数学课件：平面向量的数量积及运算律

1、数学课件：平面向量的数量积及运算律FsWF s cos 思考：是力在位移方向上的分力，功等于它和位移的乘积而力和位移是向量，功却是数量。这启发我们向量间存在一种新的运算。我们今天来研究它。我们学过功的计算：FsWF s cos 平面向量的数量积及运算律太原十九中 卢建振 平面向量的数量积及运算律太原十九中 卢建振1.两个向量的夹角 则AOB叫做向量a与b的夹角 (其中0180).abOAB当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直， 记为ab.OAab 已知两个非零向量a和b，作OAa，OBb，注意：两向量起点相同1.两个向量的夹角 2.数量积定义 已知两

2、个非零向量a和b,夹角为，把 |a|b| cos 叫做a与b的数量积（或内积,俗称点乘），记作ab， 即ab |a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为0.abab ab 2.数量积定义 已知两个非零向量a和b,夹角请你指出向量和的夹角是：abba（）（）（）ab已知：请你指出向量和的夹角是：abba（）（）（）注意：“向量的数乘”与“向量的数量积”的区别.实数与向量的积两个向量的内积如 ma是个向量；如 ab是个数量.注意：“向量的数乘”与“向量的数量积”的区别.实数与向量的积3.一个向量在另一个向量方向上的投影OABabBOABabBOABab(B)b cos 叫做向量b在a方向

3、上的投影. ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a| 与b在a的方向上的投影 |b|cos的乘积.3.一个向量在另一个向量方向上的投影OABabBOAB.向量数量积满足的运算律（1）abba；（2）(ab)(a)ba(b)；（3）(ab)cacbc.(ab)ca(bc)？.向量数量积满足的运算律（1）abba；（2）(a 则 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON, 我们来验证分配律： 则ONMa+bbac 我们来说明结

4、合律是不成立的：设（）（） 则；（）它与方向相同或相反（ ）它与方向相同或相反因为与的方向可以不相同，所以结合律不成立我们来说明结合律是不成立的：设（）（4.向量数量积的性质设a、b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量， 是a与e的夹角，则（1）eaae a cos .（2）ab ab0.（向量垂直的充要条件）aa可写成a2 . （3）当a与b同向时，ab a b ；当a与b反向时，ab a b .特别地，aa a 2或 a aa .（该式可以解决 模的计算问题）4.向量数量积的性质设a、b是非零向量，e是与b方向相同的单aba b（4）cos .（用来解决角度问题） （5）ab a b .

5、 （由于|cos | 1，所以结论成立。用来比较大小和证明不等关系式。 ）aba b（4）cos .（5）例 1 （1）已知 a =2，b 3，a与b夹角 60求ab；（2）已知 a 3，b 5，ab -7.5，求a与b的夹角.解：（1）ab a b cos 23 3.12（2）cos -aba b-7.53512 120.例 1 （1）已知 a =2，b 3，a与b夹角 60例 2：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.例 2：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2例

6、 2：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.例 2：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2解：(1)(ab)2a22abb2 a a 2 a b cos60 b b 39.(2) (ab)2 ab ab 39 ab39 .例 3 已知：a 2，b 5，且a、b夹角为60试求（1）(ab)2；（2）ab ； （3）ab与b夹角的余弦值.abab60解：(1)(ab)2a22abb2(2) (a例 3 已知：a 2，b 5，且a、b夹角为60试求（1）(ab)2；（2）ab ； （3）

7、ab与b夹角的余弦值.abab60解：(3)(ab)babbb a b cos60 b 2 52530.cos = (ab)bab b53930 .23913例 3 已知：a 2，b 5，且a、b夹角为60 已知|a| = 3, |b| = 4, 且a 、b 夹角为60o, 则 ab =_, |a + b| =_, |a b|= _.63713练习 已知|a| = 3, |b| = 4, 且a 、小结：（2）掌握向量数量积的重要性质，并利用这 些性质处理有关长度、角度和垂直问题:aa a 2;cos ;aba bab ab0.（1）通过本节的学习要掌握向量的数量积 及几何意义, ab | a | b | cos ； （3）通过学习，熟悉立足数学公式分析性质 的 学习技巧 ，掌握类比和转化化归的数学思想。小结：（2）掌握向量数量积的重要性质，并利用这aa a 作业： 课本P121 习题5.6 1，2，3