第3讲 平面向量中的范围、最值问题（解析版）

1、一选择题 (共 17 小题) PxyOPOC OD ， x y 最大值等于 ( )A B 15 C 19 D 21【解析】解： 由题意建立如图所示的坐标系， AB 4AC AB 4AC ( 1) 4(t 4) 17 (4t ) ，4t2 4 ，当且仅当4t 即 t 时取等号， 【解析】解： 由题意建立如图所示的坐标系， 由t 4 可得17 (16 ) ，由 t 可得17 (1 4) 12 ，4 由正弦定理可得： OAB 的外接圆的半径 r 1 则点B 为圆上的动点则| | D 则B 点为圆上与 OA 不重合的动点，sinsincoscos 由正弦定理可得： OAB 的外接圆的半径 r 1 则点

2、B 为圆上与 A 点重合的动点 由题意得： PQOQOP t )OB tOA ，由二次函数知，当上式取最小值时， t0 ， 值当 0 t0 时，夹角 的取值范围为 ( ) 2 (1 t)2 2 t2 2 2t(1 t) (1 t)2 4t2 4t(1 t)cos由二次函数知，当上式取最小值时， t0 ， ， 取值范围是 ( ) tee2 与 e1 te2 的夹角为钝角， eteeete 2ttt 2 62 16 10 6( )2 ，当且仅当 时，上式取得最小值，a ) 【解析】解： 以 O 为原点， OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则PA PB 1 则PA PB 1 m 2(n 2)当

3、且仅当 m 2n 2 时，取得最大值 1) ACB 由等边三角形 OAB ，点 C 在 AB 外且 ACB 为定值，可得 C 的轨迹是两段圆弧， ACB 是 AB 所对的圆周 z 3x 3y2 Z 的最大值为 2ABCD 且| BC | ， )ABC D 4 | | | cos ，则| b |2 (xe1 ye2 )2 则| b |2 (xe1 ye2 )2 x2 y2 2xye1 e2 ， 时，取等号，当且仅当 y 时，取等号，当且仅当 x 2二填空题 (共 7 小题) 18在边长为 2 的等边三角形 ABC 中， D 是 AB 的中点， E 为线段 AC 上一动点，则EB ED 的取值范围

4、为 x x2 x 2 (x )2 ，3 16 23故 EB ED 的取值范围为 2316 得 (x 6)(x 2) y(y 2) 4 ；CM为圆心， 以 1 为半径的圆的上；如图所示：当t ，上式有最小值为 4 cos2 4 ， (2) 由 (1) 可知， cos ， 3 53 5 的取值范围为：且 ，故答案为：且 22在 ABC 中， O 为中线 AM 上一个动点，若 AM 2 ，则 OA (OB OC) 的最小值是 2 因为M为 BC 的中点 OA (OB OC) OA ON | OA | ON | cos180 | OA | ON | ， OA (OB OC) OA ON | OA |

5、ON | cos180 | OA | ON | ， OA (OB OC) x(4 2x) 2x 2 4x(0 x 2) x 1所以当x 1 时有最小值 2解析】解： 4 2| a | x y 2xycos x y 2xy 2 x y 2xy ，解析】解： 4 2只考虑x 0 ， 当且仅当 x2 y2 2xy ()2 ( x2 y2 2xy ()2 ( ) 1y 2 时取等号y 2x 2则2 的两个单位向量，非零向量 x 的两个单位向量，非零向量 x y ， x ， y R ，若x 2y 2 ，则| | 的最小值为 1 【解析】解： .2 x2 y2 2xy2 y2 xy x 2y 2 ， x 2 2y 2 (2 2y)2 y2 (2 2y)y 3y2 6y