建模练习题及解答

1、07 信息学院应数建模小队 宋梦奇，徐培，范文亮。 (注明:我们小组共做了三道题，1，2，4. 其中第4题用手写的方式递交到徐老师您的信箱里了。) 一、问题分析: 这个优化问题的目标是在一定的时间内，广告公司花费的电视广告费最少，设广告公司为汽车销售公司购买两种类型的电视广告，分别为x1和x2，要做的决策是购买计划，足球赛中插播广告时间为x1，电视系列剧中插播广告时间为x2，决策受到四个条件的限制:高收入的男性公民看到这个广告的数量、一般公民看到这个广告的数量、高收入的女性公民看到这个广告的数量、以及广告公司最多花费60万的电视广告费。按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式

2、子表示出来，就可得到下面的模型。 二、 模型假设: 为了处理方便，考虑连续模型，根据问题性质做出如下假设: 决策变量:设足球赛中插播广告时间为x1，电视系列剧中插播广告时间为x2。 三、模型建立: 本模型需要的是广告公司花费的电视广告费最少，建立以下关系: 目标函数:Z=10 x1+6x2 约束条件: (1)看到这个广告的高收入的男性公民数量至少有40万，即7x1+3x2=40; (2)看到这个广告的一般公民数量至少是60万，即10 x1+5x2=60; (3)看到这个广告的高收入的女性公民数量至少35万，即5x1+4x2=35; (4)广告公司最多花费60万的电视广告费，即10 x1+6x2

3、=0,x2=0. 综上可得 min z=10 x1+6x2 st 7x1+3x2=40 10 x1+5x2=60 5x1+4x2=35 10 x1+6x2=40 10 x1+5x2=60 5x1+4x2=35 end 运行结果 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 63.33333 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 4.333333 0.000000 X2 3.333333 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.333333 0.00000

4、0 3) 0.000000 -0.666667 4) 0.000000 -0.666667 NO. ITERATIONS= 2 运行结果中z=63.3333360，所以该方案不合理。 寻找到以下B,C,D三个相对较符合题意的方案: B程序 min 10 x1+6x2 st 7x1+3x240 10 x1+6x2=35 10 x1+6x2=40 10 x1+5x2=60 10 x1+6x2=60 end 运行结果 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 60.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST

5、X1 6.000000 0.000000 X2 0.000000 1.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 2.000000 0.000000 3) 0.000000 -1.000000 4) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 五，模型计算与分析 与B,C结果比较可知， D方案相对最符合本问题要求。具体数据分析如下: B方案中z=57.14286。 此时 X1=5.714286，X2=0.000000 ，即 在足球赛中插播广告5.714286分钟，不在系列剧中插播。此时三个目标只能实现第一个，即有四十万高收入

6、男性公民看到这个广告。至于第二个目标，仅有57.14286万，与与汽车销售公司提出的目标有60万一般收入的公民看到这个广告相差2.85714万。至于第三个目标，仅有28.5714万高收入女性看到这个广告，与汽车销售公司提出的目标35万高收入女性有6.4286万的差距。 C方案中，z= 52.50000。此时 X1= 0.000000 X2=8.750000 ，即在足球赛中不插播，在系列剧中插播8.75分钟。此时实现了第三个目标 ，即有至少35万高收入女性公民可以看到这个广告。此时总的广告花费最少。此时对于第一个目标，仅有26.25万，与汽车销售公司提出的目标四十万高收入男性公民看到这个广告，有

7、13.75万的差距，差距较大。对于第二个目标，仅有43.75万，与与汽车销售公司提出的目标有60万一般收入的公民看到这个广告相差16.25万。 D方案中z=60.00000 ， X1=6.000000 ， X2=0.000000，即在足球赛中插播6分钟，不在系列剧中插播。此时实现了第一、二这两个目标。即此时至少有四十万(有42万)高收入男性公民看到这个广告，至少有60万一般收入的公民看到这个广告。至于第三个目标，有30万高收入女性看到这个广告，与汽车销售公司提出的目标35万高收入女性有5万的差距。 六、模型修改 本问题至此，事实上已改变了目标函数，转化成为求通过与实际结合，应在不赔钱的情况下尽

8、量最大满足汽车销售公司的三个目标。即希望广告公司最后的决策与汽车公司目标差距最小。 min z= 40- 7x1-3x2+60-10 x1-5x2+35-5x1-4x2 st 10 x1+6x2=60 输入 min -22x1-12x2 st 10 x1+6x2=60 得到运行结果 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) -132.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 6.000000 0.000000 X2 0.000000 1.200000 ROW SLACK OR SURPLUS DU

9、AL PRICES 2) 0.000000 2.200000 NO. ITERATIONS= 1 七、模型修改后分析 即是min z=3，此时最优，x1=6，x2=0。即在足球赛中插播6分钟，不在系列剧中插播。此时实现了第一、二这两个目标。即此时至少有四十万(有42万)高收入男性公民看到这个广告，至少有60万一般收入的公民看到这个广告。至于第三个目标，有30万高收入女性看到这个广告，与汽车销售公司提出的目标35万高收入女性有5万的差距。此结果与解法一中得到的结果一致。该解法再次验证了本模型建立的优越性。 模型不足:只是粗略地比较了收看广告的人数，而没有比较具体人群的购买率。 在网上查的男女购买

10、汽车的比例。显然，男性购车比女性概率要大得多。 A1车主性别, 讨论一下A1的购买人员性别构成 最后一个选项 一定要指出姓名 1. 48 男 2. 10 女 问题摘要: 随着社会的发展，建筑业日益兴起，每天世界各地都有工地在进行建设，建设需要原料，但原料需从料场运送到工地，所以其运送费用就成了人们关心的问题，本文主要讨论解决了某公司临时料场的供应计划与最佳选址问题，为使总吨公里数最小，在已知各地间道路连通的情况下，建立相应数学模型。 关键字: 线性规划、吨公里数、供应计划、选址方案 一、模型假设: 1、 运输途中车速保持不变 2、 料场供应量应与工厂日用量到达平衡。 3、 改建前后工厂用料量与

11、以前相同。 二、符号说明 i:第i个料场，i=1，2 j:第j个建筑工地，j=1，2，3，4，5，6 dj:工厂日用水泥量 Cij:第i个临时料场到第j个工地水泥运输量 rij:料场i到工地j的距离 ei:料场i的日储量 三、模型建立与求解 (1)为使总吨公里数最小，即 决策变量:(料场j到工地i的运量) cij26221/2线形规划模型:min()()cxayb,，, ,ijjijiji,112stcdi.,1,.,6,ijij,1 6cej,1,2,ijji,11 2 3 4 5 6 i 用例中数据计算，最优解为: 3 5 0 7 0 1 c(料场A) 0 0 4 0 6 10 c(料场B

12、) 总吨公里数为136.2 (2)决策变量:， ,y，xcjijj26221/2min()()cxayb,，,非线性规划模型: ,ijjijiji,112cdi,1,.,6 s.t. ,ijij,16cej,1,2 ,ijj,i1在lingo软件中实现: 程序: model: title location problem; sets: demand/1.6/:a,b,d; supply/1.2/:x,y,e; links(demand,supply):c; endsets data: a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25; b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.7

13、5; d=3,5,4,7,6,11; e=20,20; enddata init: x,y=5,1,2,7; endinit min=sum(links(i,j):c(i,j)*(x(j)-a(i)2+(y(j)-b(i)2)(1/2); for(demand(i):DEMABND_CONSUM(supply(j):c(i,j)=d(i);); for(supply(i):SUPPLY_CONSUM(demand(j):c(j,i)=e(i);); for(supply:free(X);free(Y);); End 运行结果: Local optimal solution found. Obj

14、ective value: 85.26604 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 68 Model Title: location problem Variable Value Reduced Cost A( 1) 1.250000 0.000000 A( 2) 8.750000 0.000000 A( 3) 0.5000000 0.000000 A( 4) 5.750000 0.000000 A( 5) 3.000000 0.000000 A( 6) 7.250000 0.000000 B( 1) 1.250000 0.000

15、000 B( 2) 0.7500000 0.000000 B( 3) 4.750000 0.000000 B( 4) 5.000000 0.000000 B( 5) 6.500000 0.000000 B( 6) 7.750000 0.000000 D( 1) 3.000000 0.000000 D( 2) 5.000000 0.000000 D( 3) 4.000000 0.000000 D( 4) 7.000000 0.000000 D( 5) 6.000000 0.000000 D( 6) 11.00000 0.000000 X( 1) 3.254883 0.000000 X( 2) 7

16、.250000 -0.1853513E-05 Y( 1) 5.652332 0.000000 Y( 2) 7.750000 -0.1114154E-05 E( 1) 20.00000 0.000000 E( 2) 20.00000 0.000000 C( 1, 1) 3.000000 0.000000 C( 1, 2) 0.000000 4.008540 C( 2, 1) 0.000000 0.2051358 C( 2, 2) 5.000000 0.000000 C( 3, 1) 4.000000 0.000000 C( 3, 2) 0.000000 4.487750 C( 4, 1) 7.0

17、00000 0.000000 C( 4, 2) 0.000000 0.5535090 C( 5, 1) 6.000000 0.000000 C( 5, 2) 0.000000 3.544853 C( 6, 1) 0.000000 4.512336 C( 6, 2) 11.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 85.26604 -1.000000 DEMABND_CON( 1) 0.000000 -4.837363 DEMABND_CON( 2) 0.000000 -7.158911 DEMABND_CON( 3) 0.000000 -

18、2.898893 DEMABND_CON( 4) 0.000000 -2.578982 DEMABND_CON( 5) 0.000000 -0.8851584 DEMABND_CON( 6) 0.000000 0.000000 SUPPLY_CON( 1) 0.000000 0.000000 SUPPLY_CON( 2) 4.000000 0.000000 四、模型结果分析 本文运用了线性和非线性规划模型，并运用lingo软件求解，得到最优方案，总吨公里数最小。题目中给出两个料场到六个工厂的路线的联通性及距离，总吨公里数为吨数与单位公里数之积。思路清晰，过程简单易懂，但也有不足。不足之处约束条件太少，选址问题和料场供应关系相对模糊，关系并不紧密。 4.在石油的生产地和加工厂，为了储存原油，经常使用大量的储油罐。油罐的外形为一个圆柱体和两个圆锥体的组合，上端有一注油孔(见图)由于经常注油和取油，有时很难知道油罐中剩油的数量。这给现有储油量的统计带来很大的麻烦。显然，将剩油取出计量是不现实的。因此，希望能设计一个精细的标尺:工人只需将该尺垂直插入使尺端至油罐的最底部，就可以根据标尺上的油痕位置的刻度获知剩油量的多少。这是一个来自油田的问题。 模型分析:建模的关键在于分析油量深度(记为h)