抽象函数问题的求解策略探究

1、PAGE PAGE 7抽象函数问题的求解策略探究湖南省 黄爱民 赵长春函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。一、具体模模型策略略例1已知知函数ff(x)对一切切

2、实数xx、y满满足f(0)0，ff(x+y)=f(xx)(yy),且且当x0时，ff(x)1,则当xx0时时f(xx)的取取值范围围是。解析：令ff(x)=axx(0a11)易得得0ff（x）1。评析：借助助特殊函函数直接接解抽象象函数客客观题是是常用的的解题处处理方法法，可以以迅速得得到正确确答案。二、类比联联想策略略例2已知知f(xx)是定定义在实实数集上的函函数，且且f(xx2)1f(xx)=1ff(x)，f(2)=1,则ff(20006)=（ ）分析：由条条件知，ff(x+2)= （*），又又f(1)2 ，逐步步推出ff(20006)，显然然比较繁繁锁，若若将（*）式与与进行类类比，则

3、则结构形形式类似似，而yy=tanx的的周期为为=4.于是便便产生一一个念头头：f(x)也也有可能能是周期期函数，周周期为44288.于是猜想成成立。f(20006)ff(825006)ff(6)ff(228)从而应应选B。评析：由于于抽象函函数的结结论对任任何满足足条件的的具体函函数都成成立，因因而可以以通过考考察一些些具体函函数，巧巧妙类比比联想，以以找到解解题的突突破口，最最后利用用具体函函数的一一些性质质探索出抽抽象函数数的解题题思路。三、运用函函数性质质策略例3定义义在上的的单调函函数满足足，且对对任意的的、都有（1）求证证：为奇奇函数（22）若对对任意恒恒成立，求求实数的的取值范范

4、围。解：令,代代入 得: 令代入入上式得得：，又即 对任任意成立立，是奇函数数(2),又又在R上单单调且， 故是上的增增函数，又又由（11）知为奇函函数恒成立，只只需评析：函数数的特征征是通过过其性质质（如奇奇偶性、单单调性、周周期性、特殊点点等）反反应出来来的，抽抽象函数数也是如如此只只有充分分挖掘和和利用题题设条件件和隐含含的性质质，灵活活进行等等价转化化，抽象象函数问问题才能能峰回路路转，化化难为易易，常用用的解题题考法有有：利用奇奇偶性整整体思考考；利用单单调性等等价转化化；利用周周期性回回归已知知，利用对对称性数数形结合合；借助特特殊点，列列方程（组组）等四、赋值换换元策略 例4是是

5、否存在在函数同同时满足足下列三三个条件件：（1）；（22）；（3）？若若存在，求求的表达达式；若若不存在在，请说说明理由由。分析：条件件(1)中、的任意意性，隐隐含着、既可“换元”，又可可“赋值”，结合合条件(2)和和(3)，可望望构造出出函数方方程组，从从而求得得函数表表达式。令，得令， 得得令， 得将 = 1 * GB3 + = 2 * GB3 - = 3 * GB3 得，故存在在符合题题意。评析：对于于用常规规解法难难以解决决的数学学问题，若若利用一一些特殊殊的数学学思想方方法求解解，有时时会收到到事半功功倍的效效果。方方程观点点是处理理数学问问题的一一个基本本观点，挖挖掘隐含含条件，合

6、合理赋值值，构造造方程（组组），化化函数问问题为方方程问题题，可使使这类抽抽象函数数问题迅迅速获解解。如(1)在在求函数数解析式式或研究究函数性性质时，一一般用“代换”的方法，将将x 换换成-xx或将xx 换成成等； (2)在求函函数值时时，可用用特殊值值（如00或1或或一1)代人人”； (3)研研究抽象象函数的的具体模模型，用用具体模模型解选选择题、填填空题，或或由具体体模型函函数对综合合题的解解答提供供思路和和考法，或或反证、逆逆推诸法法共用五、分类讨讨论策略略 例55设f（xx）是定定义在（-，+）上的的增函数数，问是是否存在在实数kk，使不不等式ff（k+sinn2x）f（k-4）（s

7、inx+cosx）对任意xR恒成立？并说明理由。 分析：令令sinnx+ccosxx =tt，则ssin22x = t22-1 ，原不不等式对对一切xxR恒成成立，等等价于不不等式（t）= t22 -（kk-4）tt+（kk-1）0对任意t恒成立，下列分三种情况讨论： （1）当0时时，（t）0，对对t恒成立立，由=-4（kk-1）=（k-2）（kk-100）00得2k110；（2）当=0时时，k=2或kk=100，此时时抛物线线t2 -（kk-4）tt+（kk-1）的的顶点横横坐标tt= -11或t=3，（t）0对任任意t恒成立立；（t）= t22 -（kk-4）tt+（kk-1）0 （3）当

8、当0时时，（t）0对任任意t恒成立立的充要要条件是是： 综上上所述得得k的取值值范围是是.评析：对于于参数的的抽象函函数问题题，通过过挖掘隐隐含条件件，寻求求分类标标准，逐逐类讨论论，分而而治之是是解题的的常用方方法.六、整体求求解策略略例6、已知知f(xx)，gg(x)为奇函函数,FF(x)=aff(x)+bgg(x)+3（aa，b为为常数）若若F(44)=4,则则F(4)=_ 。解:设(x)=af(x)+bg(x),则(x)=F(x)3，由由题设可可知(x)为奇函函数，(44)=(4)即F(44)33=F(44)33，故故F(4)=10评析：运用用整体思思想求解解，即先先化整体体为局部部，

9、再由由各局部部的解决决使问题题获解。七、正难则则反策略略例7已知知f(xx)在实实集上上是增函函数，aa，b都都是实数数，若ff(a)+f(b)f(a)+f(b),求证：a+bb0。分析：本题题若用直直接证法法显然无无从下手手，但考考虑用反反证法则则问题可可以很快快解决。证明：假设设a+bb0，则ab,ba,因为f(x)是上的增函数，故f(a)f(b),f(b)f(a)，两式相加：f(a)+f(b)f(a)+f(b),这与条件f(a)+f(b)f(a)+f(b)矛盾，故假设不成立，于是a+b0。八、数形转转化策略略例8已知知f(xx)是上的奇奇函数，在在区间（，）上是是增函数数，又ff(33)，那么么xf(xx)00的解集集是（ ）、x|3x00或x3 、x|xx或x33 、x|x或x3 、xx|33x0或x3解：根据题题设条件件可画出出函数yy=f(x)的的示意草草图，如如上图f(3)=ff(33)=00, 而而xf(xx)00 x与ff(x)异号，由由图象知知3x00或0 x33，从而正确的的答案为为()评析：对于于抽象函函数，若若能依据据条件所所给出的的函数性性质，画画出相