线性代数复习提纲

1、文档编码 : CR9T9N6G10V7 HL8T2J1U6B5 ZW10A3M2O6J10线性代数复习提纲一、行列式的定义2mn第一章m 2行列式D1Nm 1ma 1m 1a2anmn注：只有二、三阶行列式有对角线法就二、行列式的性质性质 1 行列式与它的转置行列式相等 （转置相等）D .用数 k 乘行列式的一行（列）,等于用数k 乘以行列式性质 2 （数乘运算）性质 3 设行列式 D 的一行（列）每一元素都是两个数之和,就 D可写成两个行列式之和 .（拆分）性质 4 如行列式有两行（列）元素相同,此行列式为 0.（相同行）性质 5 如行列式有两行（列）成比例,就行列式为 0.（成比例）性质

2、6 把行列式一行（列）的（线性运算）k 倍加到另一行（列）,行列式不变 .性质 7 互换行列式的两行（列） ,就行列式变号 .（互换）例 1 123.1011993103211231523a ,1n1a 1 n101199310111052321321三、行列式的运算方法641、定义法7893024例 1 用定义运算行列式：102001000解：原式 =13214321注：a 11000a 11a 12a21a2200a 21a22a n02a 2,n110an3anna n1000an1an2a 11a 12a 13a 1 n00a 1 n0a22a 23a2n00a 2, na 2n000

3、anna n1, na n, na nn1a 1100000a01a 1n0a2200002 ,n0000a nnan10002、a 11 a22a nn1nn1 a 1 na2 ,n1an12性质法例 2 a 11a 12a 13就3 a 11c 1c 12 a 11a 12a 13.如a21a22a23,13 a212 a21a 22a23a 31a32a 333 a 312 a31a 32a331a 12a 13a 1例 3 1a22a23a21a32a 33a 3a 1.c c21a 11201a 12a 133D1a22a 23a21a 2121a 32a 33a 3121a 33、

4、递推法和归纳法 不考 P25 12 2 4、用开放法（按行列开放、拉普拉斯定理）n D , 当 i j ,a ik A jkk 1 0 , 当 i j,n D , 当 i j ,a ki A kjk 1 0 , 当 i j3 1 1 2例 4 5、例 5 D212110101331特殊行列式的运算（范德蒙行列式、奇数阶反对称行列式）1248152512513927124811112532425948125278 52 3222 352523840例 6 D7691085080305300奇数阶 反对称行列式为 0 四、行列式的应用（克莱姆法就）如 n 元线性方程组的系数行列式不为 表示为：0,

5、就该方程组有唯独解,xiDii,1,2,n,D其次章矩阵一、矩阵的运算1、加法、数乘统称为线性运算2、矩阵乘法留意：矩阵乘法无交换律、有非零的零因子、无消去律例7 以下说法是否正确1） AAB2A22 ABB2确定不为O如O且BO,就AB2）3）AB = CB, B 0,就 A = C3、幂运算只有方阵才有幂运算,是特殊的矩阵乘法4、矩阵转置性质： AB TB TA T5、行列式（方阵才有行列式）设 A、B 为 n 阶方阵性质：AnAABAB11）例 8 设 A、B 为 n 阶方阵,且A,1 B,32,就A*B二、特殊矩阵1、三角阵、数量阵（相当于数乘） 、单位阵（相当于数规定A0E例 9 以

6、下说法是否正确？1）如 B=E 为单位阵,就 AB=BA=A 2）如 AB=BA=A ,就 B 为单位阵2、对称阵和反对称阵T 和ATA均为对称阵性质：任意矩阵 A,有AA三、逆矩阵（重点）1、相伴矩阵相伴矩阵的定义相伴矩阵的一个重要性质：A*AA*AAE推论 1：A*An1推论 2：A*1A1*2、逆矩阵的定义及性质（ 7 个）AB1B1A13、逆矩阵的求法1）定义法（通常只用于二阶）2）公式法A1A*AA3）初等变换法AE作行变换,作列变换E例 10 求矩阵A21122的逆矩阵0 0 1r r2r1112100120A14312101解 法 一 ：E12001032110r13143000

7、31101r3r112100r12 r2110322032110030312r3r2 r200121120012111 3rr21002543 13 201013 13 1r10012故A12543 13 213 13 12解法二：公式法（略）四、分块矩阵1、进行加法时,子块要同型；进行乘法时,左矩阵的列分块要与右矩阵行分块对应2、块对角阵的行列式及逆矩阵五、初等变换（重点）rirj,kri,rjkri）对应1、三种初等变换（以行为例：三种初等矩阵2、矩阵的三种形式：行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形矩阵通过行初等变换可以把任意矩阵化为行阶梯形和行最简形矩阵,可以把可逆矩阵化为单位矩阵（即标准

8、形矩阵）通过行、列初等变换可以把任意矩阵化为标准形矩阵3、利用初等变换求逆、求秩（见三、六）4、等价矩阵（有相同的标准形矩阵,用标准形判定等价）六、矩阵的秩（重点）1、秩的定义2、性质：1）如 P、Q 为可逆矩阵,RPAQ = RA. 2）A 的秩等于 A 的行阶梯形矩阵、 行最简形矩阵和标准形矩阵的非零行的行数 3）等价矩阵有相同的标准形矩阵和秩3、求矩阵的秩： 行初等变换化为行阶梯形矩阵,观看非零行的个数 4、满秩矩阵的重要性质 矩阵 A 可逆 等价于 |A| 0 等价于 A 为满秩矩阵矩阵 A 不行逆 等价于1aa|A|=0 等价于 A 为降秩矩阵例 11 设Aa1a且 A 的秩 rA3

9、 请争辩 a 的取值；1 20aa11aa解：rA3 ,就 A 为降秩矩阵,故Aa1a a2 aaa1故 a= -2 或 a=1 如作业中： P58 30 第三章 向量一、向量的运算二、向量的线性表示1、单个向量的线性表示2、向量组的线性表示1）性质2）求向量的线性表示（定义法、初等变换法）三、向量的线性相关性1、定义2、性质3、判定定理（ 8 个,会简洁应用即可）4、判定向量组的线性相关性（重点）1）定义法2）初等变换法（利用矩阵的秩判定向量组的线性相关性）3）行列式法（行列式为 0,线性相关；行列式不为 0,线性无关）四、极大无关组1、定义及其等价定义（极大无关组与原向量组等价）30,2

10、, 4 6, T,2、求极大无关组 （重点）（初等变换法）例 12 已知向量组 A: 10,2 , 4 6, T,2 0,1 2 3, T,4,4,0,4 T8,5 ,13, 11 T1）判定该向量组的线性相关性2）求该向量组的一个极大无关组3）把其余向量组用极大无关组线性表示解：把向量组拍成列向量组成矩阵 矩阵,从而化为行最简形矩阵：A,通过行初等变换化为行阶梯形A00.041 行初等变换 3（此处省略,7 解答时请补充）111110322 12120001042444 00000636800000故该向量组线性相关,其一个极大无关组为1,4,其余向量用该极大无关组线性表示为：2112311

11、351442五、等价向量组1、定义性质：极大无关组与原向量组等价2、第四章线性方程组一、求线性方程组的解及解的争辩 求解：初等变换法解的争辩：方程组 AX=b 有解的充要条件为：RARARArn方程组 AX=b 有唯独解的充要条件为RA方程组 AX=b 有无穷多解的充要条件为RARAn方程组 AX=b 有无解的充要条件为RARARAn方程组 AX=0 只有零解的充要条件为方程组 AX=0 有非零解的充要条件为RArn二、线性方程组的解结构（重点）1、求齐次线性方程组 AX=0 的通解1）化系数矩阵为行最简形矩阵2）确定矩阵的秩 r,判定解的情形3）写出同解方程组,确定 n-r 个自由未知量4）

12、分别取一个自由未知量不为零,其余为零,求得 n-r 个解,即为基础解系（即为解空间极大无关组）5）令自由未知量系数等于x12 x2x3x40例 13 求齐次线性方程组3x16x22x333x440的通解5x110 xx5x0解：该方程组系数矩阵为1211120112x2x4,有两个自由未A3613行初等变换0010510150000故方程组有无穷多解, 其同解方程组为xx30知量取x21和x20得基础解系：2,112k21,k1,k2为任意实数10 x40 x410001x1故原齐次线性方程组的通解为：x2k10 x300 x4012、求非齐次线性方程组AX=b 的通解1）写出增广矩阵,化为行

13、最简形矩阵,写出对应同解方程组2）求对应齐次线性方程组 AX=0 的通解3）零自由未知量全取 0,求求非齐次线性方程组 AX=b 的一个特解4）特解 + AX=0 的通解即为该 AX=b 的通解例 14 求非齐次线性方程组x112 x22x33x412的通解3 x6x2x33x45 x110 xx5 x44解：该方程组增广矩阵为312111120 x14 12x2x4,有两个自由A36132行初等变换00104 05101540000故方程组有无穷多解, 其同解方程组为134x314未知量由例 14,对应齐次线性方程组通解为k12k21, k1,k2为任意实数1000取x20可得一个特解为x 13014 0 1x2x40 x 34 0 x4故原非齐次线性方程组的通解为：x13k12k21,k1,k2为任