数学必修ⅰ北师大版函数的奇偶性与周期性课件解读

1、1第三节 函数的奇偶性与周期性 1第三节 函数的奇偶性与周期性 2三年12考 高考指数:1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性2三年12考 高考指数:31.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考向；2.常与函数的图像、单调性、对称性、零点等综合命题;3.多以选择、填空题的形式出现，属中低档题目.31.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考向；41.函数奇偶性的定义(1)图像定义：f(x)为奇函数图像关于_对称；f(x)为偶函数图像关于_对称；(2)符号定义：对于函数f(x)的定义

2、域内的任意一个xf(x)为偶函数_;f(x)为奇函数_.原点y轴f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)41.函数奇偶性的定义原点y轴f(-x)=f(x)f(-x)5【即时应用】(1)思考：函数f(x)=x+sinx,g(x)=xsinx各自图像有什么对称性？提示：f(x)为奇函数，所以其图像关于原点对称；g(x)为偶函数，所以其图像关于y轴对称.5【即时应用】6(2)判断下列六个函数是否是奇函数.(请在括号中填“是”或“否”)y=x2-|x| ( )y=sin3x ( )y=x+ ( )y=3x-3-x ( )y=|x|cosx ( )y=x2,x(-1,1 ( )6(2)判断下列六个函数

3、是否是奇函数.(请在括号中填“是”或7【解析】由奇函数、偶函数的符号定义知，函数,为偶函数，,为奇函数,是非奇非偶函数.答案：否 是 是 是 否 否7【解析】由奇函数、偶函数的符号定义知，函数,为偶函数，8(3)已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数，那么a+b的值是_.【解析】由已知得a-1=-2a,解得a=f(x)= +bx,又f(-x)=f(x),即又x ,b=0,故a+b= +0=答案：8(3)已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上9(4)已知f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)=x2,则f(x)=_.【解析】由题意知f(0)=0,当x0,f(-x)

4、=(-x)2=x2,又f(-x)=-f(x),f(x)=-x2,答案：9(4)已知f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)=10(5)若f(x)为R上的偶函数，且在0，+)上单调递减，则f(x)在(-,0上的单调性为_.【解析】由图像关于y轴对称知在(-,0上为单调增函数.答案：单调递增10(5)若f(x)为R上的偶函数，且在0，+)上单调递112.周期性(1)周期函数：常数T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：T0;f(x+T)=_对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_，那么这个_就称为它的最小正周期f(x)最小的正数最小的正数11

5、2.周期性f(x)最小的正数最小的正数12【即时应用】(1)已知函数f(x),对任意xR，都有f(x+4)=f(x),且x(0,2)时，f(x)=2 012x2,则f(2 013)=_.(2)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+1)=-f(x),则f(x)的最小正周期为_.12【即时应用】13【解析】(1)f(x+4)=f(x),f(x)的最小正周期为4，f(2 013)=f(5034+1)=f(1)=2 01212=2 012.(2)f(x+1)=-f(x),f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x)=f(x).最小正周期为2.答案：(1)2 012 (2)2 13【

6、解析】(1)f(x+4)=f(x),14 判定函数的奇偶性【方法点睛】判定函数的奇偶性的常用方法及思路(1)符号定义法：14 判定函数的奇偶性15(2)图像定义法：f(x)的图象关于原点对称关于y轴对称f(x)为奇函数f(x)为偶函数15(2)图像定义法：f(x)关于原点对称关于y轴对称f(x16(3)性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇偶性奇函数与奇函数 奇函数与偶函数 偶函数与偶函数 和 差奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数积 商16(3)性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇17【提醒】“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立

7、的. 17【提醒】“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成18【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x3-x;(2)f(x)=(x+1)(3)【解题指南】由奇偶性的符号定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)，并判断其与f(x)的关系，从而得出函数的奇偶性.18【例1】判断下列函数的奇偶性：19【规范解答】(1)显然函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x),f(x)为奇函数.(2)使f(x)=(x+1) 有意义，则有 0且1+x0,解得函数的定义域为(-1,1,不关于原点对称，因此函数f(x)既不是奇

8、函数，也不是偶函数.19【规范解答】(1)显然函数f(x)的定义域为R，关于原点20(3)显然函数f(x)的定义域为：(-，0)(0,+)，关于原点对称，当x0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；当x0时,-x0时，-x0,又x0时，f(x)=2x2-x,f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,又f(-x)=-f(x),即:-f(x)=2x2+x,f(x)=-2x2-x.综上,32【互动探究】在本例(1)中的条件下求f(x)在R上的解析33【反思感悟】利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、求解析式、作图像、判定单调性问题转化为已知区间上的函数值、解析式、图像、

9、单调性问题求解，充分体现了数学的转化与化归思想.33【反思感悟】利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、34【变式备选】奇函数f(x)的定义域为-5,5.若当x0,5时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)0的解集是_.34【变式备选】奇函数f(x)的定义域为-5,5.若当x35【解析】由奇函数图像对称性补出其在-5,0)上的图像，由图像知解集为(-2,0)(2,5.答案：(-2,0)(2,535【解析】由奇函数图像对称性补出其在-5,0)上的图像，36 函数周期性的应用【方法点睛】关于函数周期性的几个常用结论(1)若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：f(x+a)=-f(x)，则

10、函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；f(x+a)= 则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；f(x+a)= 则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；36 函数周期性的应用37(2)如果T是函数y=f(x)的周期，则kT(kZ,k0)也是函数y=f(x)的周期，即f(x+kT)=f(x)；若已知区间m,n(m10时，|lgx|1,因此结合图像及数据特点y=f(x)与y=|lgx|的图像交点共有10个.41(2)根据f(x)的周期性及f(x)在-1,1上的解42【反思感悟】已知周期函数在长度为一个周期的区间上的解析式或图像，则可求在其他区间上的函数值、解析式或

11、画出其他区间上的图像，关键是用好其周期性进行转化.42【反思感悟】已知周期函数在长度为一个周期的区间上的解析43【变式训练】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+1)=f(1-x).当x0,2时，f(x)=2x-x2.(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x2,4时，求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).43【变式训练】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数44【解析】(1)f(x+1)=f(1-x),f(x+2)=f(x+1)+1)=f(1-(x+1)=f(-x)=-f(x)f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x

12、+2)=f(x).f(x)是周期为4的周期函数.44【解析】(1)f(x+1)=f(1-x),45(2)当x-2,0时，-x0,2，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)=-2x-x2,当x-2,0时，f(x)=x2+2x.又当x2,4时，x-4-2,0,f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得x2,4时，f(x)=x2-6x+8.45(2)当x-2,0时，-x0,2，由已知得46(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=

13、1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.46(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)47【变式备选】设函数f(x)是(-,+)上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当x0,1时，f(x)=x.(1)求f()的值；(2)当x-4,4时，求f(x)的图像与x轴所围成的图形的面积.47【变式备选】设函数f(x)是(-,+)上的奇函数，且4

14、8【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=-f(x+2)，f(x+4)=f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数.f()=f(-14+)=f(-4)，f(x)是(-,+)上的奇函数，f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.f()=-4.48【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得49(2)由f(x)是(-,+)上的奇函数与f(x+2)=-f(x)得f(x+2)=f(-x)，故知函数y=f(x)的图像关于x=1对称，又x0,1时，f(x)=x，且f(x)的图像关于原点对称，则f(x)的图像如图所示49(2)由f(x)是(-,+)上的奇函数与f(x+2)50当x-4,4时，

15、f(x)的图像与x轴所围成的图形的面积为：S=4SOAB=4( 21)=4.50当x-4,4时，f(x)的图像与x轴所围成的图形的51【创新探究】创新应用函数的奇偶性与周期性【典例】(2011福建高考)对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中,a,bR,cZ)，选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1)，所得出的正确结果一定不可能是( )(A)4和6 (B)3和1(C)2和4 (D)1和251【创新探究】创新应用函数的奇偶性与周期性52【解题指南】解答本题需根据函数f(x)解析式的结构特征，构造奇函数g(x)=f(x)-c,然后利用奇函数的性质，g(-1)+g(1)=0,探究出f(-1

16、)+f(1)与c的关系，从而由cZ限定f(1)与f(-1)不可能的取值.52【解题指南】解答本题需根据函数f(x)解析式的结构特征，53【规范解答】选D.令g(x)=f(x)-c=asinx+bx,g(-x)=asin(-x)+b(-x)=-(asinx+bx)=-g(x),g(x)为定义在R上的奇函数.则由奇函数的性质，得:g(-1)+g(1)=0,即f(-1)+f(1)-2c=0.f(-1)+f(1)=2c,又cZ,f(1)+f(-1)是偶数，而选项中只有D中两数和为奇数，故选D.53【规范解答】选D.令g(x)=f(x)-c=asinx+54【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以

17、下创新点拨及备考建议:创新点拨本题有以下创新点：(1)命题方式创新：题目虽为选择题，但并不是直接考查而是以间接否定的形式考查.(2)考查内容创新：本题通过所给函数的解析式及所求函数值，间接考查函数奇偶性的确定与应用，较好地考查了学生的创新应用意识、探究能力和逻辑推理能力，是考查函数奇偶性与周期性的一个新的亮点. 54【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨55备考建议从该题的解答过程来看，我们在备考函数奇偶性与周期性时还应注意以下问题:(1)熟练掌握函数奇偶性、周期性的有关概念及确定与应用的方法.(2)平时学习时在所给的解析式或函数关系中，要能从其结构特征探究、发现其隐含的奇偶性、周期性，从而利用奇偶性、周期性将问题解决.55备从该题的解答过程来看，我们在备考函数奇偶性与周期561.(2011山东高考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0 x2时,f(x)=x3-x，则函数y=f(x)的图像在区间0,6上与x轴的交点个数为( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)