期末概率论复习要点课件2

1、1概率论与数理统计(二十四)1概率论与数理统计(二十四)2 建议复习内容 1。 有关概念的定义、含义、性质、定理、推论等知识要点，及各种算法、公式。 2。 有关的例题、作业习题，2 建议复习内容 1。 有关概念的定义、含义、性质、定3随机事件的运算及原理：第一章 概率论的基本概念（知识点）交换 结合 分配 对偶概率函数P(A)的定义（3）及性质（6）：条件概率定义样本空间的划分，完备事件组“事件A与B相互独立”的定义乘法定理 加法公式 全概率公式贝叶斯公式3随机事件的运算及原理：第一章 概率论的基本概念（知识点）4 第一章：课件:例02-1.1,例02-1.2. 即参考资料:例1.4.1;课件

2、:例04-1. 即参考资料:例1.5.4; 作业习题一之 23、25、27. 4 第一章：5例02-1.1, 一批产品共十件, 其中两件为不合格品，从中任取3件，(1)求最多有一个为不合格品的概率。 解 设 A 表示“最多一个不合格品”，B 表示“无不合格品”， C 表示“正好一个不合格品”。则 例02-1.2 又 (2)求至少有一个为不合格品的概率。 解 设 D 表示“至少有一个不合格品”，则 表示“全是合格品”，有5例02-1.1, 一批产品共十件, 其中两件为不合格品，6例04-1八支枪中，有三支未经试射校正，五支已经试射校正。校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，未校正的枪射击时，中靶

3、的概率为0.3，今从8支枪中任取一支射击中靶。问所用这枪是校正过的概率是多少？解 设事件 B =射击中靶，A1 =任取一枪是校正过的， A2 =任取一枪是未校正过的。则故所求概率为6例04-1八支枪中，有三支未经试射校正，五支已经试射校正。72372323解.23解.92592525解.色盲记为 S , 且知：于是有25解.色盲记为 S , 且知：于是有11271127125:45 5:49 回家记为 A , 且知：27解.于是：125:45 5:49 回家记为 A , 且知：27解13第二章 随机变量及其分布（知识点） 随机变量及其分布函数的定义及性质离散随机变量的定义及分布律，分布函数的特

4、点 4个分布律： 二项分布、超几何分布、泊松分布、几何分布连续型随机变量的定义， 其概率密度及分布函数的性质与关系 3个分布：均匀分布、指数分布、正态分布。13第二章 随机变量及其分布（知识点） 随机变量及其分布14随机变量函数的分布 离散随机变量函数的分布律之求法 连续型随机变量函数的概率密度的求法， 一维正态分布的线性变换。14随机变量函数的分布15 第二章：课件:例06-2, 即参考资料:例2.20;课件:例06-6, 见参考资料第48页,正态分布的线性变换;作业习题二之 15；28；30. 15 第二章：16解 由 X 的概率分布为例2.5.1 设随机变量 ，求（1）随机变量 的概率分

5、布；（2）随机变量 的概率分布；（3）随机变量 的概率分布。012301490030220概率例06-216解 由 X 的概率分布为例2.5.1 设随机变量 得到：（1）随机变量 的概率分布；（2）随机变量 的概率分布；（3）随机变量 的概率分布。0149-103 020.3430.4410.1890.0270.630.370.3430.4680.189得到：（1）随机变量 的概率分布；（218 例4,随机变量X服从参数为,的正态分布N (,2). Y=cX+d,c非0,求：fY(y).例06-618 例4,随机变量X服从参数为,的正态分布N (19解: g (x)=cx+d, g(x)=c,

6、或0,或0,或20Y服从参数为(c+d),(c)的正态分布N(c+d),(c)2 )。取c=1/, d = -/, 则Y服从参数为(0,1)的标准正态分布N (0,1)。20Y服从参数为(c+d),(c)的正态分布N(c+211521152218.2218.232823282428.由:XN (, 2) 则 Y= (X - )/ N (0,1) 于是, Px1 X x2 = P(x1 - )/ Y (x2 - )/ = (x2 - )/ ) - (x1 - )/ )“ 查附表2”2428.由:XN (, 2) 则 Y= (X -2525263026302730.“ 查附表2”不合格品率 P =

7、2730.“ 查附表2”不合格品率 P =281. n维随机变量的定义，联合分布函数的性质。第三章 多维随机变量及其分布（知识点）n维离散随机变量的定义及分布律，其分布函数的特点n维连续型随机变量之概率密度、分布函数的性质与关系 n个离散随机变量函数的分布律之求法2. n个随机变量函数的分布. n个连续型随机变量函数的概率密度的求法281. n维随机变量的定义，联合分布函数的性质。第三章 29边缘分布 联合分布律与边缘分布律的关系 联合概率密度函数与边缘概率密度的关系条件分布 随机变量的相互独立性 多维正态分布的线性组合。29边缘分布条件分布 随机变量的相互独立性 多维正态分布的线30 第三章

8、： 课件:例7-5; 课件: (3.5.3 ) 即参考资料第79页:(2)极值分布; 课件:例7-6. 即参考资料:例3.7; 作业习题三之 1、 2、 5、24 30 第三章：31例3.1.1 ：随机变量 X 在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在 1X 中等可能地取值。求（X，Y）的分布律。解：用乘法公式。PX=i,Y=j=PY=j|X=iPX=i=1/4i i=1,2,3,4 j=i例7-5.31例3.1.1 ：随机变量 X 在1，2，3，4四个整数中323233 求例子中的边缘分布律：33 求例子中的边缘分布律：34(3.5.3 )、M=max(X,Y) ,N=

9、min(X,Y)的分布设(X,Y)的是两个独立的随机变量,它们的分布函数为FX(x)和FY(y),求M=max(X,Y) ,N=min(X,Y)的分布。推广到n个独立的随机变量,M=max(X1 ,Xn)的分布为若为n个独立同分布的随机变量时, 34(3.5.3 )、M=max(X,Y) ,N=min(X35推广到n个独立的随机变量, 则N=min(X1 ,Xn)的分布为进一步若为n个独立同分布的随机变量时, 35推广到n个独立的随机变量, 则N=min(X1 ,X36例7-6.36例7-6.37(1) A=2(2)(3)37(1) A=2(2)(3)3813813939401.8(1).16

10、 (1) xy01p.j016/254/254/514/251/251/5Pi.4/51/5 xy01p.j028/458/454/518/451/451/5Pi.4/51/5放回:独立不放回:不独立401. x016/254/254/5141241242 “二封信随机投入四个邮筒，前两个邮筒内的信数之联合分布”。 xy01 2 01/41/41/169/1611/41/806/1621/16001/169/166/161/16一封信落入该两邮筒之一的概率为1/4，未落入该两邮筒的概率为1/2。 2. 8(2).16 (2)不独立42 “二封信随机投入四个邮筒，前两个邮筒内 x43543544

11、(1) k=1(2)(3)(4)544(1) k=1(2)(3)(4)54524452446464724. Z=x+y:0,1,2,3,4,5,6,7 xy0123400.100.050.010.020.0110.040.060.020.030.0420.130.080.010.050.0330.080.110.050.060.02w=2x-y:-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8M=Max(x,y):0,1,2,3,4N=Min(x,y):0,1,2,3Z=M+N=x+y0.320.350.300.090.160.100.190.190.304724. Z=x+y:0,1,2

12、,3,4,5,6,7 4824. Z=x+y:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7w=2x-y:-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8M=Max(x,y):0,1,2,3,4N=Min(x,y):0,1,2,3Z=M+N=x+yZ: 0.10 0.09 0.20 0.20 0.16 0.14 0.09 0.02W: 0.08 0.13 0.15 0.18 0.11 0.06 0.08 0.06 0.05 0.05 0.04 0.01M: 0.1 0.15 0.25 0.40 0.1 N: 0.44 0.34 0.14 0.08 4824. Z=x+y:0, 1, 2, 3

13、, 4, 5,4924. 4924. 50第四章 随机变量的数字特征（知识点）2.随机变量的数学期望的 意义、求法及性质， 7个分布 的数学期望。 1. 随机变量函数的数学期望 定义及求法3. 随机变量的方差的 意义、求法及性质， 7个分布 的方差。4.变量间的协方差及相关系数的 意义、求法及性质， 二维正态分布的协方差及相关系数。50第四章 随机变量的数字特征（知识点）2.随机变量的数学51 第四章：课件:例11-4.1. 即参考资料:第4.2.3节之6;课件:例12-5. 即参考资料:第4.2.3节之2;课件:例12-6. 作业习题四之 16；19；23 .51 第四章：52例11-4.1

14、、标准正态分布 X N (0, 1) .则例11-4.2 、正态分布 Y N (, 2). 注意到：Y= X + ，因此 D(Y)= D(X) + D()= 2D(X) +0= 252例11-4.1、标准正态分布 X N (0, 1) .53例4.2.2 、均匀分布 X 在 (a, b)上均匀分布.则例11-5.53例4.2.2 、均匀分布 X 在 (a, b)上54试证明X与Y不相关，但两者并不相互独立。例4.3.2 : 设X在区间 上服从均匀分布，解：例12-654试证明X与Y不相关，但两者并不相互独立。例4.3.2 :55可见另外 :对于一切满足0a1的实数a都有 因而故X与Y两者并不相

15、互独立。本例的X与Y两者有明显的函数关系，但 又是不相关的。相关系数 反映了X与Y之间的一种什么样的“相关”关系呢？实质上，相关系数刻画的只是随机变量之间线性相关的程度。55可见另外 :对于一切满足0a1的实数a都有 因而故X5616,1)5616,1)5716,2)5716,2)5816.5816.591959196019.6019.612361236223.不独立.不相关.6223.不独立.不相关.63第五章 大数定律即中心极限定理（知识点）1:几乎处处收敛、依概率收敛、依分布收敛的定义2：契比雪夫 大数定律（独立、方差有界）， 贝努利大数定律 （二项分布的频率稳定性）， 辛钦大数定律 （

16、独立同分布）。3：林德贝格勒维中心极限 定理（独立同分布）， 德莫弗-拉普拉斯 定理 （二项分布）， 李雅普诺夫 定理 (李雅普诺夫条件)。满足条件的随机变量的算术平均序列与它们的数学期望的算术平均序列之差依概率收敛于零。则随机变量和的标准化序列依分布收敛于N(0,1),4：引理：契比雪夫不等式63第五章 大数定律即中心极限定理（知识点）1:几乎处处收64第六章 样本及抽样分布（知识点）1.随机样本、统计量的定义: 2. 几个常用的统计量：样本平均值; 样本方差; 样本标准差; 样本k阶(原点)矩; 样本k阶(中心)矩;样本极差; 样本中位数; 样本分布函数。8个3：几个抽样分布(0) 正态分

17、布(一) 2分布;(二) t分布;(三) F分布 4个4：分布的上 、下 、双侧分位点5：正态总体的样本均值与样本方差的分布 4个 64第六章 样本及抽样分布（知识点）1.随机样本、统计量的651.1、矩估计法 用样本原点矩作为总体原点矩的估计量、用样本原点矩的连续函数作为总体原点矩的连续函数的估计量，这种估计方法称为矩估计法. 第七章 参数估计（知识点）1.待估参数的点估计1.2、极大似然估计法写样本的似然函数L( )，是 的函数。651.1、矩估计法 用样本原点矩作为总体原点矩的66 设 总体X的分布函数F(x ; )含有一个未知参数, 对于给定的值 (01),若由样本 X1,X2,Xn确

18、定的两个统计量 (X1,X2,Xn) 和 统计量 (X1,X2,Xn),满足2.区间估计 我们称随机区间 ( , )为 的置信度为1- 的置信区间,分别称 和 为置信度为1- 的双侧置信区间的置信下限和置信上限, 1- 称为置信度.66 设 总体X的分布函数F(x ; )含有一个未知67 第七章：课件:例16-6. 即参考资料:例7.1.1;课件:例17-02. 即参考资料:例7.1.5;作业习题七之 5、11、20 ；67 第七章：68例16-6 、 X在 (a, b)上均匀分布. a, b则未知, X1, X2,Xn是一个样本.用样本矩来估计a, b 的值。解:已知有:得:68例16-6

19、、 X在 (a, b)上均匀分布. a, b69例17-02 、 X1, X2,Xn是来自正态分布 X N (, 2)的一个样本.求 , 2的极大似然估计量。解:似然函数为69例17-02 、 X1, X2,Xn是来自正态分布 70解得极大似然估计值为这一估计量与矩估计量是相同的.极大似然估计量为70解得极大似然估计值为这一估计量与矩估计量是相同的.极大似715715725.1)5.2)725.1)5.2)7311设某批零件的长度服从正态分布 ,从这批零件中随机抽取16个，测得零件长度（单位：毫米）为 2828293030303031 3131313132323333。试求总体均值的置信水平为

20、95%的置信区间：（1） 已知毫米；（2）若未知。7311设某批零件的长度服从正态分布 7411.1）11.2）7411.1）11.2）7520设甲乙两个品种绿化用的草皮的成活率与分别服从正态分布及，现有这两种草皮在若干个地块的成活率（%）数据如下：品种甲：90.593.295.891.289.392.6品种乙：99.596.395.298.397.596.799.0要求：（1）及未知，但，计算的置信水平为0.9的置信区间；及未知，计算的置信水平为99%的置信区间。（2）207520设甲乙两个品种绿化用的草皮的成活率与分别服从正态7620.1)7620.1)7720.2).7720.2).78

21、 提出关于总体的假设. 根据样本对所提出的 假设做出判断:是接受假设,还是拒绝假设.第八章 假设检验（知识点）1.假设检验问题具体作法步骤是: 1. 根据实际问题提出原假设H0和备择假设H1 , 一般是关于总体某些参数值的范围； 2. 确定检验统计量(通常是相应参数点估计的函数)以及拒绝域的形式； 3. 给定显著性水平的值 (01),以及样本容量n；78 提出关于总体的假设. 根据样本对所提出的第八章 79 4. 按 求出拒绝域,即找到拒绝域的边界点也称临界点。5. 取样，根据样本观察值做出判断:是接受假设H0 (即拒绝假设H1 )，还是拒绝假设H0 (即接受假 设H1 ) 。79 4. 按

22、80 第八章：课件:例19-01. 即参考资料:例8.2.1;课件:例20-02. 即参考资料:例8.2.2;课件:例20-03. 即参考资料:例8.2.3;作业习题八之 3、 7、 14.80 第八章：81例19-01、机器包装糖果.所包袋装糖果重量近似地服从正态分布.机器正常时,均值为0.5公斤,标准差为 0.015 公斤.某日开工后检验包装机工作是否正常.现随机取9袋,称的重量如下:解释: 认为该日所包袋装糖果重量近似地服从正态分布. 长期经验表明标准差比较稳定为 0.015 公斤于是认为总体服从 X N (, 0.0152),这里未知.问包装机工作是否正常?问题是,根据样本值来判断:

23、= 0.5, 还是 0.5。81例19-01、机器包装糖果.所包袋装糖果重量近似地服从正82(1)我们提出假设 H0： = 0 (= 0.5)； 和 H1： 0 。 (2)而当假设为真时, 82(1)我们提出假设 (2)而当假设为真时, 83 (3)犯错误是无法排除的。只能希望犯错误的概率控制在一定限度之内，即给出一个较小的数 (01),使犯如下错误的概率不超过 ,即使得83 (3)犯错误是无法排除的。只能希望犯84 我们令而当假设为真时, 由正态分布分位点的定义得, (4)于是若满足则拒绝H0,而若则接受H0. 84 我们令而当假设为真时, 由正态分布分位点的定义得85 (5)于是拒绝假设H

24、0 (即接受假设H1 ),认为包装 机工作是不正常的。回到本例中,取 =0.05, n=9, =0.015 查表得k=u0.975 =1.96 .再由样本算得 =0.511,既有85 (5)于是拒绝假设H0 (即接受假设H1 ),认为包86例20-02、某厂生产钢筋，已知钢筋强度服从正态分布， ,2为未知。其强度标准为52(kg/mm2)，今抽取6个样品，测得其强度数据如下(单位：kg/mm2)：48.5 49.0 53.5 49.5 56.0 52.5。判断这批产品的强度是否合格(=0.05)？t未落在拒绝域中,故接受H0,即认为产品的强度与标准强度无显著性差异，就现在样本提供的信息来看，产

25、品是合格的。 在H0成立的条件下解:现在, n=6,t0.975(5)=2.571。又得 86例20-02、某厂生产钢筋，已知钢筋强度服从正态分布， 87例20-03、 某炼铁厂的铁水含碳量 X 服从正态分布。现对操作工艺进行了某种改进，从中抽取5炉铁水，测得含碳量数据如下：4.421 4.052 4.353 4.287 4.683。取 =0.05，是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为 ？否定H0 ，即不能认为方差是(0.108)2。 在H0成立的条件下解:现在, n=5, =0.05，得临界值又得 87例20-03、 某炼铁厂的铁水含碳量 X 服从正态分布。883883893.平均含碳量仍为4.45。未落入拒绝域，不能否定H0。893.平均含碳量仍为4.45。未落入拒绝域，不能否定H0。907907917.新生儿体重无明显变化。未落入拒绝域，不能否定H0。917.新生儿体重无明显变化。未落入拒绝域，不能否定H0。921492149314.方差有显著性变化。落入拒绝域，否定H0。9314.方差有显著性变