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文档简介
1、 、向量组的线性相关、无关Ax=0有、无非零解;(齐次线性方程组)、向量的线性表出Ax=b是否有解;(线性方程组)、向量组的相互线性表示AX=B是否有解;(矩阵方程)矩阵A与B行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组Ax=0和Bx=0同解;(P例14)mxnlxn101r(ATA)=r(A);(P例15)101n维向量线性相关的几何意义:、a线性相关a=0;、,卩线性相关,卩坐标成比例或共线(平行);、,卩,y线性相关,卩,y共面;线性相关与无关的两套定理:若,线性相关,则,必线性相关;12s12ss1若,线性无关,则,必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)12s12s-1若r维向量组
2、A的每个向量上添上nr个分量,构成n维向量组B:若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减)简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;向量组A(个数为尸)能由向量组B(个数为s)线性表示,且A线性无关,则rs(二版P定理747);向量组A能由向量组B线性表示,则r(A)r(B);(P定理3)86向量组A能由向量组B线性表示,AX=B有解;,r(A)=r(A,B)(P定理2)85向量组A能由向量组B等价,尸(A)=r(B)=r(A,B)(P定理2推论)85方阵A可逆,存在有限个初等矩阵P,P,p,使A=ppp;12l12l、矩阵行等价:AB,PA=B(
3、左乘,P可逆),Ax=0与Bx=0同解、矩阵列等价:AB,AQ=B(右乘,Q可逆);、矩阵等价:AB,PAQ=B(P、Q可逆);对于矩阵A与B:mxnlxn、若A与B行等价,则A与B的行秩相等;、若A与B行等价,则Ax=0与Bx=0同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;、矩阵A的行秩等于列秩;若AB=C,贝I:mxssxnmxn、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵;、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,At为系数矩阵;(转置)齐次方程组Bx=0的解一定是ABx=0的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;、ABx=0只有零
4、解Bx=0只有零解;、Bx=0有非零解nABx=0一定存在非零解;设向量组B:b,b,,b可由向量组A:a,a,,a线性表示为:(P题19结论)nxr12rnxs12s110(b,b,,b)=(a,a,,a)K(B=AK)12r12s其中K为sxr,且A线性无关,则B组线性无关,r(K)=r;(B与K的列向量组具有相同线性相关性)(必要性:r=r(B)=r(AK)r(K),r(K)r,r(K)=r;充分性:反证法)注:当r=s时,K为方阵,可当作定理使用;、对矩阵A,存在Q,AQ=E,r(A)=m、Q的列向量线性无关;(P)TOC o 1-5 h zmxnnxmm87、对矩阵A,存在P,PA=
5、E,r(A)=n、P的行向量线性无关;mxnnxmn,线性相关12s,存在一组不全为0的数k,k,,k,使得kkk=0成立;(定义)12s1122ss(x)1x2=0(x)1x2=0有非零解,即Ax=0有非零解;r(,)s,12s系数矩阵的秩小于未知数的个数;设mn的矩阵A设mn的矩阵A的秩为r,则n兀齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为:r(S)=n-r;若耳*为Ax=b的一个解,,为Ax=0的一个基础解系,则耳*,线性无关;(P11112n-r12n-r111题33结论)5、相似矩阵和二次型正交矩阵AtA=E或A,1=At(定义),性质:、A的列向量都是单位向量,且两两正交,即aTa=?i
6、j0、若A为正交矩阵,则A-1=At也为正交阵,且A|=1;、若A、B正交阵,则AB也是正交阵;注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;施密特正交化:(a,a,a)12rb=a;11i=j.(i,j=1,2,n);i丰jb=a22Cbb1,b11b,ab,ab,ab=a一1Lb一2rLberLb;rrb,b1b,b2b,br一11122r-1r-13.对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;3.对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;、A与B等价A经过初等变换得到B;PAQ=B,P、Q可逆;r(A)=r(B),A、B同型;、A与B合同CtAC=B,其中可逆;xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数;、A与B相似P,1AP=B;相似一定合同、合同未必相似;若C为正交矩阵,则CtAC=BAB,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格);A为对
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