线性代数试卷A-七题解答技巧

1、文档编码 : CH2K9O7L3C5 HT6N2O5G1N4 ZT5M8C4M1I3线性代数试卷 A 七、运算题 （20 分）X已知二次型f x x2,x 332 x 1y6x232 x 34x x28 x x34x x , 经正交变换2QY化为了标准形f22 y 1727y2 3,求所用的正交变换XQY2解：二次型及标准形的系数矩阵分别为3 2 4 2A 2 6 2 , 7 , 4 分4 2 3 7由于矩阵 A 与 相像,所以矩阵 A 的特点值分别为1 2, 2 3 7. 2 分对于 1 2,解齐次方程 2 E A X o得基础解系T1 2,1,2 , 2 分常规解法标准化得1 2 1 2

2、, , T . 2 分3 3 3对于 2 3 7 ,解齐次方程 7 E A X o 得基础解系（注：一般解为 x 1 1x 2 x ）22 1,1,0 T ,3 1,0,1 T , 4 分2正交化、标准化得2 5 , 2 5 , 0 T, 3 4 5 , 2 5 , 5 . T 4 分5 5 15 15 3令 Q 1 2 3,所求正交变换 X QY 为2 5 4 53 5 15x 1 y 11 2 5 2 5x 2 y 2 . 2 分3 5 15x 3 y 32 503 31/4 X得2,七、运算题 （20 分）分已知二次型f x xx 332 x 16x232 x 34x x28 x x34

3、x x , 经正交变换2QY化为了标准形f22 y 17y27y2,求所用的正交变换XQY23解：二次型及标准形的系数矩阵分别为由于矩阵 A 与 13242A262 ,7, 4 分4237相像,所以矩阵 A 的特点值分别为2,237. 2 分对于12,解齐次方程 2EA Xo得基础解系标准化得1T 2,1,2 , 2 分 技巧一对于212 1 2 , ,3 3 3 T . 2 分37 ,解齐次方程 7EA Xo 得基础解系（注：一般解为x 11x 2x ）22 2,2,1 T ,3 1,2,0T ,/ 令x 22,2,技巧！x 310正交化得 2, 2,1 T , , 1 23 3,2 T ,

4、/ 3已标准化233标准化得22,2,1 T ,31 2 ,3 3,2T ./ 标准化后都不带根号3333* 技巧来源 学 生： 运算机 10-1,周春林, 20224779 任课老师： 朱柘琍* 2/4 X得2,七、运算题 （20 分）分已知二次型f x xx 332 x 16x232 x 34x x28 x x34x x , 经正交变换2QY化为了标准形f22 y 17y27y2,求所用的正交变换XQY23解：二次型及标准形的系数矩阵分别为由于矩阵 A 与 13242A262 ,7, 4 分4237相像,所以矩阵 A 的特点值分别为2,237. 2 分对于12,解齐次方程 2EA Xo得基础解系标准化得1T 2,1,2 , 2 分 技巧二对于212 1 2 , ,3 3 3 T . 2 分37 ,解齐次方程 7EA Xo 得基础解系（注：一般解为x 11x 2x ）221,2, 2T ,3 2,2,1 T ,/ 令x 22,2, 技巧！x 321正交化得/ 此时2,3已正交化,上步技巧的用意在这里！标准化得21 2 ,3 3,2T ,32 2 1 T, , .3 3 3/ 标准化后都不带