线性代数必记的结论

1、 、向量组的线性相关、无关Ax=0有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出Ax=b是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示AX=B是否有解；（矩阵方程）矩阵A与B行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax=0和Bx=0同解；（P例14）mxnlxn101r（ATA）=r（A）；（P例15）101n维向量线性相关的几何意义：、a线性相关a=0；、,卩线性相关,卩坐标成比例或共线(平行)；、,卩,y线性相关,卩,y共面；线性相关与无关的两套定理：若,线性相关，则,必线性相关；12s12ss1若,线性无关，则,必线性无关；(向量的个数加加减减，二者为对偶)12s12s-1若r维向量组

2、A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；(向量组的维数加加减减)简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；向量组A(个数为尸)能由向量组B(个数为s)线性表示，且A线性无关，则rs(二版P定理747)；向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；(P定理3)86向量组A能由向量组B线性表示,AX=B有解；,r(A)=r(A,B)(P定理2)85向量组A能由向量组B等价，尸(A)=r(B)=r(A,B)(P定理2推论)85方阵A可逆,存在有限个初等矩阵P,P,p，使A=ppp；12l12l、矩阵行等价：AB,PA=B(

3、左乘，P可逆),Ax=0与Bx=0同解、矩阵列等价：AB,AQ=B(右乘，Q可逆)；、矩阵等价：AB,PAQ=B(P、Q可逆)；对于矩阵A与B：mxnlxn、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；、若A与B行等价，则Ax=0与Bx=0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；若AB=C，贝I：mxssxnmxn、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，At为系数矩阵；(转置)齐次方程组Bx=0的解一定是ABx=0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、ABx=0只有零

4、解Bx=0只有零解；、Bx=0有非零解nABx=0一定存在非零解；设向量组B:b,b，,b可由向量组A:a,a，,a线性表示为：(P题19结论)nxr12rnxs12s110(b,b，,b)=(a,a，,a)K(B=AK)12r12s其中K为sxr，且A线性无关，则B组线性无关,r(K)=r；(B与K的列向量组具有相同线性相关性)(必要性：r=r(B)=r(AK)r(K),r(K)r,r(K)=r;充分性：反证法)注：当r=s时，K为方阵，可当作定理使用；、对矩阵A，存在Q，AQ=E,r(A)=m、Q的列向量线性无关；(P)TOC o 1-5 h zmxnnxmm87、对矩阵A，存在P，PA=

5、E,r(A)=n、P的行向量线性无关；mxnnxmn,线性相关12s,存在一组不全为0的数k,k，,k，使得kkk=0成立；(定义)12s1122ss(x)1x2=0(x)1x2=0有非零解，即Ax=0有非零解；r(,)s，12s系数矩阵的秩小于未知数的个数；设mn的矩阵A设mn的矩阵A的秩为r，则n兀齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为：r(S)=n-r；若耳*为Ax=b的一个解，,为Ax=0的一个基础解系，则耳*,线性无关；(P11112n-r12n-r111题33结论)5、相似矩阵和二次型正交矩阵AtA=E或A，1=At(定义)，性质：、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTa=?i

6、j0、若A为正交矩阵，则A-1=At也为正交阵，且A|=1；、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；施密特正交化：(a,a,a)12rb=a；11i=j.(i,j=1,2,n)；i丰jb=a22Cbb1,b11b,ab,ab,ab=a一1Lb一2rLberLb;rrb,b1b,b2b,br一11122r-1r-13.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；3.对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；、A与B等价A经过初等变换得到B；PAQ=B，P、Q可逆；r(A)=r(B)，A、B同型；、A与B合同CtAC=B，其中可逆；xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数；、A与B相似P，1AP=B；相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则CtAC=BAB，(合同、相似的约束条件不同，相似的更严格);A为对