新高考数学理一轮总复习知能演练专题一函数与导数综合题的解答(含答案详析)

1、1(2012高考安徽卷)设定义在(0，)上的函数1b(a0)f(x)axax(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y3x，求a，b的值2解：(1)法一：由题设和均值不等式可知f(x)axax1b2b，其中等号成立当且仅当ax1，即当x1时，f(x)取最小值为2b.aa2x21法二：f(x)的导数f(x)a1ax2，ax211当xa时，f(x)0，f(x)在a，上单调递加；11当0 xa时，f(x)0，f(x)在0，a上单调递减1因此当xa时，f(x)取最小值为2b.113(2)f(x)aax2，由题设知，f(1)aa2，1解得a2或a2(不合题意，舍去

2、)将a2代入f(1)a1ab32，解得b1.因此a2，b1.2已知函数332f(x)axx1(xR)，其中a0.2(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若在区间1，1上，f(x)0恒成立，求a的取值范围2232解：(1)当a1时，f(x)x32x1，f(2)3；f(x)3x23x，f(2)6.因此曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y36(x2)，即y6x9.f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x1a.以下分两种情况谈论：1若0a2，则a2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况以下表：x1000，12，2f(x)0f(x)极大值

3、当x1，1时，f(x)0等价于22f10，5a0，281即5af20，0.8解不等式组得5a5，因此0a2.1若a2，则0a2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况以下表：101x2，00，af(x)0f(x)极大值1当x2，2时，f(x)0等价于f10，5a280，即110，fa12a20.2a5或a2解不等式组得22.因此2a5.结合和，可知a的取值范围为0a5.3已知函数f(x)x2alnx.(1)当a2时，求函数f(x)的单调区间和极值；2(2)若g(x)f(x)x在1，)上是单调增函数，求实数解：(1)易知函数f(x)的定义域为(0，)当a2时，f(x)x22lnx，22x1x1

4、f(x)2xxx.当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况以下表：111aa，20极小值的取值范围x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)递减极小值递加由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递加区间是(1，)，极小值是f(1)1.22a2(2)由g(x)xalnxx，得g(x)2xxx2.若函数g(x)为1，)上的单调增函数，则g(x)0在1，)上恒成立，即不等式2a222xx2x0在1，)上恒成立也即ax2x在1，)上恒成立222令(x)x2x，则(x)x24x.当x1，)时，(x)x224x0，(x)2x2x2在1，)上为减函数，(x)max(1)0.a0，即a的取值范围

5、为0，)4(2012考浙江卷高)已知aR，函数f(x)4x32axa.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当0 x1时，f(x)|2a|0.解：(1)由题意得f(x)12x22a.当a0时，f(x)0恒成立，此时f(x)的单调递加区间为(，)当a0，f(x)12xaxa，此时函数f(x)的单调递加区间为66aaaa，6和6，单调递减区间为6，6.(2)证明：由于0 x1，故当a2时，334x2.f(x)|2a|4x2ax24x当a2时，f(x)|2a|4x32a(1x)24x34(1x)24x34x2.设g(x)2x32x1,0 x1，则g(x)6x226x3x3，33于是g(x)，g(x

6、)随x的变化情况以下表：3331x00，333，1g(x)0g(x)1减极小值增143因此，g(x)ming3190.因此当0 x1时，2x32x10.故f(x)|2a|4x34x20.5(2012考广东卷高)设0a1，会集AxR|x0，BxR|2x23(1a)x6a0，DAB.(1)求会集D(用区间表示)；32(2)求函数f(x)2x3(1a)x6ax在D内的极值点令h(x)2x23(1a)x6a，9(1a)248a3(3a1)(a3)1当3a1时，0，?xR，h(x)0.BR.于是DABA(0，)1当a3，0，此时方程h(x)0有唯一解1x231a31131，x44B(，1)(1，)于是D

7、AB(0,1)(1，)当0a13时，0，此时方程h(x)0有两个不同样的解x133a33a1a34，33a33a1a3x24.x1x2且x10，B(，x1)(x2，)又x10?a0，DAB(0，x1)(x2，)f(x)6x26(1a)x6a6(x1)(xa)当0a1时，f(x)在(0，)上的单调性以下：x(0，a)a(a,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值当1a1时，D(0，)3由表可得，xa为f(x)在D内的极大值点，x1为f(x)在D内的极小值点1当a3时，D(0,1)(1，)1由表可得，x为f(x)在D内的极大值点，没有极小值点1当0a3时，D(0，x1)(x2，)由(1)知

8、0ax11x2，因此xa为f(x)在D内的极大值点，没有极小值点6.以下列图，四边形ABCD表示一正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为9m，3m某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MNNE169.线段MN必定过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设ANx(m)，液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2)(1)用x的代数式表示AM；(2)求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；(3)当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？解：(1)由于点P到边AD，AB距离分别为9m,3m，因此由平面几何知识，得AM39，解得AM3x(10 x30).AMxx922229x2(2)由勾股定理，得MNANAMxx92.由于MNNE169，因此NE916MN.9x22因此SMNNE929x