中国地质大学武汉考试出题专用纸教务处制

1、2009( 上 ) 数理统计考试题(B 卷) 及参考解答一、填空题（每小题3 分，共 15分）1，设总体 X 服从正态分布 N (0,4) ，而 ( X1, X2X12X102, X15) 是来自 X 的样本，则 UX152 )2( X112服从的分布是 _ .解： F (10,5) 2， ?n 是总体未知参数的相合估计量的一个充分条件是_ .解： lim E( ?n ),lim Var( ?n ) 0 nn3，分布拟合检验方法有 _与 _ _.解：2 检验、柯尔莫哥洛夫检验4，方差分析的目的是_ .解： 推断各因素对试验结果影响是否显著5，多元线性回归模型 YX ?中， 的最小二乘估计 的协

2、方差矩阵Cov() = _ .?2(XX)1解： Cov( )=二、单项选择题（每小题3 分，共15 分）1，设总体 X N (1, 9) ， ( X1, X 2, , X 9) 是 X 的样本，则 _B_ .X11)；X1；（ A） N(0,（ B） N(0, 1)31（C） X1 N(0,1) ；（D） X1 N(0, 1)932，若总体 XN (,2) ，其中2 已知，当样本容量 n 保持不变时， 如果置信度 1减小，则的置信区间 _B_ .（ A）长度变大；（ B）长度变小；（ C）长度不变；（ D）前述都有可能 .3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是_B_ .A）拒绝和

3、接受原假设的理由都是充分的；B）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的；C）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；D）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设ST 为总离差平方和，Se 为误差平方和，SA 为效应平方和，则总有 _A_ .1（A） STSeSA ；（ B）SA22(r 1) ；（ C） SA /(r1)F (r1, nr ) ；（ D） SA 与 Se 相互独立 .Se /(nr )5，在多元线性回归分析中，设?Y? 是 的最小二乘估计，X 是残差向量，则 _B_ .（ A）?0n ；（ B） Cov(?2 I

4、n X ( X X )1X ；) =（ C）? ?是2 的无偏估计；（ D）（ A）、（ B）、（ C）都对 .pn1三、（本题 10分）设总体 XN (1 ,2) 、YN( 2,2) ，(X1,X2, X n1 ) 和 (Y1, Y2 , Yn2) 分别是来自 X 和 Y 的样本， 且两个样本相互独立，X、Y 和 SX2、SY2分别是它们的样本均值和样本方差，证明( XY )( 12 )t( n1n22)，S11n1n2其中 S2(n1 1)SX2(n2 1)SY2 .n1n22证明： 易知22(X Y)( 12 )XYN ( 12,) ，UN (0,1)n211n1n1n2由定理可知(n1

5、 1) SX22(n11) ，(n21)SY22( n21) 22由独立性和2分布的可加性可得(n1 1)SX2(n2 1)SY22(n1n22) V22由 U 与 V 得独立性和 t 分布的定义可得(X Y)(12 )U11t (n1 n2 2)SV /(n1 n2 2)n1n221 ,0 x,2四、（本题 10 分）设总体 X 的概率密度为1,x1, 其中参数（01)f ( x; )2(1)0,其他，未知， ( X1， X 2， ， Xn ) 是来自总体的一个样本，X 是样本均值， （ 1）求参数的矩估计量? ；（ 2）证明 4X 2 不是2 的无偏估计量解：（ 1）E(X )xf (x,

6、 ) dxxdx102令 XE( X ) ，代入上式得到的矩估计量为 ?2 X122）x1，dx42(1 )2E(4X2) 4EX 24DX (EX )2 41DX(11) 24DX1，n42n4因为 D(X)0，0 ，所以 E(4 X 2)2故4X 2不是2的无偏估计量五、（本题 10分） 设总体 X 服从 0, (0) 上的均匀分布， ( X1 ,X 2 ,Xn ) 是来自总体 X 的一个样本，试求参数的极大似然估计解： X 的密度函数为f ( x,)1 ,0 x;0,其他 ,似然函数为L( )1n,0 xi, i1,2,n,0,其它显然时， L( ) 是单调减函数， 而maxx1,x2

7、, xn，所以?max X1 ,X 2 , , X n 是 的0极大似然估计六、（本题 10分）设总体 X 服从 B(1, p) 分布， ( X1 ,X 2,X n ) 为总体的样本，证明X 是参数 p 的一个 UMVUE证明： X 的分布律为f ( x; p)p x(1p)1 x , x0,1容易验证f ( x; p) 满足正则条件，于是321I ( p)Eln f ( x; p)p(1p)p另一方面Var( X )1 Var( X )p(1p)1，nnnI ( p)即 X 得方差达到 C-R 下界的无偏估计量，故X 是 p 的一个 UMVUE七、（本题 10分）某异常区的磁场强度服从正态分

8、布N( 0,2 ) ，由以前的观测可知0 56 现有一台新仪器 , 用它对该区进行磁测, 抽测了16 个点 , 得 x61, s2400,问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异( =0.05) 附表如下：t分布表 2 分布表n =0.1 =0.05=0.025n =0.1 =0.05 =0.025141.34501.76132.14481421.06423.68526.119151.34061.75312.13151522.30724.99627.488161.33681.74592.11991623.34224.29628.845解：设 H0：056 构造检验统计量tX0 t(15)，

9、sn确定拒绝域的形式t t由0.05 ，定出临界值 t / 2t0.025 2.1315 ，从而求出拒绝域 t 2.1315 2而 n 16, x60 ，从而x060560.82.1315，接受假设 H 0 ，即认为此仪器测| t |2016sn出的结果与以往相比无明显的差异八、（本题 10分）已知两个总体 X 与 Y 独立， X (1,12)，Y (2, 22) ，1, 2, 12 , 22 未知，2( X1, X 2 , , X n )和 (Y1, Y2 , ,Yn ) 分别是来自 X 和 Y 的样本，求1的置信度为 1的置信区间 .1222解： 设 S12 , S22 分别表示总体 X， Y的样本方差，由抽样分布定理知P F /2 ( n11, n21)FF1/2 (n11, n21) 1，则22222S1/ S21S1/