组合数学教案第12讲

1、文档编码 : CY7E5S5T9E9 HF4H8U1T9Q5 ZI5M6Y9G3F5教案教研室：数学分析教研室老师姓名：授课时间 : 2 学时时间支配90 分钟 课程名称专业课选讲授课专业和班级授课内容 4.3 母函数在排列组合中的应用授课学时教学目的明白母函数在某些问题中的应用教学重点求已知母函数的对应序列教学难点如何逆向摸索序列求母函数教具和媒体使用板书教学方法讲授法、争辩法包括复习旧课、 引入新课、 重点难点讲授、 作业和习题布 置、问题争辩、归纳总结及课后辅导等内容一、复习旧课一般母函数的基本运算教指数母函数的基本运算学二、引入新课过 程三、重点难点讲授 1、母函数在排列中的应用 2、

2、母函数在组合中的应用四、作业和习题布置 五、归纳总结板 4.3 母函数在排列组合中的应用书1、母函数在排列中的应用例题设2、母函数在组合中的应用计 讲授新 拓展内容课后总结课堂气氛活跃,同学反应良好；日教研室主任签字年月授课讲容稿备注内一、复习旧课1、一般母函数的基本运算2、指数母函数的基本运算二、引入新课母函数有着广泛的应用, 它不仅可以用来处理排列组合的计数问题、整数拆分问题等等,而且仍可以用来证明（或推导）各种有用的组合恒等式,下面我们分别争辩母函数在某些问题中的应用；三、重点难点讲授用 a b c 表示三个不同的物体, 有三种方法从三个不同的物体中选一个,记为 a b c；同样,从三个

3、不同的物体中选取两个有三种方法,记为, ab bc ca；从中选取三个有一种方法,记为 abc；考虑多项式1 2 31 ax 1 bx 1 cx 1 a b c x ab bc ca x abc x可见,ix 的系数就是从三个不同的物体中选取 i 个物体的方法数；对物体 a, 1 ax 象征性地表示两种选取方法：选 a ,不选 a ；0 x 的系数说明不选 a ,x 的系数说明 1a 被选中；由一般母函数的定义,1 ax 1 bx 1 cx 就是选取 a b c 的全部不同方法数的一般母函数；如只对可能选取的方法的个数感爱好,可令 a b c 1,有2 n 3 1 2 31 x x . x .

4、 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3 x 3 x xix 的系数就是从三个不同的物体中选取 一般地,考虑i 个物体的方法数；1x 1x .1x 1xn rnnr x0r讲稿备注授课内容对于这个多项式可作上面n3时的同样的说明；也就是说,从n 个不同的物体中选取 r 个物体（不许重复）,其方法数为 1xn的幂级数展开式中rx 的系数n；r如在选取的过程中可以重复选取,就,1xx2.xn.表示某一种物体在参与选取的过程中可以答应的选取的情形： 1 表示选 0 次, x 前的系数表选一次,可选取三次 .,x 表示可以选取 n 次. 2 x 前的系数表示就1xx21x 表示：第一个物体可以取0 次

5、,1 次,2 次；其次个物体被选 0 次,1 次；1xx21x12x2x23 x 表示：选 0 个物体有 1 种方法,选1 个物体有 2 种方法,选 2 个物体有 2 种方法,选 3 个物体有 3 种方法；下面,举例加以说明例 1 证明从 n 各物体中答应重复地选取 r 物体的方式数为n r 1F n r , r证明：此问题可以等价表达为： 证明重集 B b 1 , b 2 ,., b n 的n r 1r 组合数为；下面用母函数法证明：设 ra 表示次 n 个不同物r体中答应重复选取 r 个物体的方式数, a 0 , a 1 ,., a r ,. 的一般母函数为n2 n 1f x 1 x x

6、.1 x所以有r0授课讲稿r备注内容nn1.nr1xr.r0r1xrn n1.nr.r0nr1xrnr1ra rF n r , r例 2 证明从 n 各不同的物体中答应重复地选取体至少显现一次的方式数为r1；n1r 个物体,但每个物解： 设ra 表示从 n 个不同物体中答应重复地选取r 个物体,但每个 的一般母函数为物体至少显现一次的方式数,就序列a0,a 1,.,ar,.f x xx2.xr.nxn1xx2.nxn11xnxnr0nr1r xrr0nr1xrnr nr1r xrrnrnr1r xr0r1xrn1n1故有a rr1n1授课讲容稿备注内练习：1. 求从 n 个不同的物体中可以重复

7、的选 偶数次的方式数；a 2rnr1rr 个物体,但每个物体显现2. 在一个书架上有 16 本书,其中有 4 本高数,3 本物理,3 本化学,5 本离散；求从中选 12 本书的方式数a 12 34例 3 现有 2n个 A ,2 n个 B ,2 n 个 C,求从中选出 3n 个不同方式数？2 2 n 3解：f x x x . x 2 n 1 31 x1 x1 x 2 n 1 3 1 3 4. k 2 x kk 1 k .1 3 x 2 n 13 x 4 n 2x 6 n 3 1 3 4. k 2 x kk 1 k .2 n 1 4 n 2 6 n 3 k 2 k1 3 x 3 x x xk 1 2明显,x 3n的系数 a 3 n 3 n 23 n 12 2授课讲容稿备注内四、作业和习题布置课本中P 81 3；五、归纳总结母函数在排列组合中的应用在懂得上都较为简洁,但实际做题时灵活性较强,同学懂得和记忆都有确定难度的,需要