机器人技术第5讲

1、2022/10/121 第四章 机器人动力学机器人是主动机械装置，原则上，它的每个自由度都具有单独传动。从控制的观点来看，机械手系统是冗余、多变量和本质非线性的自动控制系统，也是复杂的动力学耦合系统。每个控制任务本身就是一个动力学任务。因此研究机器人的动力学问题就是为了进一步讨论控制问题。为使机器人连杆加速，驱动器必须有足够大的力和力矩来驱动机器人连杆和关节，以使他们能以期望的加速度和速度运动，否则连杆将因运动迟缓而损失机器人的位置精度。因此必须建立决定机器人运动的动力学关系方程，用来计算每个驱动器所需的驱动力。2020-02-112第四章机机器器人动力力学方法：1牛顿欧拉法；2拉格朗日日方法

2、。机器人动动力学方方程可以以确定机机器人的的运动，但实际际上除最最简单的的情况外外，求解解机器人人的全部部动力学学方程几几乎是不不可能的的。作用：1确定力和和力矩，以便在在机器人人连杆和和关节上上产生期期望的加加速度；2考察不同同负载对对机器人人的影响响及根据据期望的的加速度度来考察察某些负负载的重重要性；2020-02-113第四章机机器器人动力力学牛顿欧拉拉法从运运动学出出发求得得加速度度，并消消去各内内作用力力。拉格格朗日方方法，它它只需要要速度而而不必求求内作用用力，是是比较直直接的方方法。对于动力力学，有有两个相相反的问问题：一一是动力力学的正正问题：已知机机械手各各关节的的作用力力

3、或力矩矩，求各各关节的的位移、速度和和加速度度。主要要应用于于仿真研研究；二二是动力力学的逆逆问题：已知机机械手的的运动轨轨迹，即即各关节节的位移移、速度度、加速速度求各各关节所所需要的的驱动力力或力矩矩。主要要是实时时控制的的需要一般机器器人的动动态方程程由6个个非线性性微分方方程联立立表示，实际上上除了一一些简单单的情况况外，不不可能求求得方程程的一般般解。在在实际控控制时往往往对动动态方程程作出某某些假设设，进行行简化处处理。2020-02-1144.1惯性矩首先，在在图41里通过把把质点的的平移运运动改作作回转运运动的分分析，来来了解惯惯性矩的的物理意意义。若将力F作用到质质量为m的质

4、点时时的平移移运动，看作是是运动方方向的标标量，则则可以表表示为：式中：表表示示加速度度。若把把这一运运动看作作是质量量可以忽忽略的棒棒长为r的回转运运动，则则得到加加速度和和力的关关系式为为：2020-02-1154.1惯性矩式中，和和N是绕轴回回转的角角加速度度和惯性性力矩，将和和F代入上式式得：令，上式可以变为为：（41）式（41）是质点点绕固定定轴进行行回转运运动时的的运动方方程式，I相当于平平动时的的质量，称为惯惯性矩。求质量连连续分布布物体的的惯性矩矩时，可可以将其其分割成成假想的的微小物物体，然然后将微微小物体体的惯性性矩加在在一起，这时，微小物物体的质质量dm及其微小小物体体体

5、积dV的关系可可用密度度表示为：2020-02-1164.1惯性矩那么，它它的惯性性矩为：整个物体体的惯性性矩可用用下式表表示：（42）例4.1求图42所示示质量为为M，长度为L的匀质杆杆（粗细细忽略），绕其其一端回回转时的的惯性矩矩I。2020-02-1174.1惯性矩例42试求上例例的杆绕绕重心回回转时的的惯性矩矩IC。解：由于于该杆是是重心位位于中心心的匀质质杆，因因此，可可先就杆杆的一半半来求解解，然后后再加倍倍即可。假定x为离杆中中心的距距离，则则得到：解：微小小物体的的质量用用线密度度（M/L）表示，所所以其惯惯性矩为为。因此将将dI在长度方方向积分分，即可可得到：2020-02-

6、1184.2牛顿、欧欧拉运动动方程式式图43所示示的单一一刚体的的运动方方程式可可用下式式来表示示：（43）式中，m（标量）是是刚体的的质量；是绕重心心C的惯性矩矩阵；FC是作用于于重心的的平动力力；N是惯性力力矩；Vc是重心的的平移速速度；为角速度。式（43）及式（44）分别被被称为牛牛顿运动动方程式式及欧拉拉运动方方程式。Ic的各元素素表示对对应的力力矩元素素和角加加速度元元素间的的惯性矩矩。（44）2020-02-1194.2牛顿、欧欧拉运动动方程式式下面我们们来求图图44所示示1自由由度机械械手的运运动方程程式。这这种场合合，由于于关节轴轴制约连连杆的运运动，所所以可以以把式（44）的

7、运动动方程式式看作是是绕固定定轴的运运动。假假定绕关关节轴的的惯性矩矩为I，取垂直纸纸面的方方向为Z轴，则得得到：2020-02-11104.2牛顿、欧欧拉运动动方程式式式中：g为重力常常数；是是在第第三行第第三列上上具有绕绕关节轴轴的惯性性矩阵，把这些些公式代代入（44），提取取只有z分量的回回转则得得到：2020-02-11114.2牛顿、欧欧拉运动动方程式式式中：（45）对于一般般形式的的连杆，由于I除第三分分量以外外，其它它分量皆皆不为零零，所以以I不是零向向量。I的第1，2分量量成了改改变轴方方向的力力矩，但但在固定定轴的场场合，与与这个力力矩平衡衡的约束束力生成成式N的第1，2分量

8、量，不产产生运动动。由于机器器人是具具有分布布质量的的三维、多自由由度机构构，利用用牛顿力力学建模模非常困困难，拉拉格朗日日力学成成为主要要的动力力学分析析方法。2020-02-11124.3拉格朗日日运动方方程式拉格朗日日运动方方程式仅仅仅包涵涵能量项项对系统统变量和和时间的的微分，结构简简单，因因此多数数教科书书利用该该方程进进行动力力学推导导。拉格朗日日力学以以两个方方程为基基础：一一个是直直线运动动，另一一个针对对旋转运运动。2020-02-11134.3拉格朗日日运动方方程式拉格朗日日运动方方程式可可表示为为：（46）（47）式中，q是广义坐坐标，是广义力力，当为为直线运运动时，为力

9、的的单位，当为转转动时，它为力力矩的单单位。拉格朗日日运动方方程式也也可表示示为：这里，L是拉格朗朗日算子子；K是动能；P是势能。2020-02-11144.3拉格朗日日运动方方程式例：用拉拉格朗日日运动方方程式推推导下图图所示的的单自由由度系统统力和加加速度的的关系，车轮的的质量忽忽略不计计：小车的动动能为：拉格朗日日算子为为：小车系统统的势能能为：2020-02-11154.3拉格朗日日运动方方程式拉格朗日日函数的的导数为为：因此小车车系统的的运动方方程为：2020-02-11164.3拉格朗日日运动方方程式现就前面面讲的1自由度度机械手手来具体体求解。假定为广义坐坐标，则则有：由于 （4

10、8）2020-02-11174.3拉格朗日日运动方方程式所以用置换式（46）的广义义坐标后后得到下下式：（49）它与前面面的结果果完全一一致。下面推导导图45所示示的2自自由度机机械手的的运动方方程式。在推导时时，把1，2当作广广义坐标标，1，2当作广广义力求求拉格朗朗日算子子，代入入式（46）即可得得到。2020-02-11184.3拉格朗日日运动方方程式第1个连杆的的动能K1、势能P1可分别表表示为：（410）2020-02-11194.3拉格朗日日运动方方程式式中，是是第i个连杆质质量中心心的位置置向量。（411）2020-02-11204.3拉格朗日日运动方方程式应该注意意到各连连杆的

11、动动能可用用质量中中心平移移运动的的动能和和绕质量量中心回回转运动动的动能能之和来来表示。由式（411），得到到式（410）中的质质量中心心速度平平方和为为：利用式（410）和式（412），（413），通过过下式（412）（413）2020-02-11214.3拉格朗日日运动方方程式式中：可求出拉拉格朗日日算子L，把它代入入式（46）的拉格格朗日运运动方程程式，整整理后可可得：2020-02-11224.3拉格朗日日运动方方程式（437）2020-02-11234.3拉格朗日日运动方方程式是惯性力力；是是离心心力；表表示加加在机械械手上的的重力项项，g是重力加加速度常常数。对于多于于3个自自由

12、度的的机械手手，也可可用同样样的方法法推导出出运动方方程式，但随自自由度的的增多演演算量将将急剧增增加。2020-02-11244.4机械手动动力学方方程在分析了了二连杆杆机械手手的基础础上，我我们分析析由一组组A变换描述述的任何何机械手手，求其其动力学学方程。分以下下5步进行推推导：（1）计算任一一连杆上上任一点点的速度度；（2）计算各连连杆的动动能和机机械手的的总动能能；（3）计算各连连杆的位位能和机机械手的的总位能能；（4）建立机械械手系统统的拉格格朗日函函数；（5）对拉格朗朗日函数数求导，以得到到动力学学方程。2020-02-11254.4机械手动动力学方方程下图表示示一个四四连杆机机

13、械手的的结构。我们先先从这个个例子出出发，求求得此机机械手某某个连杆杆（例如如连杆3）上某一一点（P）的速度度、质点点和机械械手的动动能与位位能、拉拉格朗日日算子，求系统统的动力力学方程程。然后后，由特特殊到一一般，导导出任何何机械手手的速度度、动能能、位能能和动力力学方程程的一般般表达式式。2020-02-11264.4机械手动动力学方方程2020-02-11274.4.1速度的计计算图中连杆杆3上点P的位置为为：式中，为为基基坐标系系中的位位置矢量量；为局部（相对关关节O3）坐标系系中的位位置矢量量；T3为变换矩矩阵，包包括旋转转和平移移变换。对于任一一连杆i上的一点点，其位位置为：202

14、0-02-11284.4.1速度的计计算点P的速度为为（4.14）2020-02-11294.4.1速度的计计算对于连杆杆i上任一点点的速度度为：（4.15）P点的加速速度2020-02-11304.4.1速度的计计算速度的平平方：对于任一一机械手手上一点点的速度度平方为为(4.16)2020-02-11314.4.2动能和位位能的计计算令连杆3上任一质质点P的质量为为dm，则其动动能为：任一机械械手连杆杆i上位置矢矢量的的质质点，其其动能为为2020-02-11324.4.2动能和位位能的计计算对连杆3积分dK3，得连杆3的动能为为：式中，积积分称称为连杆杆的伪惯惯量矩阵阵，并记记为：202

15、0-02-11334.4.2动能和位位能的计计算任何机械械手上任任一连杆杆i的动能为为：（4.17)式中，Ii为伪惯量量矩阵，其表达达式为：2020-02-11344.4.2动能和位位能的计计算式中，Ii为伪惯量量矩阵，其表达达式为：2020-02-11354.4.2动能和位位能的计计算物体的转转动惯量量、矢量量积以及及一阶矩矩量为：如果令2020-02-11364.4.2动能和位位能的计计算于是可把把Ii表示为（4.18)：2020-02-11374.4.2动能和位位能的计计算具有n个连杆的的机械手手总的动动能为：（4.19)连杆i的传动装装置动能能为式中，Iai为传动装装置的等等效转动动惯量，对于平平动关节节，Iai为等效质质量；传动关节节的传动动装置总总动能为为2020-02-11384.4.2动能和位位能的计计算下面计算算机械手手的位能能，一个个高度为为h，质量为为m的物体其其位能为为：Pmgh连杆i上位置处处的质质点dm，其位能能为：2020-02-11394.4.2动能和位位能的计计算其中，mi为连杆I的质量，为为连杆