平面向量常考点例析

1、 平面向量常考点例析景宁中学吴松敏平面向量是高中数学中代数与几何之间的一座桥梁，原因在于平面向量具有线性运算和坐标运算。平面向量试题，在全国各地高考题中也呈现出五彩缤纷的景象，一些考题考查的将向量的几何性和代数性都考查的非常深刻，但把这些问题进行归纳为以下六个方面，现以例题赏析的形式供读者理解与体会。向量的坐标运算(平行与垂直问题)已知向量a=(x,y),b=(x,y),若ab,则xy-xy=0;若a丄b,则TOC o 1-5 h z1122U1221xx+yy=0122【典型例题1】(2016秋贵阳期末)己知向量a=(10),b=(11),c=(-1,1)九为何值时，a+入b与a垂直？_若(

2、ma+nb)nc，求m的值.n一【解答】解：(IJ二向量a=(10),b=(11),c=(T,1)a+九b=(1+九,九),一_*.*a+九b与a垂直，(a+九b)-a=1+X+0=0,解得九=-1,fffifX=1时，右+入b与已垂直.(H)V(ma+nb)=(m,0)+(n,n)=(m+n,n)又(ma+nb)C,-n(+n)xT(1xn)=0,2mn若(ma+nb)nc,贝U2.m点评】抓住坐标运算不出错再用平行与垂直的坐标公式关键是向量的平行与垂直公式不混淆属于基础题。【跟踪练习1】(2017春遵义县校级期末)己知平面内三向量a=(2,1),b=(-1,3),c=(-22).(1)求满

3、足a=mb+nc的实数m,n；(2)若(2a+kc)ll(b+c)，求实数k的值;(3)若(2a+kc)丄(bc),求实数k的值.【解答】解:(1)mb+_nc=m(13)+n(2,2)=(-m2n,3m+2n)=(21),m2n2，解得m-3,n-43m+2n124(2)2a+kc=2(21)+k(-22)=(4-2k,2+2k),b+c=(-3,5)13/(2a+k)lL(b+c)，:5(4-2k)(3)(2+2k)0_,解得k2(3)V(2a+&c)(b+c)，由(2)可得:-3(4-2k)+5(2+2k)=0TOC o 1-5 h zk8利用坐标运算解决向量的线性运算问题有关于坐标运算

4、的法则如下：(1)设a=(x,y),b=(x,y),则a+b=(x+x,y+y);(2)设11221212a=(x,y),b=(x,y)，则a一b=(xx,yy);设A(x,y),B(x,y),则112212121122ABOBOA(xx,yy)；_设a=(x,y),XeR，则九a=(九x,九y);(5)设f212Ta=(x,y),b=(x,y)，贝卩ab=(xx+yy).11221212【典型例题2】如图，在口ABC中,ZACB90,且ACBC3，点M满足BM2MA1)用CA、CB1)用CA、CB向量表示向量CM；求CMl2)【解答】解：如图建立平面直角坐标系由题意知：A（3,0）,（0,3

5、）,（1分）设MCx设MCx，y),由BM=2MA得:(x,y3)=2(3-x,-y),4分)x=2(3-y)y-3=-4分)21设CM二九CA+九CB，可求出九二九二-,12132321.CM二-CA+-CB(8分)33ACM=(),1CMI二耳22+12=乜5(12分)及到平面向量的基本定理。增加了代数运算，涉及到平面向量的基本定理。增加了代数运算，涉【跟踪练习2】（2018宁城县模拟）如图，在矩形【跟踪练习2】（2018宁城县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=迈,BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB-AF=迈，则AEBF的值是（）A.2-迈B1C.2D.2【解答】解：据题

6、意，分别以AB、AD所在直线为x,y轴,建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0,0）,B（迈,0）,E（迈-设（x,2）；AB-AF=G，.2,0)-(x,2)=j2x二巨x=1；(1,2),AE=G./2,1),BF=(,2)；AE-BF=J2-2+迈=巨故选：C3.向量的数量积问题3.向量的数量积问题（1）a与b的数量积（或内积）:ab=|a|b|cos0；（2）投影：|b|cos0是向量b在向量G方向上的投影;（3）两向量的夹角公式：a-bcos0=a-bcos0=IaIlbIxx+12y2(a=(x1,y1),b=(x2,y2).【典型例题3】如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A,D

7、分别在x轴、y轴正半轴上移动，则OBOC的最大值是（）TOC o 1-5 h zA.2B.1C兀D.4【解答】解：如图令ZOAD=0，由于AD=1故OA=cos0,OD=sin0,兀兀兀女口图ZBAx=-0,AB=1,故x=cos0+cos(-0)=cos0+sin0,y=sin(-0)=cos0,2B2B2故OB=(cos0+sin0,cos0)同理可求得C(sin0,cos0+sin0)，即OC=(sin0,cos0+sin0),OB-OC=(cos0+sin0,cos0)(sin0,cos0+sin0)=1+sin20,OBiOC三1+sin20的最大值是2,故选：A【点评】数量积问题要

8、注意投影概念的使用，利用几何性质会使问题简单很多【跟踪练习3】6（2017秋杨浦区校级月考）已知在AABC中，P是边AB上的一个01定点，满足PB=-AB，且对于边AB上任意一点P，恒有PB-PCPB-PC，贝卩（0400兀兀A.B=B.A=C.AB=ACD.AC=BC22【解答】解：设丨丽=4,川師|=1,过点C作AB的垂线，垂足为H,在AB上任取一点P，设HP=a，如图所示;0贝由数量积的几何意义可得,PB-PC=PB-PH=PB2-(a+1)|PB,PB-PC=PB-PH于是PBiPCPBiPC恒成立,00整理得f基(a+1)|PB+a0恒成立，只需A=(a+1)24a=(a1)20即可

9、，于是a=1,因此我们得到HB=2，即H是AB的中点,AABC是等腰三角形，即AC=BC故选：D故选：D4.向量的模模长公式：Ia|模长公式：Ia|2=【典型例题41(2017春辽宁期末)已知向量二二满足|：|二2,禹二：込=3,2_若(C-2a)-(C一b)=0，则b-c的最小值是()A.2-込B.2+J3C1D2B【解答】解：根据条件，设a=(1,.3),b=(3,0)，设c=(x,y)，则:(c-2a)-(c-2b)=(x-2,y-23)-(x-2,y)=0(x-2)2+(y-卧=3；的终点在以(2,訂)为圆心，再为半径的圆上，任-；|的最小值为:(2-3)2+G/3-0)2-訂二2-朽

10、故选：A【点评】向量模的问题在于公式的运用，很多同学用Ia|2=aa，但最终会忘了开根号，建议一开始就是用Ia1=Ja-a。一一一【跟踪练习4】若非零向量；与向量乙的夹角为钝角，|览=2，且当t=-*时，b-ta|取TOC o 1-5 h z最小值T3向量c满足(c-b)丄(c-a)，则当c*(a+b)取最大值时，|c-b|等于()A.左B.2运C2迈D.【解答】解：|电-|2=b-ta2=a2t2-2ta-b+b2_a-b厂(a-b)2a2a2当t=-1时，b-ta取最小值732a-b_1(a-b)2=_,4-=3,a22a2解得|a|=2,a-b=-2,2x2xcos=-2,cmVa,b=

11、-；：,b=向量c满足(cb)丄(ca),-(x2)(x+1)+y(y恋3)i.-3=(x-2)2+(y-：)2-3=IJ3(x-2)2+(y-寸=3(*)c-(a+b)二(x,y)-(1(3)二x+3y当上述直线与(*)相切时，当上述直线与(*)相切时，三，解得t二22站3,此时联立It二22站3,此时联立I取t二2+2,；3时，厂冷+b)取最大值.,解得茴弋匚4仝.故选：A.5.向量的极化恒等式问题(1)向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的4即:(2)abJamI2-(1)向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“

12、差对角线”平方差的4即:(2)abJamI2-1|BCI2-这个公式将向量的加法、减法和数量积融合在一个式子中，备受命题老师的青睐,浙江省考卷从2008年开始多年考卷考查到这个知识点。【典型例题5】如图，线段AB长度为2，点A,B分别在x非负半轴和y轴非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD,BC=1,O为坐标原点，则OC-OD的取值范围是解：OC=OB+BC,OD=OA+AD,BC=ADOC-OD=(OB+BC)-(OA+AD)_一_=OA-OB+(OAOB)-BCiBCI二(OA+OB)BC+L_一而设AB的电点为M，则(OA+OB)=2OM,所以(OA+OB)BC=2

13、OM匹胡OMIIBCIcos=2x3xlxcos,兀而e0,-所以OC-ODe171.【点评】极化恒等式在平行四边形和三角形中的几何意义是关键，寻找中点是突破口。【跟踪练习5】在AABC中，M是BC的中点，AM=3,BC10则ABAC_-16一解：AB-AC=(AM+MB)-(AM+MC)=(AM+MB)-(AM-MB)=AM2-MB2=9-25=166向量与三角函数结合问题向量与三角内容的结合会从以三角形为载体的三角函数问题(几何性质角度)或数量积的形式得出关于角的一个函数问题(代数性质角度)。【典型例题6】已知向量a=(cos。,sin0),b=(cos20,sin20),c=(1,0),

14、d=(0,1).求证：且丄b+c);一_设f8)二：-：)，当卡)时，求f(0)的值域.【解答】解：(1)Ta-b=cos0cos20+sin0sin20=cos0,a-c=cos0.a-(b+c)=a-b+a-c=cos0一cos0=0，frfrfr:且丄b+c)(2)Va-d=sin0.:f(0)=a-(b一d)=a-b一a-d=cos0sin0=*2(工2cos0sin0)=、2cos(0+).TOC o 1-5 h z2240e(0,(0+)e(,3)2444兀22cos(0+)e(,)-4221_2cos(0+)e(1,1)4f(0)e(一1,1)【点评】本题考查了数量积运算、向量垂直