《二次函数》名师教案

1、PAGE22二次函数（刘佳）一、教学目标（一）学习目标1能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的概念，掌握二次函数的表达形式2会写出实际问题的二次函数关系式，并确定它自变量的取值范围（二）学习重点理解二次函数的概念，掌握二次函数的表达形式（三）学习难点1能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系2重视二次函数ya2bc中a0这一隐含条件二、教学设计（一）课前设计1预习任务我们把形如y=a2bca,b,c是常数，a0的函数叫做的二次函数，其中a2为二次项，a为二次项系数；b为一次项，b为一次项系数；c为常数项2预习自测（1）下列函数中是二次函数的有（）（1）（2）（3）（4）A1个B2

2、个C3个D4个【知识点】二次函数的概念【解题过程】（1）是二次函数；（2）不是整式，故不是二次函数；（3）展开后易知是二次函数；（4）化简后二次项消掉了，不是二次函数【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】B（2）在圆的面积计算公式S=R2中，S与R之间的关系是是R的正比例函数是R的一次函数是R的二次函数D以上答案都不对【知识点】二次函数的概念【解题过程】由二次函数概念易知【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】C（3）某物体运动的路程s米与时间t秒的关系式为s=4t23t，则当t=5时，该物体所经过的路程为米米米米【知识点】二次函数表达式【解题

3、过程】将t=5代入易求出S=115【思路点拨】代数式求值【答案】A（4）某商场对原价为800元的某商品进行两次降价，若设平均每次降价的百分比为，降价后的价格为元，则与之间的函数关系为【知识点】二次函数表达式【解题过程】由题意平均每次降价百分比为，则【思路点拨】此题属增长率类应用问题【答案】D（二）课堂设计1知识回顾（1）一元二次方程的一般形式是：a2bc=0a,b,c是常数，a0（2）正比例函数的一般形式是：y=0,为常数（3）一次函数的一般形式是：y=b0,、b为常数2问题探究探究一二次函数的概念及其解析式活动通过实例，引入概念师问：请用适当的函数解析式表示下列问题情景中的两个变量y与之间的

4、关系：（1）面积ycm2与圆的半径cm；（2）菱形的两条对角线长的和为26cm，其中一条对角线长为cm，菱形面积为ycm2；（3）王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为，两年后王先生共得本息和y元学生抢答：（1）；（2）；（3）师问：上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征归纳：1二次函数的概念：把形如y=a2bca,b,c是常数，a0的函数叫做的二次函数，其中：a2为二次项，a为二次项系数；b为一次项，b为一次项系数；c为常数项2二次函数的解析式：二次函数的一般式：y=a2bca,b,c是常数，a0特殊式：1y=a2a0

5、,b=0,c=0,；2y=a2ca0,b=0,c0；3y=a2ba0,b0,c=0【设计意图】鼓励学生在实际问题中发现数学，并利用已经学过的知识自主类比归纳、发现数学概念，体会从特殊到一般以及分类的思想方法活动例题讲解，应用概念例1：下列函数中，哪些是二次函数y=2-1；2；3y=42-31；44；5y=a2bca,b,c是常数；6y=62-312-5；7y=-32-【知识点】二次函数的概念【解题过程】解:（1）是一次函数；（2）是二次函数；3是二次函数；4右边不是整式，不是二次函数；5缺条件a0，不是二次函数；6整理后为y=-3-5，不是二次函数；7是二次函数【思路点拨】解答这类问题的一般方

6、法是:先把各关系式整理,然后再根据二次函数的定义进行判断判断时要注意:1化简后二次项系数不等于0；（2）所表示的函数的关系式为整式【答案】（2）、（3）、（7）练习：下列函数中是二次函数的有（）（1）（2）（3）（4）A1个B2个C3个D4个【知识点】二次函数的概念【答案】B【解题过程】（1）是；（2）右边含分式，不是；（3）展开后为，是；（4）整理得y=2-5，不是，故选B【思路点拨】（1）要看化简后的结果（2）二次函数必须为整式【设计意图】概念是数学的基础，必须牢记，通过对二次函数的判断，让学生准确熟练掌握二次函数的基本概念以及表达式，同时学会注意数学概念需要满足的条件，为后续准确列出二次

7、函数表达式以及研究二次函数的性质打好基础例2：m取何值时，函数是二次函数【知识点】二次函数的表达式【解题过程】解:函数是二次函数，m2-m=2,解得m1=2,m2=-1但当m=-1时,m2-1=0；而m=2时,m2-10综上所述,m=2【思路点拨】解答这类问题,主要是根据二次函数的定义,二次函数的解析式中,自变量的最高次数是2,同时二次项系数不能为零列方程方程组或不等式求解【答案】m=2练习：已知是二次函数,则a=_【知识点】二次函数的表达式【思路点拨】由题意得a2-2a-1=2,解得a1=3,a2=-1;且a-30,即a3综上所述,a=-1【答案】a=-1【设计意图】在概念的学习中，要让学生

8、重视二次函数ya2bc中a0这一隐含条件探究二利用二次函数的表达式表示实际问题活动通过实例，探究归纳例1某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子现准备多种一些橙子树以提高产量（果园最多能种150棵橙子树）,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子1假设果园增种棵橙子树,那么果园共有橙子树_棵,这时平均每棵树结橙子_个2若果园橙子的总产量为y个,请你写出y与之间的关系式，并注明的取值范围【知识点】用二次函数表示实际问题并求自变量取值范围【解题过程】解：（1）100；600-5；（2）（050）【思路点拨】认真审

9、题，会用含未知量的式子表示其它的未知量自变量的取值范围要符合题意【答案】（1）100；600-5；（2）（050）想一想：确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是什么归纳：确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是：审清题意，找出实际问题中的已知量（常量）和未知量（变量），并分析它们之间的关系，将文字或图形语言转化为数学符号语言建立二次函数表达式，注意要将表达式化简为y=abca0的形式注意自变量的取值范围，在一般情况下，二次函数的自变量可以取任意实数，但在实际问题中，自变量的取值范围要使实际问题有意义练习：某种品牌的服装进价为每件150元,当售价为每件210元时,每天可卖出20件,现需降价处理

10、,且经市场调查发现:每件服装每降价2元,每天可多卖出1件在确保盈利的前提下,若设每件服装降价元,每天售出服装的利润为y元,则y与的函数关系式为=101200060=-101200060=101250060=10125060【知识点】用二次函数表示实际问题并求自变量取值范围【解题过程】解：由题意有:060，故选A【思路点拨】解答这类问题,根据问题的实际,先把其中包含的数量表示出来,再结合题目所给的基本数量关系如:路程=速度时间、总价=单价数量、面积公式、体积公式等,把相等关系表示出来,最后整理即可【答案】A【设计意图】构造二次函数来表示实际问题，让学生体会到二次函数与生活紧密相连，数学意用二次函

11、数模型解决实际问题时，自变量的取值范围要符合实际活动变式练习，学会应用例2如图所示，一个窗户的上面是半圆，下面是矩形，矩形的一边长1窗户透光的面积S（）关于上面半圆半径r（m）的函数关系式；求当上面半圆直径为1m时，窗户的面积（）【知识点】用二次函数表示实际问题，并代入求值【解题过程】解：当r=1时，【思路点拨】由窗户透光的面积等于半圆面积矩形面积求【答案】，练习：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为21,沿前侧内墙保留3m宽的空地,其他三侧内墙各保留1m宽的通道,请写出蔬菜种植面积与矩形温室的宽之间的函数关系式【知识点】用二次函数表示实际问题【解题过程】解:设蔬菜种植区域的面

12、积为ym2，矩形温室的宽为m,则矩形温室的长为2m根据题意得y=2-4-2，即y=22-88【思路点拨】解答这类问题,根据问题先把因变量用含自变量的数量关系表示出来,再整理即可【答案】y=22-88【设计意图】渗透函数思想，建立函数模型让学生感受到当遇到实际问题时，可以设未知数构造二次函数来解决问题3课堂总结【知识梳理】（1）二次函数的概念：把形如y=a2bca,b,c是常数，a0的函数叫做的二次函数（2）确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是：审清题意，分析已知量和未知量之间的关系，将文字或图形语言转化为数学符号语言；结合题中的基本数量关系，建立二次函数表达式；写出自变量的取值范围【重难点

13、突破】（1）学习二次函数的定义，注意：等号左边是变量y，右边是关于自变量的整式；a,b,c为常数，且a0；等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；的取值范围是任意实数（2）判断一个函数是否为二次函数，即要看这个函数的关系式化简后是否同时满足二次函数定义中的三个条件：所表示的函数的关系式为整式；函数的关系式有唯一自变量；关系式自变量的最高次数为2且二次项系数不等于0（3）当二次项系数是待定字母时，求出字母的值必须满足二次项系数不为0这一条件（三）课后作业基础型自主突破1下列函数中，是二次函数的有；个个个个【知识点】二次函数的概念【解题过程】符合二次函数定义，是；

14、不是整式，故不是；展开以后是二次函数；展开以后是二次函数【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】C的二次函数,则=-1或m=3-1且m=-1=3【知识点】二次函数的概念【解题过程】由得m=-1或m=3；又由得m-1且m0，故m=3【思路点拨】由二次函数的概念，根据自变量的最高次数为2，二次项的系数不能为0，列式求解【答案】D3已知中，直角边长的和为20，设AC=，则（）=-210=-220=220=220【知识点】二次函数的表达式【解题过程】【思路点拨】根据三角形面积公式列出函数式【答案】A=23-9的函数值是19，那么对应的的值是（）或-7或7【知识点】二次函数的表达

15、式，函数值的概念【解题过程】由题意有，解得【思路点拨】由函数值的概念，利用一元二次方程求解【答案】C5已知二次函数，当-2时，y-15，则这个二次函数解析式为【知识点】二次函数的表达式【解题过程】将-2，y-15代入得【思路点拨】代数式求值【答案】6如图，用长36米的竹篱笆围成一个一边靠墙（墙长15米）的矩形养鸡场ABCD，设AB边长为米，则养鸡场的面积y（m2）与（m）的函数关系式为_（写出自变量的取值范围）【知识点】二次函数的表达式【解题过程】【思路点拨】根据矩形面积公式列出二次函数关系式，并注意隐含条件是解题的关键【答案】能力型师生共研7判断下列函数是否为二次函数如果是，写出其中、的值（

16、）（）（）【知识点】二次函数的概念【解题过程】答：是，a=-3，b=0，c=1；是，a=1，b=-5，c=0；不是，因为不是整式；不是，因为化简后没有二次项；不是，因为不是整式；不是，因为二次项系数可能为0【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】是，不是8已知函数（m是常数）m为何值时，它是二次函数m为何值时，它是一次函数【知识点】二次函数、一次函数的概念【解题过程】由得又，所以；情况一：，即；情况况二：，解得【思路点拨】牢记二次函数、一次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】m=5；m=-2或探究型多维突破9某商场销售一批名牌运动服，平均每天可售出18件，每件赢

17、利30元为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施经调查发现，如果每件运动服每降价2元，那么商场每天可多售出4件设每件运动服降价元，则降价后每件运动服赢利_元，商场平均每天可售出运动服_件；如果设商场每天赢利y元，则y与的函数关系是_，y是的_次函数【知识点】二次函数的应用【解题过程】降价后每件运动服赢利元，每天售出件，故，是二次函数【思路点拨】根据总利润=每件利润件数列出函数式【答案】，二10如图，在ABC中，B=90，AC=cm，BC=2AB，动点/s的速度移动不与点B重合，动点Q从点B开始沿边BC向C以4cm/s的速度移动不与点C重合如果21求y与之间的函数关系式；2求自变量的取值范围；3四

18、边形A2若能，求出运动的时间；若不能，说明理由【知识点】二次函数的综合应用【解题过程】（1）在ABC中，B=90，AC=，BC=2AB，AB=12，BC=24由运动可知，A2【思路点拨】根据实际问题分析题意、找出数量关系是列出二次函数的关键；此外，应该注意自变量的取值范围一定要使问题有意义【答案】1y=42-241442063不能自助餐1下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）3a2bc2t22t2【知识点】二次函数的概念【解题过程】1、整式；2、二次；3、二次项系数不为0，故用排除法选C【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】Cm2m2m4为二次函数，则m的取值范围是（）0，且m1【知识点】二次函数的概念【解题过程】由题得m0，且m1【思路点拨】由二次函数的概念，二次系数不能为0，建立不等式求解【答案】C个班举行篮球比赛，每班派一个队参赛，采用单循环赛（即每两个球队间都要进行一场比赛）,则比赛的场次数s与m之间的关系式是_【知识点】二次函数的表达式【解题过程】【思路点拨】由比赛的场次数=参赛队数（参赛队数-1）2列式【答案】4如图，在四边形ABCD中，