现代控制理论-第四章-能控性能观性-课件

1、第四章 线性系统的能控性与能观性4.1 线性定常系统的能控性及其判据4.2 线性定常系统的能观性及其判据4.3 能控性及能观性的对偶关系4.4 线性定常系统的结构分解4.5 能控标准形和能观标准形4.6 系统的实现第四章 线性系统的能控性与能观性4.1 线性定常系统的能控性两个基础性概念：能控性与能观性 在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态？ 指控制作用对状态变量的支配能力，称之为状态的能控性问题。 在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的初始状态？ 系统的输出量（或观测量）能否反映状态变量，称之为状态的能观性问题。两个基础性概念：能控性与能观性 在有限时间内，

2、控例4.0.1 且 。选各自的电压为状态变量 。 根据电路理论，则两个状态分量恒相等。相平面图(b)中相轨迹为一条直线。 不论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这条直线,显然，是不完全能控的。例4.0.1 且 若电路中电阻、电容分别为则电路的系统方程为：如果初始状态为系统状态转移矩阵为系统状态方程的解为可见，不论加入什么样的输入信号，总是有若电路中电阻、电容分别为如果初始状态为系统状态转移矩阵为系统例4.0.2 选择电感中的电流以及电容上的电压作为状态变量。当电桥平衡时，电感中的电流作为电路的一个状态是不能由输出变量来确定的，所以该电路是不能观测的。例4.0.2 选择电感中的电流以及

3、电容上的电压4.1 线性定常系统的能控性及其判据 4.1.1 连续系统的能控性定义4.1.1 线性定常连续系统的状态方程为 给定系统一个初始状态 ，如果在 的有限时间区间 内，存在容许控制 ，使 ，则称系统状态在 时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全能控的。4.1 线性定常系统的能控性及其判据 4.1.1 连说明：1）能控：初态 为任意非零点，终态 为原点。 能达：初态 为原点，终态 为任意非零点。 由于线性定常连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能控性和能达性是等价的。3）当系统中存在不依赖于 的确定性干扰 时， 不会改变系统的能控性。2）只有整个状态空

4、间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控的。说明：1）能控：初态 为任意非零点，终态 定理4.1.1 线性定常连续系统为状态能控的充分必要条件是下面的nn维格拉姆矩阵满秩（该定理为能控性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）定理4.1.2 线性定常连续系统为状态能控的充分必要条件是下面的nnr 维能控性矩阵满秩。（本判据本身很简单，因此是最为常用的方法。）定理4.1.1 线性定常连续系统为状态能控的充分必要条件证明：不失一般性,假设则有应用凯-哈定理，有状态方程的解为整理得证明：不失一般性,假设则有应用凯-哈定理，有状态方程的解为整于是令如果系统能控

5、，必能够解得 。这样就要求于是令如果系统能控，必能够解得 易知例4.1.1 考察如下系统的能控性易知例4.1.1 考察如下系统的能控性其秩为3，该系统能控 从而其秩为3，该系统能控 从而其秩为2，所以系统不能控 例4.1.2 判断线性定常连续系统其秩为2，所以系统不能控 例4.1.2 判断线性定常连续定理4.1.3 （PBH判别法） 线性定常连续系统为状态能控的充分必要条件是，对A 的所有特征值 ，都有则系统能控的充分必要条件是矩阵 中不包含元素全为零的行。定理4.1.4 线性定常连续系统的矩阵 A 的特征值 互异，将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵。定理4.1.3 （PBH判别法） 线性定

6、常连续系统为状态能状态变量 x3 不受控制 例4.1.3 此系统是不能控的状态变量 x3 不受控制 例4.1.3 此系统是不能控的 定理4.1.4的优点在于很容易判断出能控性，并且将不能控的部分确定下来，但它的缺点是要进行等价变换。 例4.1.4 下列系统是能控的 定理4.1.4的优点在于很容易判断出能控性，并且将不4.1.2 输出能控性定义4.1.2 设连续系统的状态空间表达式为 如果在一个有限的区间t0,t1内，存在适当的控制向量u(t),使系统能从任意的初始输出y(t0)转移到任意指定最终输出y(t1)，则称系统是输出完全能控的。4.1.2 输出能控性定义4.1.2 设连续系统的状态空输

7、出能控性判据： 系统输出完全能控的充分必要条件是矩阵的秩为q。即输出能控性判据：的秩为q。即例4.1.5 判断系统是否具有状态能控性和输出能控性。 例4.1.5 判断系统是否具有状态能控性和输出能控性。 秩为1，等于输出变量的个数，因此系统是输出能控的。秩为1，所以系统是状态不能控的。 秩为1，等于输出变量的个数，因此系统是输出能控的。秩为1，所4.1.3 离散系统的能控性定义4.1.3线性定常离散系统的状态方程 如果存在控制向量序列u(k),u(N-1)，使系统从第k 步的状态向量开始，在第N 步到达零状态，其中N 是大于k 的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。 如果对每一个k，系

8、统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称能控。4.1.3 离散系统的能控性定义4.1.3线性定常离散系定理4.1.5 线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是矩阵 H,GH,Gn-1H 的秩为n。 该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Qc表示，于是此能控性判据可以写成rankc=rankH, GH, Gn-1H=n 对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能控性不变。 定理4.1.5 线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是矩阵例4.1.6 满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。例4.1.6 满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。, 多输入系统的能控性矩阵是一个n x

9、 np矩阵。根据判据，只要求它的秩等于n，所以在计算时不一定需要将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要条件已满足就可以停下来，不必再计算下去。例4.1.7 只要计算出矩阵H,GH 的秩，即可, 多输入系统的能控性矩阵是一个n x np4.2 线性定常系统的能观性及其判据 4.2.1 连续系统的能观性定义4.2.1 线性定常连续系统方程为 如果在有限时间区间 （ ）内，通过观测 ，能够惟一地确定系统的初始状态 ，称系统状态在 是能观测的。如果对任意的初始状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的。4.2 线性定常系统的能观性及其判据 4.2.1 连续说明：1） 已知系统在有限时间区间 内的输出 ，观

10、测的目标是为了确定 。3）状态空间中所有有限点都是能观测的，则系统才是能观测的。4）系统的输入 以及确定性的干扰信号 均不改变系统的能观测性。2）如果根据 内的输出 能够惟一地确定任意指定状态 ，则称系统是可检测的。连续系统的能观测性和能检测性等价。说明：1） 已知系统在有限时间区间 定理4.2.1 线性定常连续系统为能观测的充分必要条件是以下格拉姆能观性矩阵满秩，即其中（这个定理为能观测性的一般判据。由于要计算状态转移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）定理4.2.2 线性定常连续系统为能观测的充分必要条件是以下能观性矩阵满秩，即其中（由于此判据很简单，因而最为常用）定理4.2.1

11、 线性定常连续系统为能观测的充分必要条件是以下证明 设 ，系统的齐次状态方程的解为应用凯-哈定理，有则由于 是已知函数，因此，根据有限时间 内的 能够唯一地确定初始状态 的充分必要条件为 满秩。或者写成证明 设 ，系统的齐次状态方程的定理4.2.3（PBH判别法） 线性定常连续系统为能观测的充分必要的条件是：对于A 的每一个特征值 ，以下矩阵的秩均为n例4.2.1 系统方程如下，试判断系统的能观性解：不满秩，故系统不能观测。定理4.2.3（PBH判别法） 线性定常连续系统为能观测的充定理4.2.4 线性定常连续系统的A 阵特征值 互异，经过非奇异线性变换成为对角阵，则系统为能观测的充分必要条件

12、是 矩阵中不包含元素全为零的列。例4.2.2 有两个线性定常系统，判断其能观测性。（1）（2）解： 根据定理4.2.4可以判断，系统（1）是不能观测的。系统（2）是能观测的。定理4.2.4 线性定常连续系统的A 阵特征值 互4.2.2 离散系统的能观性 在已知输入u(t)的情况下，若能依据第k 步及以后n-1步的输出观测值y(k),y(k+n-1)，唯一地确定出第k 步上的状态x(k)，则称系统在第k步是能观测的。如果系统在任何k 步上都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测。 定义4.2.2 考虑离散系统 4.2.2 离散系统的能观性 在已知输入u(t)的情定理4.2.5 对于线

13、性定常离散系统，状态完全能观测的充分必要条件是矩阵 的秩为n。矩阵称为能观测性矩阵，记为O。定理4.2.5 对于线性定常离散系统，状态完全能观测的充分例4.2.3 判断下列系统的能观测性于是系统的能观测性矩阵为秩为3，所以系统能观。例4.2.3 判断下列系统的能观测性于是系统的能观测性矩阵例4.2.4 系统状态方程仍如上例，而观测方程为秩小于3，所以系统不能观。 例4.2.4 系统状态方程仍如上例，而观测方程为秩小于3，4.3 能控性与能观性的对偶关系BACux&xy+ TBVz&zw+ TCTA4.3 能控性与能观性的对偶关系BACux&xy+ TB对偶系统具有两个基本特征1. 对偶的两个系

14、统传递函数矩阵互为转置2. 对偶的两个系统特征值相同对偶原理：系统 的能控性等价于系统 的能观测性；系统 的能观测性等价于系统 的能控性。)()()(1112ssssTTTTTGBAICCAIBG=-=-=-对偶系统具有两个基本特征1. 对偶的两个系统传递函数矩阵互例4.3.1 线性定常系统如下，判断其能观测性。解以上系统的对偶系统为该对偶系统的能控性矩阵对偶系统能控，根据对偶原理，原系统能观测。例4.3.1 线性定常系统如下，判断其能观测性。解以上系统4.4 线性定常系统的结构分解 一个不能控、不能观测的系统，从结构上来说，必定包括能控、不能控以及能观测、不能观测的子系统。如何按照能控性或能

15、观测性进行分解呢？ 已经知道，线性变换不改变系统的能控性和能观测性。因此，可采用线性变换方法将其分解。结构分解必须解决3个问题： 1、如何分解？ 2、分解后系统方程的形式为何？ 3、变换矩阵如何确定？4.4 线性定常系统的结构分解 一个不能控、 把系统能控或能观测部分同不能控或不能观测的部分区分开来，将有利于更深入了解系统的内部结构。标准分解 采用系统坐标变换的方法对状态空间进行分解，将其划分成能控（能观）部分与不能控（不能观）部分。 把系统能控或能观测部分同不能控或不能观测的部4.4.1 系统能控性分解其中定理4.4.1 若线性定常系统不完全能控，状态 只有 个状态分量能控，则存在非奇异矩阵

16、Tc，对系统进行状态变换 ，可使系统的状态空间表达式发生变换4.4.1 系统能控性分解其中定理4.4.1 若线性定常变换后的系统分为两部分： 前n1维部分构成n1维能控子系统，得到下式 后n-n1维子系统为不能控子系统。关键：变换矩阵Tc的构造方法在能控性矩阵 中选择n1个线性无关的列向量；将所得列向量作为矩阵Tc的前n1个列，其余的列可以在保证Tc为非奇异矩阵的条件下任意选择。变换后的系统分为两部分： 后n-n1维子系统为不能控子定理4.4.2 能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递函数矩阵相同，即.因为定理4.4.2 能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递函数例4.4.1 对下列系统进行能

17、控性分解。 能控性矩阵的秩 可知系统不完全能控。 例4.4.1 对下列系统进行能控性分解。 在能控性矩阵中任选两列线性无关的列向量。为计算简单，选取其中的第1列和第2列。易知它们是线性无关的。 再选任一列向量，与前两个列向量线性无关。变换矩阵 在能控性矩阵中任选两列线性无关的列向量。为计算状态变换后的系统状态空间表达式 二维能控子系统 状态变换后的系统状态空间表达式 二维能控子系统 系统能控性分解结构图 系统能控性分解结构图 4.4.2 系统能观性分解其中定理4.4.3 若线性定常系统不完全能观，状态 只有 个状态分量能观，则存在非奇异矩阵To，对系统进行状态变换 ，可使系统的状态空间表达式发

18、生变换4.4.2 系统能观性分解其中定理4.4.3 若线性定常变换后的系统分为两部分： 前n2维部分构成n2维能观子系统，得到下式 后n-n2维子系统为不能观子系统。关键：变换矩阵To的构造方法对于能观性分解，变换矩阵的求法有其特殊性。应由构造其逆To-1做起。在能观性矩阵 中选择n2个线性无关的行向量；将所得行向量作为矩阵To-1的前n2个行，其余的行可以在保证To-1为非奇异矩阵的条件下任意选择。变换后的系统分为两部分： 后n-n2维子系统为不能观子定理4.4.4 能观子系统与原系统的传递函数矩阵相同。即 因为定理4.4.4 能观子系统与原系统的传递函数矩阵相同。即 例4.4.2 系统同例

19、4.4.1，进行能观性分解。计算能观性矩阵的秩 任选其中两行线性无关的行向量，再选任一个与之线性无关的行向量，得 例4.4.2 系统同例4.4.1，进行能观性分解。计算能观状态变换后的系统状态空间表达式 二维能观子系统 状态变换后的系统状态空间表达式 二维能观子系统 系统能观性分解结构图 系统能观性分解结构图 4.4.3 系统按能控性与能观性进行标准分解定理4.4.5 设系统状态空间表达式为经过线性状态变换,可以化为下列形式4.4.3 系统按能控性与能观性进行标准分解定理4.4.5现代控制理论-第四章-能控性能观性-课件4.5 能控标准形和能观标准形能观标准形是指在一组基底下，将能观性矩阵中的

20、A 和 C 表现为能观的标准形式适当选择状态空间的基底，对系统进行状态线性变换，把状态空间表达式的一般形式化为标准形式能控标准形是指在一组基底下，将能控性矩阵中的A 和 B 表现为能控的标准形式4.5 能控标准形和能观标准形能观标准形是指在一组基底4.5.1 系统的能控标准形线性定常系统A的特征多项式能控性矩阵能控标准形4.5.1 系统的能控标准形线性定常系统A的特征多项式能控定理4.5.1 如果系统 是完全能控的，那么必存在一非奇异变换 ，使其变换成能控标准形 。线性变换矩阵 定理4.5.1 如果系统 是完全能控的，那例4.5.1 线性定常系统能控性矩阵 逆矩阵 例4.5.1 线性定常系统能

21、控性矩阵 逆矩阵 现代控制理论-第四章-能控性能观性-课件4.5.2 系统的能观标准形能观测性矩阵线性定常系统，则系统完全能观测若能观标准形4.5.2 系统的能观标准形能观测性矩阵线性定常系统，则系定理4.5.2 如果系统是能观测的，那么必存在一非奇异变换将系统变换为能观标准形定理4.5.2 如果系统是能观测的，那么必存在一非奇异变换例4.5.2 能观性矩阵 例4.5.2 能观性矩阵 现代控制理论-第四章-能控性能观性-课件4.6 系统的实现由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。换言之，若状态空间描述是传递函数矩阵的实现，则必有在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。 4.6 系统的实现由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统4.6.1 单输入单输出系统的实现问题单输入单输出系统