《平面向量的运算》平面向量及其应用课件(第3课时向量的数乘运算)

1、6.2平面向量的运算6.2.3向量的数乘运算6.2平面向量的运算1.向量的数乘运算定义：一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a.规定：(1)|a|=|a|.1.向量的数乘运算(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a【思考】向量数乘运算的结果是什么？提示：数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有方向.【思考】2.向量数乘的运算律设，为实数，则(1)(a)=a；(2)(+)a=a+a；(3)(a+b)=a+b.特别地，我们有(-)a=-(a)=(-a)，(a-b)=a-b.2.向量数乘的运算律【思考】这里的条件“，为实数

2、”能省略吗？为什么？提示：不能，数乘向量中的，都是实数，只有，都是实数时，运算律才成立.【思考】3.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.4.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使b=a.3.向量的线性运算【思考】(1)共线向量定理中的“a0”是否多余，能去掉吗？提示：不能，定理中之所以限定a0是由于若a=b=0，存在，但不唯一，若a=0，b0，则不存在.【思考】(2)反之，“若存在一个实数，使b=a(a0)，则a与b共线”成立吗？提示：成立.(2)反之，“若存在一个实数，使b=a(a0)，则a与【素养小测】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”

3、)(1)-3a的方向与6a的方向相反，且-3a的模是6a的模的 (a0).()(2)a与-a的方向相反.()【素养小测】(3)若a，b共线，则存在唯一的实数，使a=b.()(3)若a，b共线，则存在唯一的实数，使a=b.提示：(1).因为-30，所以-3a与a方向相反且|-3a|=3|a|.所以6a与a方向相同且|6a|=6|a|，所以-3a与6a方向相反且模是6a的模的 .(2).当0时，a与-a的方向相同.(3).若b=0时不成立.提示：(1).因为-30，所以-3a与a方向相反且|-32.下列计算正确的个数是()(-3)2a=-6a；2(a+b)-(2b-a)=3a；(a+2b)-(2b

4、+a)=0. A.0B.1C.2D.32.下列计算正确的个数是()【解析】选C.因为(-3)2a=-6a，故正确；中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故正确；中，左=a+2b-2b-a=00，故错误.【解析】选C.因为(-3)2a=-6a，故正确；类型一向量的线性运算【典例】1.(2019临沂高一检测)化简 (2a+8b)-(4a-2b)的结果是() A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b类型一向量的线性运算2.已知向量a，b，x，且(x-a)-(b-x)=x-(a+b)，则x=_.2.已知向量a，b，x，且(x-a)-(b-x)=x-(a+【思维引】1.类比实数运算中合并同类项的方

5、法化简.2.利用解方程的方法求解.【思维引】1.类比实数运算中合并同类项的方法化简.【解析】1.选B.原式= (a+4b-4a+2b)= (6b-3a)=2b-a.2.因为(x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，即x=0.答案：0【解析】1.选B.原式= (a+4b-4a+2b)= 【内化悟】1.向量的线性运算的主要方法是什么？提示：去括号，合并“同类项”.【内化悟】2.解含有向量的方程时，可以把向量当成普通未知量求解吗？提示：可以.2.解含有向量的方程时，可以把向量当成普通未知量求解吗？【类题通】向量线性运算的方法(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主

6、要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数.【类题通】(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解【习练破】已知a=4d，b=5d，c=-3d，则2a-3b+c等于()A.10dB.-10dC.20dD.-20d【解析】选B.2a-3b+c=8d-15d-3d=-10d.【习练破】【加练固】已知向量a，b，且5x+2y=a，3x-y=b，求x，y.【加练固】【解析】将3x-y=b两边同乘2，得6x-2

7、y=2b.与5x+2y=a相加，得11x=a+2b，即x= a+ b.所以y=3x-b=3 = a- b.【解析】将3x-y=b两边同乘2，类型二用已知向量表示相关向量【典例】1.(2019长沙高一检测)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD= AB，BE= BC.若 =1 +2 (1，2为实数)，则1+2的值为_.类型二用已知向量表示相关向量平面向量的运算平面向量及其应用课件(第3课时向量的数乘运算)2.如图所示，已知ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且 =e1， =e2，试用e1，e2表示 2.如图所示，已知ABCD的边BC，CD上的中点分别为【思维引】1.先用向量 表示

8、向量 ，然后计算“系数”和.2.先把 视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出 【思维引】1.先用向量 表示向量 ，然后【解析】1.由已知 所以1=- ，2= ，从而1+2= .答案： 【解析】1.由已知 2.设 =x， =y，则 =e1= x-y， =e2=x- y，由 2.设 =x， =y，解得 即 = = 解得 【内化悟】分析切入问题时，对条件 应怎样理解？提示：看作是用向量 、 表示向量 的结果.【内化悟】【类题通】(1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律.(2)当直接表示较困难时，应考虑设出未知向量，表示

9、出已知向量，建立方程组，利用方程(组)求解.【类题通】【习练破】如图，ABCD是一个梯形，ABCD，且AB=2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知 =a， =b，试用a，b表示 【习练破】【解析】(方法一)连接CN，则ANDC，【解析】(方法一)连接CN，则ANDC，所以四边形ANCD是平行四边形. =-b，又因为 =0，所以 =b- a，所以 =-b+ a= a-b.所以四边形ANCD是平行四边形.(方法二)因为 =0，即：a+ +(- a)+(-b)=0，所以 =b- a，又因为在四边形ADMN中，有 =0，即：b+ a+ +(- a)=0，所以 = a-b.(方法二)因为 =0，【加

10、练固】如图所示，四边形OADB是平行四边形， =a， =b，又 试用a、b表示 【加练固】【解析】因为 =a-b，所以 (a-b)，所以 =b+ (a-b)=b+ a- b= a+ b.又由 = + =a+b，得【解析】因为 =a-b， = a+ b.所以 =( a+ b)-( a + b) = a- b. = a+ 类型三向量共线定理及应用角度1求参数问题【典例】(2019天水高一检测)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a=2e1-e2，与向量b=e1+e2(R)共线，则当且仅当的值为世纪金榜导学号() A.0B.-1C.-2D.- 类型三向量共线定理及应用【思维引】利用向量共线定理解答

11、.【思维引】利用向量共线定理解答.【解析】选D.因为向量a与b共线，所以存在唯一实数u，使b=ua成立.即e1+e2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以 解得=- .【解析】选D.因为向量a与b共线，所以存在唯一实数【素养探】本题主要考查向量共线条件的应用，突出考查了数学运算的核心素养.本例若把条件“向量b=e1+e2(R)”改为“向量b=2me1+ne2(m，nR)”其他条件不变，试求m+n的值.【素养探】【解析】因为向量a与b共线，所以存在唯一实数u，使b=ua成立.即2me1+ne2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以 所以m+n=0.【解析】因为向量a与b共线，所以存在

12、唯一实数u，使角度2三点共线问题【典例】设a，b是不共线的两个非零向量，若 =2a-b， =3a+b， =a-3b，求证：A，B，C三点共线.世纪金榜导学号角度2三点共线问题【思维引】利用向量共线定理解答.【思维引】利用向量共线定理解答.【证明】由题意，得 =(3a+b)-(2a-b)=a+2b， =(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2 ，所以 与 共线，且有公共端点B，所以A，B，C三点共线.【证明】由题意，得 =(3a+b)-(【类题通】关于向量共线定理的应用(1)向量共线定理：b与a(a0)共线与b=a是一个等价定理，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的

13、值.【类题通】(2)证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表示的向量共线，必须说明构造的两个向量有公共点，否则两向量所在的直线可能平行，解题时常常会因忽视对公共点的说明而丢分.(2)证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表【发散拓】关于A，B，C三点共线条件的变形式平面上三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使得 = + ，其中+=1，O为平面内任意一点.【发散拓】【延伸练】已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若 求x+y的值.【延伸练】【解析】设 则 则 所以x+y=1+-=1.【解析】设 则 则 【习练破】已知非零向量e1，e2不共线.(1)如果 =

14、e1+e2， =2e1+8e2， =3(e1-e2)，求证：A，B，D三点共线.(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线，试确定实数k的值.【习练破】【解析】(1)因为 =e1+e2， =2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5所以 ， 共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线.【解析】(1)因为 =e1+e2， (2)因为ke1+e2与e1+ke2共线，所以存在，使ke1+e2=(e1+ke2)，即(k-)e1=(k-1)e2，由于e1与e2不共线，只能有 所以k=1.(2)因为ke1+e2与e1+ke2共线，在没找到重新开始的理由前，别给自己太多退却的借口。就在那一瞬间，我仿

15、佛听见了全世界崩溃的声音。因为穷人很多，并且穷人没有钱，所以，他们才会在网络上聊天抱怨，消磨时间。别忘了答应自己要做的事情，别忘了答应自己要去的地方，无论有多难，有多远。分手后不可以做朋友，因为彼此伤害过；不可以做敌人，因为彼此深爱过，所以只好成了最熟悉的陌生人。努力吧，只有站在足够的高度才有资格被仰望。渐渐淡忘那些过去，不要把自己弄的那么压抑。往往原谅的人比道歉的人还需要勇气。因为爱，割舍爱，这种静默才是最深情的告白，但愿你能明白。某些时光已成过往，是我再也回不去的远方。不要把自己的伤口揭开给别人看，世界上多的不是医师，多的是撒盐的人。这世界，比你不幸的人远远多过比你幸运的人，路要一步步走，

16、虽然到达终点的那一步很激动人心，但大部分的脚步是平凡甚至枯燥的，但没有这些脚步，或者耐不住这些平凡枯燥，你终归是无法迎来最后的那些激动人心。一个人害怕的事，往往是他应该做的事。每个人都会有乐观的心态，每个人也会有悲观的现状，可事实往往我们只能看到乐观的一面，却又无视于悲观的真实。从来没有人喜欢过悲观，也没有人能够忍受悲观，这就是人生。好像是人开始成长就会缅怀过去，无论是幸福或是悲伤，苍白或是绚烂，都会咀嚼出新的滋味。要让事情改变，先改变我自己；要让事情变得更好，先让自己变得更好。当日子成为照片当照片成为回忆，我们成了背对背行走的路人，沿着不同的方向，固执的一步步远离，再也没有回去的路。想要别人

17、尊重你，首先就要学会尊重别人。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道。生命不在于活得长与短，而在于顿悟的早与晚。既不回头，何必不忘。既然无缘，何须誓言。感谢上天我所拥有的，感谢上天我所没有的。成功的道路千万条，成功的人生也有千万种，选对适合自己的那条路，走好自己的每段人生路，你一定会是下一个幸福宠儿。活在别人的掌声中，是禁不起考验的人。每一次轻易的放弃，都是人生的一处败笔。什么时候也不要放弃希望，越是险恶的环境越要燃起希望的意志。现实会告诉你，没有比记忆中更好的风景，所以最好的不要故地重游。有些记忆就算是忘不掉，也要假装记不起。理想很

18、丰满，现实很骨感。我落日般的忧伤就像惆怅的飞鸟，惆怅的飞鸟飞成我落日般的忧伤。舞台上要尽情表演，赛场上要尽力拼搏，工作中要任劳任怨，事业上要尽职尽责。今天的困苦为了明天的享乐，今天的抗争为了明天的收获！积德为产业，强胜于美宅良田。爱情永远比婚姻圣洁，婚姻永远比爱情实惠。爱有两种，一种是抓住，你紧张他也紧张；一种是轻松拖住，你舒服他也舒服。哲人无忧，智者常乐。并不是因为所爱的一切他都拥有了，而是所拥有的一切他都爱。原来爱情不是看见才相信，而是相信才看得见。磨难是化了妆的幸福。如果你明明知道这个故事的结局，你或者选择说出来，或者装作不知道，万不要欲言又止。有时候留给别人的伤害，选择沉默比选择坦白要

19、痛多了。我爱自己的内心，慢慢通过它，慢慢抵达世界，或者，抵达你。别跟我说，时间会让我忘记一切，时间不会改变痛，只会让我适应痛。人生不容许你任性，接受现实，好好努力。曾经以为爱情是甜蜜，幸福的，不知道它也会伤人，而且伤的很痛，很痛。人生，一分钟的成功，付出的代价却是好些年的失败。时间几乎会愈合所有事情，请给时间一点时间。蚁穴虽小，溃之千里。多少人要离开这个世间时，都会说出同一句话，这世界真是无奈与凄凉啊！骄傲是胜利下的蛋，孵出来的却是失败。太完美的爱情，我不相信，途中聚聚散散难舍难分，终有一天会雨过天晴。我分不清东南西北，却依然固执的喜欢乱走。若是得手，便是随手可丢；若是得不到，就会想占有。爱情

20、不是寻找共同点，而是学会尊重不同点。总有一天我会从你身边默默地走开，不带任何声响。我错过了狠多，我总是一个人难过,3、戏路如流水，从始至终，点滴不漏。一路百折千回，本性未变，终归大海。一步一戏，一转身一变脸，扑朔迷离。真心自然流露，举手投足都是风流戏。一旦天幕拉开，地上再无演员。 相信自己有福气，但不要刻意拥有；相信自己很坚强，但不要拒绝眼泪；相信世上有好人，但一定要防范坏人；相信金钱能带来幸福，但不要倾其一生；相信真诚，但不要指责所有虚伪；相信成功，但不要逃避失败；相信缘分，但不要盲目等待；相信爱情，但不要求全责备；相信上帝，但别忘了锁上门。 一个人总要走陌生的路，看陌生的风景，听陌生的歌。

21、最后你会发现，原本费尽心机想要忘记的事情真的就那么忘记了明明说着看开了，放下了，每次却总是不自觉的想起那个给与温暖的人；每每又总是在微笑沉醉时看到了现实，想到了伤痛，然后，冷的感觉再也暖和不起来了，如此反复，心，终于累了，现实就是这样。我曾经醉过，却又最终醒来，我正在行走，却找不到方向。 有些人，注定是等待别人的，有些人，注定是被人等的。一件事，再美好，你做不到，也要放弃；一个人，再留恋，不属于你，也要离开。每个人的生命都免不了缺憾，最真的幸福，莫过于一杯水、一块面包、一张床，还有一双无论风雨，都和你十指相扣的手。 有些伤痕，划在手上，愈合后就成了往事；有些伤痕，划在心上，哪怕划得很轻，也会留驻于心；有些人，近在咫尺，却是一生无缘的生命中，似乎总有一种承受不住的痛；有些遗憾，注定了要背负一辈子。生命中，总有一些精美的情感在我们身边跌碎，然而那些裂痕却留在了岁暮回首的刹那。 这世界并不是所有的东西都符合想象，有些时候，山是水的故事，云是风的故事；也有些时候，星不是夜的故事，情不是爱的故事，许多人走着走着就散了，许多事看着看着就淡了，许多梦做着做着就断了，许多泪流着流着就干了。人生，原本就是风尘中的沧海桑田，只是，回眸处，世态炎凉演绎成了苦辣酸甜。 正所谓“独乐乐不如众乐乐。”不错的！当玫瑰离开了原主人的手里，并实现了更有意义的价值。此刻，送人玫瑰这定是开心的，得玫瑰者亦如此。