线线角线面角二面角的一些题目 2

1、文档编码 : CS5W1X1E1P9 HF5K3V3F10W2 ZQ10O6S9I1I1线线角与线面角习题 新泰一中 闫辉 一、复习目标1.懂得异面直线所成角的概念 ,并把握求异面直线所成角的常用方法2.懂得直线与平面所成角的概念,并把握求线面角常用方法3.把握求角的运算题步骤是“ 一作、二证、三运算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“ 降维” 的思想方法. 二、课前预习1.在空间四边形ABCD中, AD=BC=2, E、F 分别为 AB、CD 的中点且 EF= 3 ,AD、BC所成的CCDD 1C角为. 60 和 45 ,就异面2.如图 ,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ,B1C

2、 和 C1D 与底面所成的角分别为直线 B1C和 C1D 所成角的余弦值为 A.6B.6C.2D.3BA6B4363.平面与直线 a 所成的角为3,就直线 a 与平面内全部直线所成的角的取值范A 1C 1围是4.如图 ,ABCD是正方形 ,PD平面 ABCD,PD=AD,就 PA与 BD 所成的角的度数为AB 1P A.30 B.45 C.60 D.90 5.有一个三角尺 ABC,A=30 , C=90 ,BC是贴于桌面上 , 当三角尺与桌面成 45 角时 ,AB 边与桌面所成角的正弦值D是三、典型例题BCA例 1.96 全国 如图 ,正方形 ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成 60

3、角,求异面直线 AD 与 BF 所成角的余弦值. 备课说明 :1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有 : D平移法 :在异面直线的一条上选择“ 特殊点”,作另一条直线平行线B或利用中位线 .补形法 :把空间图形补成熟识的几何体,其目的在于容AE易发觉两条异面直线的关系.2.解立几运算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,仍要有合理的步骤. F例 2.如图在正方体AC1 中, 1 求 BC1 与平面 ACC1A1 所成的角 ; 2 求 A1B1 与平面 A1C1B 所成的角 . 备课说明 :求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此D 1B 1BC 1必需在这条

4、直线上找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常接受:利用平面垂直的性质找平面的垂线.点的射影在面内的特殊位置. A 1DCA例 3. 已知直三棱住 ABC-A1B1C1,AB=AC, F为棱BB1 上一点 ,BFFB1=21, BF=BC= a 2 . 1如 D 为BC的中点 ,E 为线段 AD 上不同于 A、 D的任意一点 ,证明： EFFC1; 2试问 :如 AB= a 2 ,在线段 AD上的 E点能否使 EF与平面 BB1C1C成 60 角,为什么 .证明你的结论 . 备课说明 :这是一道探干脆命题 ,也是近年高考热点问题 ,解决这类问题 ,常假设命题成立 ,再争论是否与已知条件冲突 , A

5、 C从而判定命题是否成立 . E DBA 1FC 1B 1四、反馈练习1 设集合 A、B、C分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范畴 ,就AA=B=C BA=B C CA B C D B A C. 2 两条直线 a ,b 与平面 所成的角相等 ,就直线 a ,b 的位置关系是A平行 B相交 C异面 D 以上均有可能 . 3 设棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, M、N 分别为 AA1和 BB1的中点,就直线 CM 和D1N 所成角的正弦值为 . 4 已知 a 、b 是一对异面直线, 且 a 、b 成 60 o 角,就在过空间任意点 P

6、的全部直线中, 与 a 、b 均成 60 o 角的直线有 条 . 5 异面直线 a 、 b 相互垂直, c 与 a 成 30 o 角,就 c 与 b 所成角的范畴是 . 6ACB=90 在平面 内,PC 与 CA、CB 所成的角 PCA=PCB=60 o,就 PC与平面 所成的角为 . 7 设线段 AB=a ,AB 在平面 内,CA,BD 与 成 30 角,BDAB,C、 D 在 同侧 ,CA=BD=b .求: 1CD 的长 ;2CD 与平面 所成角正弦值 . CDA B课前预习1. 602.A 3. 3,2 4.C 5.64典型例题例 1 解:CB AD CBF为异面直线 AD 与 BF所成

7、的角 .连接 CF、CE设正方形 ABCD的边长为 ,就 BF= 2 aCBAB, EBAB CEB为平面 ABCD与平面 ABEF所成的角 CBE=60 CE=a FC= 2 acosCBF= 24例 2 解:1 设所求的角为 , 先证 BD平面 ACC1A1, 就 sin =sin OC1B= OB= 1.故BC 1 2=30 o.2 A1BC1 是正三角形 , 且 A1B1=B1C1=BB1.棱锥 B1-A1BC1 是正三棱锥 . 过 B1 作 B1H平面 A1BC1,连 A1H, B1A1H 是直线 A1B1 与平面 A1C1B 所成的角 . 设 A1B1=a 就 A1B= 2 a 得

8、6 A 1 H 6 6A1H= a . 故 cosB1A1H= = .所求角为 arccos3 A 1 B 1 3 3例 3 解:1 连接 OF, 简洁证明 AD面 BB1C1C, DF 是 EF在面 B1C1CB的射影 , 且 DFFC1, FC1EF.2AD面 BB1C1C,EFD=60 , 就 ED=DF tan 60 = 3 EFD 是 EF 与平面 BB1C1C 所成的角 . 在 EDF 中, 如5 = 15 a , AB=BC=AC=2a ,AD= 3 a .15 a 3 a .E 在 DA的延长线上 , 而不在线段 60 角. AD 上; 故线段 AD 上的 E 点不行能使EF与

9、平面 BB1C1C成反馈练习1. D 2. D 3. 4 54. 3 5. 60 , 90 6. 4597. 解 :1 作 DD于 D,连接 AD,BD.CA,CA DD.四边形 CADD 是直角梯形, CAD= D DA=90 ,AB ,ABDD.又 ABBD, AB平面 BDD,BD平面 BDD.ABBD. DBD是 BD 与 所成的角 , DBD=30 ,BD=b , DD= b,BD= 3b.2 22在 ABD中 , AB=a ,BD= 3b,ABD=90 , AD= AB 2 BD2= a 2 3 b.在 CAD2 42 2 2 2D 中, CD= AD AC D D a b . 2

10、 作 DC DC 交 CA于 C,CDA是 CD 与 所成的角 ,sin CDA= AC b. C D 2 a 2b 2线面角与面面角练习一、学问与方法要点：1斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角；求斜线与平面所成的角关键 是找到斜线在平面内的射影,即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足,这经经常要用面面垂直来确定垂足的位置；如垂足的位置难以确定,可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离；2二面角的大小用它的平面角来度量,求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角要 证明 ；作二面角的平面角经常要用三垂线定理,关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线,并确定垂足的位置；如二

11、面角的平面角难以作出,可考虑用射影面积公式 求二面角的大小；3判定两个平面垂直,关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线；两个平面垂直的性质定理是：假如两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面二、例题 例 1正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M为 C1D1中点1 求证： AC1平面 A1BD2 求 BM与平面 A1BD成的角的正切值解： 1 连 AC,C1C平面 ABCD, C1CBD又 AC BD,AC1BD同理 AC1A1B D1AC1中, ME AC1,A1BBD=B AC1平面 A1BD2 设正方体的棱长为a ,连 AD1, AD1 交 A1

12、D于 E,连结 ME,在AC1平面 A1BD ME平面 A1BD连结 BE,就 MBE为 BM与平面 A1BD成的角在 Rt MEB 中,MEAC13a ,22BE2a22 a6a,tanMBEME226BE2例 2如图,把等腰直角三角形ABC以斜边 AB为轴旋转,使 C点移动的距离等于 AC时停止,并记为点 P（1）求证：面 ABP面 ABC；（2）求二面角 C-BP-A 的余弦值证明（ 1）由题设知 APCP BP点 P在面 ABC的射影 D应是 ABC的外心,即 DAB PDAB,PD 面 ABP,由面面垂直的判定定理知,面 ABP面 ABC（2）解法 1 取 PB中点 E,连结 CE、

13、DE、CD BCP为正三角形,CEBD BOD为等腰直角三角形,DEPB CED为二面角 C-BP-A 的平面角又由（ 1）知,面 ABP面 ABC,DCAB, AB面 ABP面 ABC,由面面垂直性质定理,得DC面 ABP DCDE因此CDE为直角三角形设BC1,就CE3,DE1,cosCEDDE13222CE332例 3如以下图,在正三棱柱ABCA B C 中,EBB ,截面A EC侧面AC 1 求证：BEEB ；2 如AA 1A B ,求平面A EC 与平面A B C 1所成二面角 锐角 的度数证明：在截面 A1EC内,过 E作 EGA1 C,G是垂足,如图,面 A1 EC面 AC1,

14、EG侧面 AC1取 AC的中点 F,分别连结BF和 FC,由 ABBC得 BFAC面 ABC侧面 AC1 , BF侧面 AC1 ,得 BF EGBF和 EG确定一个平面,交侧面 AC1 于 FGBE 侧面 AC1 , BE FG,四边形 BEGF是,BEFGBE AA1 , FG AA1 , AA1 C FGC解： 2 分别延长 CE和 C1B1交于点 D,连结 A1 D B1A1 C1 B1C1 A1 60 , DA1C1 DA1B1 B1A1C1 90 ,即 DA 1 A1C1 CC1面 A1C1B1 ,由三垂线定理得 DA1 A1C,所以 CA1C1 是所求二面角的平面角且A1 C1 C

15、90 CC1 AA1 A1B1 A1 C1 , CA1 C145 ,即所求二面角为 45 说明：假如改用面积射影定理,就仍有另外的解法三、作业 ：1已知平面的一条斜线a 与平面成 角,直线 b,且 a,b 异面,就 a 与 b 所成的角为（A）A有最小值,有最大值2B无最小值,有最大值2；（ D）C有最小值,无最大值D有最小值,有最大值2以下命题中正确选项A过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个B过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个C过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条D过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3一条长为 60 的线段夹在相互垂直的两个平面之间,它和这两个平面所成的

16、角分别为45 和 30 ,这条线段的两个端点向平面的交线引垂线,就垂足间的距离是（A）A30 B20 C15 D12 4设正四棱锥 S ABCD的侧棱长为 2 ,底面边长为 3 ,E 是 SA的中点,就异面直线 BE与 SC所成的角是（C）A30B45C60D905正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为 arctan2 2 ,就它的侧棱与底面所成的角为 26A 是 BCD 所在平面外的点,BAC=CAB=DAB=60 , AB=3,AC=AD=2. （）求证： ABCD；（）求 AB 与平面 BCD所成角的余弦值. 7正四周体 ABCD中, E是 AD 边的中点,求：CE与底面 BCD所成角的正弦

17、值解 过 A,E分别作 AH面 BCD,EO面 BCD,H,O 为垂足,AH 2OE,AH, OE确定平面 AHD,连结 OC,ECO即为所求 AB=AC=AD, HB=HC=HD BCD是正三角形,H 是 BCD的中心,连结 DH 并延长交 BC于 F,F 为 BC的中点,DH2 3DF23a3a ,在 Rt ADH中,3238在四周体ABCD中, DA面 ABC, ABC90 , AECD,AFDB求证：（1）EFDC；（2）平面 DBC平面 AEF证明 如图 1-83 （1）AD面 ABC ADBC又 ABC90 BC ABBC面 DABDB是 DC在面 ABD内的射影 AFDBAFCD

18、（三垂线定理）AECD CD平面 AEF CDEF（2） CDAE,CD EF CD面 AEF CD BCD面 BCD面 AEF面（3）由 EFCD,AECD AEF为二面角 B-DC-A 的平面又 AFDB,AFCD,BDCD D AF平面 DBC,二面角题目：例1如以下图,已知PA面 ABC ,SPBCS SABCS ,二面角 PBCA 的C平面角为,求证：ScosSPADB2如图,在空间四边形ABCD 中,BCD 是正三角形,ABD 是等腰直角三角形,且DBAD90,又二面角 ABDC 为直二面角,求二面角ACDB 的大小；BH例 3设 A 在平面 BCD 内的射影是直角三角形BCD 的斜边 BD 的中ACF E点 O,ACBC1, CD2,求（ 1）AC与平面 BCD所成角的大小；（2）二面角 A BC D 的大小；FD（3）异面直线AB 和 CD所成角的大小；BOEC例 4.在正方体 ABCDA B C D 中, M 为 AA 的中点, 求截面 DMB 与底面 ABCD 所成较小的二面角的大小；选用： 如图,正方体的棱长为