线性规划经典例题

1、文档编码 : CN3X4X6N7B7 HU5P7D3B8F1 ZY1O5W8W8P1线 性 规 划 常 见 题 型 及 解 法 一 , 求 线 性 目 标 函 数 的 取 值 范 围 x 2（ ） y =2 例 1 , 如 x , y 满 足 约 束 条 件 y 2, 就 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 x y 2y 2B y =2 A, 2,6 B, 2 ,5 C, 3,6 D,（ 3,5 解 ： 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l ： x+2y 0 , 将 l 向 右 上 方 平 移 , 过 点 A（ 2,0 ） 时 , 有 最 小 值 O 2A x 2, 过 点 B

2、（ 2,2 ） 时 , 有 最 大 值 6 , 故 选 A 二 , 求 可 行 域 的 面 积 x=2 x + y =2 2x y 60y 例 2 , 不 等 式 组 x y 30表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 y 2xy 3 = 0 （ ） A, 4 B, 1 C, 5 D, 无 穷 大 M A B 解 ： 如 图 , 作 出 可 行 域 , ABC 的 面 积 即 为 所 求 , 由 梯 形 OMBC O 2x C + y x 6= 0 的 面 积 减 去 梯 形 OMAC 的 面 积 即 可 , 选 B 三 , 求 可 行 域 中 整 点 个 数 例 3 , 满 足 |x|

3、|y| 2 的 点 （ x, y ） 中 整 点 （ 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ） 有 （ ） y x A, 9 个 B, 10 个 C, 13 个 D, 14 个 x y 2 x 0, y 0 解 ： |x| |y| 2等 价 于 x y 22x 0, y p 0 x y x p 0, y 0 O x y 2x p 0, y p 0 作 出 可 行 域 如 右 图 ,是 正 方 形 内 部（ 包 括 边 界 ）,容 易 得 到 整 点 个 数 为 13 个 , 选 D 四 , 求 线 性 目 标 函 数 中 参 数 的 取 值 范 围 y x y + 5 = 0 x y 5x + y

4、= 5 例 4, 已 知 x , y 满 足 以 下 约 束 条 件 x y 5 0 , 使 z=x+a ya0 x 3 取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 , 就 a 的 值 为 （ ） O x=3 x A, 3 B, 3 C, 1 D, 1 解 ： 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l ： x+ay 0 , 要 使 目 标 函 数 z=x+ay a0 取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 , 就 将 l 向 右 上 方 平 移 后 与 直 线 x+y 5 重 合 , 故 a=1 , 选 D 精品资料 第 1 页,共 3 页五 , 求 非 线 性

5、目 标 函 数 的 最 值 2 x y 202= 0例 5 , 已 知 x, y 满 足 以 下 约 束 条 件 x 2 y 402 2, 就 z=x + y 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 3 x y 30是 （ ） A, 13 , 1B, 13 , 2 y C, 13 , 4D, 13 , 25A 552 解 ： 如 图 , 作 出 可 行 域 ,x +y 2是 点 （ x , y ） 到 原 点 的 距 离 的 O x 2y + 4 = 0 x 2x + y - 平 方 , 故 最 大 值 为 点 A （ 2,3 ） 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 即 |AO| 2=13

6、 , 最 小 值 为 原 点 到 直 线 2x y 2=0 的 距 离 的 平 方 , 3x y 3 = 0 即 为 4 5, 选 C 六 , 求 约 束 条 件 中 参 数 的 取 值 范 围 例 6 , 已 知 |2x y m| 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 （ 0,0 ） 和 （ 1,1 ）, 就 m 的 取 值 范 围 是 （ ） y 2x y + 3 = 0 A,（ -3,6 ） B,（ 0,6 ） C,（ 0,3 ） D,（ -3,3 ） 解 ： |2x y m| 3 等 价 于 2x y m302x y = 0 2x y m30O 由 右 图 可 知 m33, 故 0 m 3 , 选 C m30七比值问题 当目标函数形如 z y a 时 , 可把 z 看作是动点 Px, y 与定点 Qb, a 连线的斜率,这样目标函数的 x b最值就转化为 PQ 连线斜率的最值； 例 已知变量 x, y 中意约束条件 x y 20, x 1, x y 7 0, 就 y x 的取值范畴是（ ） . 9 9（ A） , 6 5（ B）（, 6 ,） 5（ C）（, 3 6 ,） （ D） 3 , 6 y 5 9 y 解析 x 是可行域内的点 M（ x, y）与原点 O（ 0, 0）连线的斜率,当直线 OM 过点（ 2 , ）时, 取得 2 x 9 y 最