时间序列分析方法之谱分析

1、第六章 谱分析析 SSpecctraal AAnallysiis到目前为止止，时刻刻变量的的数值一一般都表表示成为为一系列列随机扰扰动的函函数形式式，一般般的模型型形式为为：我们研究的的重点在在于，这这个结构构对不同同时点和和上的变变量和的协方方差具有有什么样样的启示示。这种种方法被被称为在在时间域域(tiime dommainn)上分分析时间间序列的的性质。在本章中，我们讨讨论如何何利用型型如和的周期期函数的的加权组组合来描描述时间间序列数数值的方方法，这这里表示示特定的的频率，表表示形式式为：上述分析的的目的在在于判断断不同频频率的周周期在解解释时间间序列性性质时所所发挥的的重要程程度如何

2、何。如此此方法被被称为频频域分析析(frrequuenccy ddomaain anaalyssis)或者谱谱分析(speectrral anaalyssis)。我们们将要看看到，时时域分析析和频域域分析之之间不是是相互排排斥的，任任何协方方差平稳稳过程既既有时域域表示，也也有频域域表示，由由一种表表示可以以描述的的任何数数据性质质，都可可以利用用另一种种表示来来加以体体现。对对某些性性质来说说，时域域表示可可能简单单一些；而对另另外一些些性质，可可能频域域表示更更为简单单。6.1 母体体谱我们首先介介绍母体体谱，然然后讨论论它的性性质。6.1.11 母体体谱及性性质假设是一个个具有均均值的协

3、协方差平平稳过程程，第个个自协方方差为：假设这些自自协方差差函数是是绝对可可加的，则则自协方方差生成成函数为为：这里表示复复变量。将将上述函函数除以以，并将将复数表表示成为为指数虚虚数形式式，则得得到的结结果(表表达式)称为变变量的母母体谱：注意到谱是是的函数数：给定定任何特特定的值值和自协协方差的的序列，原原则上都都可以计计算的数数值。利用De Moiivree定理，我我们可以以将表示示成为：因此，谱函函数可以以等价地地表示成成为：注意到对于于协方差差平稳过过程而言言，有：，因此此上述谱谱函数化化简为：利用三角函函数的奇奇偶性，可可以得到到：假设自协方方差序列列是绝对对可加的的，则可可以证明

4、明上述谱谱函数存存在，并并且是的的实值、对对称、连连续函数数。由于于对任意意，有：，因此此是周期期函数，如如果我们们知道了了内的所所有的值值，我们们可以获获得任意意时的值。6.2 不同过过程下母母体谱的的计算假设随机过过程服从从过程：这里：，根据前面关关于过程程自协方方差生成成函数的的推导：因此得到过过程的母母体谱为为：例如，对白白噪声过过程而言言，这这时它的的母体谱谱函数是是常数：下面我们考考虑过程程，此时：，则则母体谱谱为：可以化简成成为：显然，当时时，谱函函数在内是的单单调递减减函数；当时，谱谱函数在在内是的单单调递增增函数。对过程而言言，有：这时只要，则则有：，因因此谱函函数为：该谱函

5、数的的性质为为：当时时，谱函函数在内是的单单调递增增函数；当时，谱谱函数在在内是的单单调递减减函数。一般地，对对过程而而言：则母体谱函函数为：如果移动平平均和自自回归算算子多项项式可以以进行下下述因式式分解：则母体谱函函数可以以表示为为：从母体谱函函数中计计算自协协方差如果我们知知道了自自协方差差序列，原则上上我们就就可以计计算出任任意的谱谱函数的的数值。反反过来也也是对的的：如果果对所有有在内的的，已知知谱函数数的数值值，则对对任意给给定的整整数k，我们们也能够够计算kk阶自协协方差。这这意味着着母体谱谱函数和和自协方差差序列包包含着相相同的信信息。其其中任何何一个都都无法为为我们提提供另外

6、外一个无无法给出出的推断断。下面的命题题为从谱谱函数计计算自协协方差提提供了一一个有用用的公式式：命题6.11 假假设是绝绝对可加加的自协协方差序序列，则则母体谱谱函数与与自协方方差之间间的关系系为：上述公式也也可以等等价地表表示为：利用上述谱谱公式，可可以实现现谱函数数与自协协方差函函数之间间的转换换。解释母体谱谱函数假设，则利利用命题题6.11可以得得到时间间序列的的方差，即即，计算算公式为为：根据定积分分的几何何意义，上上式说明明母体谱谱函数在在区间内内的面积积就是，也也就是过过程的方方差。更一般的，由由于谱函函数是非非负的，对对任意，如如果我们们能够计计算：这个积分结结果也是是一个正正

7、的数值值，可以以解释为为的方差差中与频频率的绝绝对值小小于的成成分相关关的部分分。注意意到谱函函数也是是对称的的，因此此也可以以表示为为：这个积分表表示频率率小于的的随机成成分对方方差的贡贡献。但是，频率率小于的的随机成成分对方方差的贡贡献意味味着什么么？为了了探索这这个问题题，我们们考虑更更为特殊殊一些的的时间序序列模型型：这里和是零零均值的的随机变变量，这这意味着着对所有有时间tt，有。进一一步假设设序列和和是序列列不相关关和相互互不相关关的：，对所有的的j和k这时的方差差是：因此，对这这个过程程来说，具具有频率率的周期期成分对对的方差差的贡献献部分是是。如果频频率是有有顺序的的：，则则的

8、方差差中由频频率小于于或者等等于的周周期形成成的部分分是：。这种情形下下的k阶自协协方差为为：因为过程的的均值和和自协方方差函数数都不是是时间的的函数，因因此这个个过程是是协方差差平稳过过程。但但是，可可以验证证此时的的自协方方差序列列不是绝绝对可加加的。虽然在上述述过程中中，我们们已经过过程的方方差分解解为频率率低于某某种程度度的周期期成分的的贡献，我我们能够够这样做做的原因因在于这这个过程程是比较较特殊的的。对于于一般的的情形，著著名的谱谱表示定定理(tthe speectrral reppressenttatiion theeoreem)说说明：任任何协方方差平稳稳过程都都可以表表示成为

9、为不同频频率周期期成分的的和形式式。对任意给定定的固定定频率，我我们定义义随机变变量和，并假假设可以以将一个个具有绝绝对可加加自协方方差的协协方差平平稳过程程表示为为：这里需要对对随机变变量和的相关关性给出出更为具具体的假假设，但但是上述述公式便便是谱表表示定理理的一般般形式。6.2 样本周周期图 Saamplle PPeriiodoograam对一个具有有绝对可可加自协协方差的的协方差差平稳过过程，我我们已经经定义在在频率处处的谱函函数值为为：，注意到母体体谱是利利用表示示的，而而表示的的是母体体的二阶阶矩性质质。给定由表示示的T个样本本，我们们可以利利用下述述公式计计算直到到阶的样样本自协

10、协方差：，对于给定的的，我们们可以获获得母体体谱密度度对应的的样本情情形，我我们称其其为样本本周期图图：样本周期图图也可以以表示成成为如下下形式：类似地，我我们可以以证明样样本周期期图下的的面积等等于样本本方差：样本周期图图也是关关于原点点对称的的，因此此也有：更为重要的的是，谱谱表示定定理在样样本情形形也有类类似的表表示。我我们将要要说明，对对于平稳稳过程的的任意一一个容量量为的观观测值序序列，存存在频率率和系数数，使得期的的值可以以表示成成为：其中：当时，与不不相关；当时，与不不相关；对于所有的的和，与不相关关。的样本方差差是，该该方差中中可以归归因于频频率为的的周期成成分的部部分由样样本

11、周期期图给出出。我们对样本本容量是是奇数的的情形展展开讨论论上述谱谱表示模模式。这这时可以以表示成成为由个个不同频频率构成成的周期期函数，频频率如下下：，因此最高频频率为：我们考虑基基于常数数项、正正弦函数数和余弦弦函数的的线性回回归：将这个回归归方程表表示成为为下述方方式：其中：，这这是一个个具有个个解释变变量的回回归方程程，因此此解释变变量与观观测值是是一样多多的。我我们将证证明解释释变量之之间是线线性无关关的，这这意味着着基于回归归的OLLS估计计具有惟惟一解。该该回归方方程的 系数具具有显著著的统计计意义：表示中可以归归因于频频率的周周期成分分的那部部分。这这就是说说，任意意观测到到的

12、序列列，它都都可以利利用上述述周期函函数形式式表示，并并且不同同频率的的周期成成分对方方差的贡贡献都可可以在样样本周期期图中找找到。命题6.22 假假设样本本容量是是奇数，定定义，并并设定，假设设解释变变量为：则有：进一步，假假设是任任意个实实数，则则下述推推断成立立：(a) 过过程可以以表示为为：这里：，(b) 的的样本方方差可以以表示为为：样本方差可可以归因因于频率率为的周周期成分分的部分分为。(c) 的的样本方方差中可可以归因因于频率率为的周周期成分分的部分分还可以以表示为为：其中是样本本周期图图在频率率处的值值。上述结果说说明，是是对角矩矩阵，这这意味着着包含在在向量中中的向量量之间是

13、是相互正正交的。这这个命题题断言：任何奇奇数个观观测到的的时间序序列可以以表示成成为一个个常数加加上具有有个不同同频率的的个周期期成分的的加权和。当是偶数数整数的的时候，类类似的结结果也是是成立的的。因此此，这个个命题给给出了类类似谱表表示定理理的有限限样本的的类似情情况。这这个命题题进一步步表明了了样本周周期图的的特征是是将的方方差按部部分分解解为不同同频率的的周期成成分的贡贡献。注意到解释释的方差差的频率率都落在在区间中中。为什什么不使使用负的的频率？假设数数据确实实是由上上述过程程的一种种特殊情情形生成成的：这里代表某某个特殊殊的负频频率，和和是零均均值的随随机变量量，利用用三角函函数的

14、奇奇偶性，可可以将表表示为：因此，利用用上述式式子无法法从数据据中识别别数据是是从正发发频率还还是负的的频率生生成的。这这时一种种简单的的方式是是假设数数据是从从具有正正的频率率中生成成的。为什么只考考虑作为为最大的的频率呢呢？假设设数据真真的是从从频率的的周期函函数中生生成的，例例如：这时正弦和和余弦函函数的周周期性质质表明，上上式可以以表示成成为：因此，根据据以前的的讨论，具具有频率率的周期期在观测测值上等等价于具具有频率率的周期期。注意到频率率和周期期之间的的关系，频频率对应的周周期为。由由于我们们考虑的的最高频频率为，因因此我们们所观测测到的能能够自己己重复的的最短阶阶段是。如如果，则

15、则周期是是每阶段段重复自自己。但但是，如如果数据据是整数数阶段观观测的，因因此数据据可以观观测的时时间间隔隔仍然是是每4个个阶段观观测到，这这对应着着周期频频率是。例例如，函函数和函函数在整整数的时时间间隔隔上，它它们的观观测值是是一致的的。命题6.22也为计计算在频频率()上的的样本周周期图的的数值提提供了方方法。定定义：这里：，因此可以得得到：6.3估估计总本本谱 Esttimaatinng tthe Poppulaatioon SSpecctruum上面我们介介绍了母母体谱的的意义和和性质，下下面我们们面对的的问题是是：获得得了观测测样本以以后，如如何估计计母体谱谱函数？样本周期图图的大

16、样样本性质质一个显然的的方法是是利用样样本周期期图去估估计母体体谱函数数。但是是，这种种方法具具有显著著的限制制。假设设对于无无限移动动平均过过程而言言：这里系数是是绝对可可加的，是具有均值和方差的独立同分布序列，假设是如上定义的母体谱函数，且对所有的，都有。假设是如上定义的样本谱函数，Fuller (1976) 证明了，对和充分大的样本容量，样本周期图与母体谱函数之比的二倍具有下述渐近分布：进一步，如如果，也也有：并且上述两两个渐近近分布的的随机变变量是相相互独立立的。注意到的均均值等于于自由度度，因此此有：因为是母体体数量，不不是一个个随机变变量，因因此上式式也可以以表示成成为：因此，对充充分大的的样本容容量，样样本周期期函数为为母体谱谱提供了了一个渐渐近无偏偏估计。母体谱的参参数化估估计假设我们认认为数据据可以由由模型表表示：这里是具有有方差的的白噪声声。这时时一个估估计母体体谱的出出色方法法是先利利用前面面介绍的的极大似似然估计计估计参参数，具有绝绝对可加加自协方方差的协协方差平平稳过程程，我们们已经定定义在频频率处的