 ）恒成立，则函数 SKIPIF 1 0 无极值。举例1 已知函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处取得极大值，在 SKIPIF 1 0 处取得极小值，且 SKIPIF 1 0 （1）证明 SKIPIF 1 0 ；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。解析：函数 SKIPIF 1 0 的导数 SKIPIF 1 0

6、（）由函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处取得极大值，在 SKIPIF 1 0 处取得极小值，知 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的两个根所以 SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 为增函数， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 （）在题设下， SKIPIF 1 0 等价于 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 化简得 SKIPIF 1 0 此不等式组表示的区域为平面 SKIPIF 1 0 上三条直线： SKIPIF 1 0 所围成的 SKIP

7、IF 1 0 的内部，由“线性规划”的知识容易求得： SKIPIF 1 0 的取值范围为 SKIPIF 1 0 举例2 已知函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处有极值10,则 SKIPIF 1 0 解析： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 由得： SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，此时函数 SKIPIF 1 0 无极值，舍去；当 SKIPIF 1 0 时 SKIPIF 1 0 ，函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处左减右增，

8、有极小值；此时 SKIPIF 1 0 18 。注：在解决“已知函数的极值点求参变量”的问题时，为避免“增根”，需将求出的参变量的值代入 SKIPIF 1 0 检验其是否为完全平方式，若是则函数无极值（单调），否则有极值；也可以对 SKIPIF 1 0 再次求导，看 SKIPIF 1 0 的值，为0则无极值，为正则有极小值，为负则有极大值。巩固1已知 SKIPIF 1 0 在区间0,1上是增函数,在区间 SKIPIF 1 0 上是减函数,又 SKIPIF 1 0 ()求 SKIPIF 1 0 的解析式; ()若在区间 SKIPIF 1 0 (m0)上恒有 SKIPIF 1 0 x成立,求m的取值

9、范围.举例2设函数 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 证明：当 SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0 没有极值点；当 SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0 有且只有一个极值点，并求出极值（07高考山东文21）3.求 SKIPIF 1 0 在闭区间内的最值的步骤：（1）求导数 SKIPIF 1 0 （2）求导数方程 SKIPIF 1 0 =0的根（3）检查 SKIPIF 1 0 在根的左右值的符号，列表求得极值；也可通过解不等式 SKIPIF 1 0 0及 SKIPIF 1 0 0确定函数 SKIPIF 1 0 在给定区间内的单调情况，再确定函数

10、的极值；最后将极值与区间端点的函数值比较以确定最值。举例1 设函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 及 SKIPIF 1 0 时取得极值（）求a、b的值；（）若对于任意的 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 成立，求c的取值范围解析：（） SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （） SKIPIF 1 0 在0，3上恒成立即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 由（）可知， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIP

11、IF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 0，1上递增，1，2上递减，2，3上递增；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 取得极大值 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 故当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 的最大值为 SKIPIF 1 0 于是有： SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，因此 SKIPIF 1 0 的取值范围为 SKIPIF 1 0 。举例2 已知定义在

12、正实数集上的函数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 设两曲线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 有公共点，且在该点处的切线相同用 SKIPIF 1 0 表示 SKIPIF 1 0 ，并求 SKIPIF 1 0 的最大值；解析：设 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 在公共点 SKIPIF 1 0 处的切线相同 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由题意 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 得： SKIPIF 1 0 ，或 SKIPIF 1 0 （舍

13、去）即有 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 于是当 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 为增函数，在 SKIPIF 1 0 为减函数， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 的最大值为 SKIPIF 1 0 巩固1 设函数 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 的最大值和最小值巩固2 已知函数 SKIPIF 1 0 ，其图象为

14、曲线C直线l:y=x+1与曲线C相切于x轴上一点，求的a、b的值（2）是否存在实数a、b，使f(x)在-1、2上取得最大值为3，最小值为-29。若存在，求出a、b的值，并指出函数y=f(x)的单调递增区间；若不存在，请说明理由。4复数包括实数和虚数，实数是虚部为0的复数；-1的“平方根”为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 = -1， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 =1， SKIPIF 1 0 ；复数运算遵循有理式的运算法则；复数的商一般将分母“实数化”（分子分母同乘分母的共扼复数）；两个虚数不能比较大小；两个复数相等当且仅当它们的实部相等，虚部也相等；复数 S

15、KIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 R， SKIPIF 1 0 R）在复平面内唯一对应点（ SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ）。举例1 设 SKIPIF 1 0 是实数，且 SKIPIF 1 0 是实数，则 SKIPIF 1 0 （ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 解析： SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 R，则 SKIPIF 1 0 1举例2 已知 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 是虚数单位）是实系数一元二次方

16、程 SKIPIF 1 0 的两个根，那么 SKIPIF 1 0 的值分别是（）A SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 解析：分别将 SKIPIF 1 0 代入方程得： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 对整理得： SKIPIF 1 0 ；解得： SKIPIF 1 0 。本题也可以用“韦达定理”求解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 对整理得： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 。巩固1在复平面内，复数z= SKIPIF 1 0 对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第在象限（D）第四象限巩固2 设复数 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1