线性代数习题答案

1、习题三略见教材习题参考答案.略见教材习题参考答案.略见教材习题参考答案.略见教材习题参考答案.5氏=8+50、=色+乞屁=（x3+a4,fl4=q+e，证明向量组01，02,民，04线性相关.【证明】因为A+良+03+04=2（+a,+a3+a4）A+A+A+A=2（A+A）=A-“2+民-几=0所以向量组几,良，久民线性相关.设向量组8,並,8线性无关，证明向量组A，伙,，妨也线性无关，这里仅=0+%+y【证明】设向最组A，良线性相关，则存在不全为零的数也,使得AA+5+3把屁=y+冬+代入上式，得+k2+匕）+（&+/+匕）冬+kq.=0又已知垢,码,，毎线性无关,故代+心+.=0,k1+

2、kr=0,Vk=0.厂该方程组只有惟一零解k严k=k=0,这与题设矛盾，故向量组伙,0,0线性无关.略见教材习题参考答案.%=（匕,匕2,，0”），心1,2,证明：如果闯工0,那么“,“线性无关.【证明】已知a=%j工0,故他4尸儿而A是由11个11维向量e=（匕,匕2,e）,心12/组成的，所以js心线性无关.设人”丄，是互不相同的数证明：y=（1/,昇：円）=1,2,“是线性无关的【证明】任取旧个数f“厶使6也互不相同，于是阶范德蒙行列式H-1H-1L/11r-H丰L/11r-H丰0,n-1从而其个行向屋线性无关，由此知其部分行向屋0,冬,也线性无关.io.设q,8,，篁的秩为厂且其中每个

3、向量都可经心，企,，毎线性表出证明:劣,冬,a,为心,磅，,宓的一个极人线性无关组.【证明】若q（1）线性相关，且不妨设8化、q（心）（2）是（1丿的一个极人无关组，则显然（2）是心,*的一个极人无关组，这与%,耳的秩为厂矛盾，故心必线性无关且为的一个极大无关组.【解】把S%按列排成矩阵4求向鼠组“=（1丄1旳，8=（口*,1丿,么3=0,2丄【解】把S%按列排成矩阵411r111-111_11r1120010010k-0A=1ki0k-10T0k-l0T001k1i01-k-k_001-k000并对其施行初等变换.如迈心的秩为2。心为其一极人无关组.当RH1时，%硯心线性无关，秩为3,极人无

4、关组为其本身.确定向量戸3=（2、a、b）,使向鼠组伤=（1丄0）偲=（1丄1）,03与向量组劣=（0丄1）,冬=（1,2）,=（1,0厂1）的秩相同，且伙可由劣，q线性表出.11120_20-0-1-1;1-10000/=（第，冬,）=11【解】由于21rib0【解】由于21rib0121b0a_2iftj尸2,要使尸/?3尸2,需f/-2=0,即。=2,又0112120ac=（aaa，03）=120aT0112,11-1b000b-a+2耍使03可由S%线性表出，需亠卅2=0,故g=2,0时满足题设要求，即03=(220)13设劣,，毎为一组n维向最证明：劣，冬，,毎线性无关的充要条件是任

5、一n维向量都可经它们线性表出.【证明】充分性：设任意维向量都可由笑，,码线性表示，则单位向量引励，务,当然可由它线性表示，从而这两组向龟等价，且有相同的秩，所以向量组qq,的秩为小因此线性无关.必要性：设垢心，毎线性无关，任取一个维向量0,则“，冬，“线性相关，所以a能由心，心线性表示.14.若向彊组(1,0,0),(1,b0),(1,1,1)可由向量组SS心线性表出，也可由向量组0I#2#3#4线性表出9则向量组11皿2禺3与向量组】#2#3#4等价.证明：由已知条件，R=3,且向彊组（1,0,0）,（1,1,0）,（b1,1证明：由已知条件，R可由向量组可由向量组3线性表出,即两向鼠组等价

6、，且又，向量组(1,0,0),(b1,0),(1,1,1)可由向量组小线性表出，即两向量组等价，且所以向量组S心M3与向量组05#3Q等价.15略见教材习题参考答案.16设向量组如如,与04O秩相同且如压，竝能经久足，灿线性表出.证明劣,%与0,化,，仇等价.【解】设向龟组TOC o 1-5 h zs,%（1）与向量组卩、卩空4的极人线性无关组分别为%化,q（3）和0、0空（丿由J：（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即ra=SaijPj(心h2,)因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|夠|H0,可由（水）解出0C/=h2,j

7、）,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1）,（2）等价，所以（1）和（2）等价.17设/为加X”矩阵，B为sXn矩阵证明：max7?3),R(B)RR(A)+R(B)max7?3),R(B)RR(A)+R(B)【证明】因/的列数相同，故【证明】因/的列数相同，故A/的行向鼠有相同的维数，矩阵可视为由矩阵/扩充行向量而成,故充行向量而成,故Z中任一行向鼠均可由中的行向量线性表示,同理R(B)RR(B)R故有又设RA尸几%是A的行向量组的极人线性无关组虫(B)我0”八，,际是B的行向杲组的极人线性无关组设少是B的行向杲组的极人线性无关组设少是中的任一行向量,则若0属于/的行

8、向量组,则a可由表示，若a属于b的行向量组，则它可由0jj“、0jk线性表示,中任一行向量均可由心八卩邛皆、0氷线性表示，故r+k=R(A)+R(B),r+k=R(A)+R(B),所以有niax/?(24),niax/?(24),R(B)R0-1-2-1-3T0-1-2-1一3113260001200012024140241400000:Sj是一组基，其维数是3维的.25设第=(1丄0,0)心=(1,0丄1)0=(良=(04,-1,-1)，证明:厶(垢率)=厶(A“2)【解】因为矩阵/=(如8,久0J11201120_10-110-1-31013-10000013-10000由此知向鼠组0,8

9、与向鼠组A，良的秩都是2,并且向最组0、良可由向鼠组e、5线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而0,笑也可由屈，良线性表出.所以厶(垢心)=厶(久02)26.在R中求一个向量卩，使它在卜面两个基(1)0；=(1,0,1),o,=(-1,0,0)a3=(0,1,1)”=(0,-1,1),良=(1,-1,0)03=(1,0,1)下有相同的坐标.【解】设7在两组基下的坐标均为(西,“3)，即/=(aHa2,a3)1-10_0011011-10_0011011-101-21100求该齐次线性方程组得通解伙为任意实数)伙为任意实数)/=兀気+X3F3=(k、2k,-3k27.验证%=(1厂1,0)心=(2丄3)心=(3丄2)为R的一个基,并把届=(5,0,7),p.=（-9,-&-13）用这个基线性表示.【解】设又设0、=心+x21a2+x31a3,p.=xna+xna.+x32a3,(AA)=(I23)兀22“2记作则1235-9-1235-9-111