基于边界条件和突变条件确定内力方程的一种方法

1、基于边界条件和突变条件确定内力方程的一种方法摘要：材料力学是理工科的专业基础课，能直接应用于工程实际，而杆件内力图是材料力学的核心内容，尤其是弯矩图, 如何让学生快速、准确地绘制杆件内力图)为重要本文以弯扭拉组合变形杆件为研究对象，基于空间任意力系的平衡方程 和微元法思想，建立了各种基本变形杆件的分布载荷和内力之间的关系，并给出了基本变形杆件的边界条件和突变条件提 出了确定内力方程的一种新方法，结合算例给出了详细的过程与传统方法相比，该方法的优点是不需要预先求解杆件的约 束反力课堂教学效果表明，学生更偏向于利用该方法确定内力方程和做内力图，准确率高.关键词：内力方程；内力图；边界条件；匹配条件

2、图1弯扭拉组合变形杆Fn(x)-Fs(x)q(x)图图1弯扭拉组合变形杆Fn(x)-Fs(x)q(x)图2微段的受力图Mx)及)岫+烦工)F+dF/c)Fs(x)+dFs(x)杆件内力图能够清晰地反映杆件内力随横截面位置变 化的关系，同时也能确定杆件最大内力的数值及其所在截 面的位置，即确定杆件危险截面的位置，为杆件强度计算提 供依据.梁的弯曲是材料力学课程的核心内容，也是应力应 变状态、组合变形、能量法、超静定结构等内容的基础，而梁 的剪力图和弯矩图是梁的弯曲的核心内容山.由此可见，杆件 内力图在材料力学课程中具有举足轻重的地位,让学生 熟练掌握杆件内力图的绘制并应用到工程实际至关重要.绘制

3、内力图，是公认的“材料力学的看家本领”，也是考 核材料力学教学质量的一个重要方面妙目前,材料力学XT 课程中杆件内力图常用的绘制方法有两种：一种是根据内 力方程绘制内力图；另一种是简易法作图,即根据载荷集度 和内力之间的微分关系以及积分关系绘制内力图.根据内力 方程绘制内力图学生易于掌握，但列内力方程的过程较为 复杂,容易出错；而简易法作图方法简单,但部分学生很难 掌握.从历年教学和考试情况来看,学生在做杆件的内力图 时，尤其是剪力图和弯矩图，更喜欢列剪力方程和弯矩方程 作剪力图和弯矩图.无论采用哪一种方法绘制杆件的内力 图，首先需要列平衡方程求解杆件的约束反力.本文以弯扭拉组合变形杆件为研究

4、对象，基于空间任 意力系的平衡方程和微元法思想，建立拉压杆上的分布载 荷和轴力间的关系、圆轴上的分布载荷和扭矩间的关系、梁 上的分布载荷和内力间的关系.然后,提出了确定内力方程 的新方法.最后,结合拉压杆、圆轴、梁的算例详细介绍了确 定内力方程(不求(约束反力)的详细过程.1载荷集度和内力间的关系如图1所示杆件，在外载荷作用下产生弯扭拉的组合 变形.以杆件轴线为X轴,y轴向上为正.分布载荷的集度/闵、m(x)、q(x)是X的连续函数，且规定a(x)向左为正、分布力 偶的集度m(x)的矢量方向向左为正,q(x )向上为正.在距原点 为x处，从杆件中取出长为dx的微段，如图2所示.由于杆 件产生弯

5、扭拉的组合变形，因此杆件左边截面上有轴力FN 闵、扭矩T(x)、剪力FS(x)和弯矩M(x);由于分布载荷的影响, 微段右边截面的轴力、扭矩、剪力和弯矩相对于左边截面的 这些内力有相应的增量,因此右边截面的轴力、扭矩、剪力 和弯矩分别记为 FN(x)+dFN(x)、T(x)+dT(x)、FS(x)+dFS(x)和 M 闵+dM(x).微段两边截面上的内力均取正值,且所取微段内 无集中力和集中力偶的作用.对微段列平衡方程,! Fx=O、！ Mx=O、！ Fy=O和！ M；=0,dFN(x)/dx=a(x)(1)dT(x)/dx=m(x)(2)dFs(x)/dx(q(x)(3)dM(x)/dx(F

6、s(x)(4)式一(4)分别表示轴力和载荷集度间的微分关系、扭矩 和载荷集度间的微分关系、剪力和载荷集度间的微分关系 以及弯矩和剪力间的微分关系.材料力学教材已经推导了 载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系，即式和式(4).材料 力学教材针对式(3)和式(4)已得到一些推论，在此不再叙述. 下面分析式和式(2).在杆件的某一段内，当a(x)(O时，由dFN(x)/dx(a(x)(O可 得，杆件此段内的轴力FN(x)(常数，轴力图是平行于x轴的 直线;在杆件的某一段内，当a(x)(常数时,由式可知该段 杆件的轴力是关于x的一次函数，轴力图是一条斜直线.在杆件的某一段内，当m(x)(O时,由式(2)可

7、知,杆件此 段内的扭矩T(x)(常数，扭矩图是平行于x轴的直线；在杆件 的某一段内，当m(x)(常数时,由式可知该段杆件的扭矩 是关于x的一次函数，扭矩图是一条斜直线.对式-式(4)进行积分，可得： TOC o 1-5 h z Fn(x)(!a(x)dx+C(5)T(x)( j m(x)dx+C(6)F$(x)( jq(x)dx+CiM(x)( jF；(x)dx+Ci(8)如果已知杆件在x处的内力，那么就能确定式(5)-式(8) 中的积分常数，从而确定了杆件的内力方程，相应的内力图 也就容易绘制了 本文根据杆件的边界条件和突变条件确定 积分常数,确定积分常数的相关方程称为边界条件.表1列 出了

8、梁在不同约束处剪力和弯矩的情况.表1不同约束处的剪力和弯矩约束类型FSM固定支座(无集中力偶)OO固定端OO圆柱链(无集中力偶)OO自由端(无集中力和集中力偶)OO注意：表1中FSO、MO不是边界条件.拉压杆轴力图和圆轴扭矩图的绘制较简单，此处不再 详述.下面将详细叙述利用该方法绘制剪力图和弯矩图的方 法.与教材上常用的两种绘制剪力图和弯矩图的方法相比, 通过该方法绘制剪力图和弯矩图，不需要求解梁的约束反 力.如果梁在某些约束处的约束力已知，那么也可通过这些 约束力确定积分常数.式(5)-(8)中的积分常数仅通过边界条件不能完全确定, 还需要联合突变条件：如果在梁的某一截面处有集中力的 作用，

9、那么剪力图在此截面有突变;若在梁的某一截面处作 用着集中力偶，那么弯矩图在此截面有突变表2、=3和表4分别列出了杆、圆轴和梁的突变条件.表3 圆轴的突变条件轴段扭矩TA 右(TA 左+e扭矩TA 右(Ta 左一Me表2 杆的突变条件杆段轴力y1A FTba 右(Tba左+FF ATba 右(Tba左-F表4梁 的突变条件梁段剪力弯矩fsa 右(fsa 左-fMa右(Ma左fsa 右(Ffsa 右(fsa 左-fMa右(Ma左fsa 右(FSA 左+Fma右(ma左Ma 右(Ma 左-+fsa 右(fsa 左Ma 右(ma 左+fsa 右(FSA 左Fn(x)(CFN(x)(ax+C(9)当圆轴

10、的某一段内无分布载荷的作用，即m(x)(O当圆 轴的某一段内作用均布载荷，即m(x)(m(常数由式(6)可知, 该段圆轴的扭矩图为 ：(9)T(x)(CT(x)(mx+C(1O)当梁段内无分布载荷作用时，即q(x)(O，由式和式(8) 可知 ,该梁段的剪力方程和弯矩方程分别为 ：(1O)Fs(x)(CiM(x)(Cix+Ci(11)当梁段内作用均布载荷作用时,即q(x)(q(常数,由式 和式(8)可知，该梁段的剪力方程和弯矩方程分别为：(11)Fs(x)(qx+CiM(x)(qx2+Cix+Ci(12)下面将通过具体的例题说明如何在不求解约束反力的 情况下,利用该方法确定杆件的内力方程,进而绘

11、制内力图. 2算例分析(12)算例1图示等直杆的A、B、C点分别作用着大小为 Fa(6F、F(2F、Fc(5F的力，方向如图所示，杆件的AB段作用 着载荷集度为a(3F/l的分布载荷，方向如图所示，试作杆件 图3轴向拉压杆作该杆件的轴力图需要分以下五个步骤：第一步:判断列轴力方程需要分几段.列该杆件的轴力 方程需要分OA、AB和BC三段.第二步：根据杆段上的分布载荷情况分段列出杆段的 轴力方程.杆件0A段和BC段均没有分布载荷的作用，其载荷集 度a(0,根据式(9)可知，杆件OA段和BC段的轴力方程分别 为: TOC o 1-5 h z FN1(x1)(C1 0 x/1(13)Fn3(X3)(

12、C3 21X331(14)杆件AB段受到分布载荷的作用，其载荷集度a(-3F/1, 根据式(9)可知,杆件 AB 段的轴力方程为：FN2(x2)(-_x2+C2 10221(15)式(13)-(15)表明,该杆件的轴力方程中有3个积分常 数,确定这3个积分常数需要3个突变条件.第三步：根据杆件的突变条件确定轴力方程中的积分 常数.该杆件在C截面作用向右的集中力，根据表2可得到 突变条件为 ：X3(31,Fn(31)-5F(0(16)该杆件在A截面作用向左的集中力，在B截面作用向 右的集中力，因此，根据表2可得到该杆件的突变条件为：X1(X2(1, Fni(1)+Fa(FmQ)(17) X2(X

13、3(21 , Fn2(21)-Fb(Fn3(1)将该杆件的突变条件代入杆件的轴力方程(13)-(15),即 可确定出这 3 个积分常数：C1(4F,C2(13F,C3(5F.第四步：确定杆件的轴力方程.F.1(x1)(4F, 0X1lFN2(x2)(-_x2+13F,lx221(18).Fn3(x3)(5F, 2lx33l第五步：根据杆件的轴力方程作轴力图.如图4所示.算例2作图示圆轴的扭矩图.该例题选自文献用 作该圆轴的扭矩图需要分以下五个步骤： 第一步：判断列扭矩方程需要分几段.列该圆轴的扭矩 方程需要分OA、AB两段.第二步： 根据圆轴上的分布载荷情况分段列出 圆轴的 扭矩方程.圆轴OA

14、段没有分布载荷的作用，其载荷集度m(0，根 据式(1。)可知,圆轴OA段的扭矩方程为：T1(x1)(C1 0X11(19)圆轴AB段受到分布载荷的作用，其载荷集度m=-2,根 据式(1。)可知,圆轴AB段的扭矩方程为：T2(x2)(-2x2+C2 1022(20)式(19)-(20)表明，该圆轴的扭矩方程中有2个积分常 数,确定这 2 个积分常数需要 2 个突变条件.第三步：根据圆轴的边界条件和突变条件确定扭矩方 程中 的积分常数.该圆轴在B截面没有集中力偶的作用，根据表3可得 到 B 截面的突变条件为：x2(2,T(2)(0(21)该圆轴在 A 截面没有集中力偶的作用,因此,根据表 3 可得

15、到该圆轴的突变条件为 ：X1(x2(1,T1(1)(T2(1)(22)将该圆轴的边界条件和突变条件代入圆轴的扭矩方程 (21)-(22),即可确定出这2个积分常数：C1(2,C2=4. 第四步：确定圆轴的扭矩方程.T1(x1)(2, =X1%l&(23)I TzN)(-2x2+4, l % X2 % 2第五步:根据圆轴的扭矩方程作扭矩图.如图6所示.T/KN- m图6 扭矩图算例3外伸梁及其所受载荷如图7所示，试作梁的剪 力图和弯矩图.该例题选自文献电图7弯曲变形梁作该外伸梁的剪力图和弯矩图需要分以下五个步骤： 第一步：判断列剪力方程和弯矩方程需要分几段.列该外伸梁的剪力方程和弯矩方程需要分A

16、C、CB和BD三段. 第二步：根据梁段上的分布载荷情况分别列出梁段的 剪力方程和弯矩方程.梁AC段受到均布载荷的作用，其载荷集度q(-2kN/m, 根据式(12)可知，梁AC段的剪力方程和弯矩方程分别为： Fsi(x1)(-2x1+Ci , Ovxi! 4(24)I：1(X1)(-Xi2+CiXi+C*, 0!xi!4梁CB段没有受到分布载荷的作用，其载荷集度q=0, 根据式(11)可知，梁CB段的剪力方程和弯矩方程分别为： Fs2(X2)(C3, 4!x*6(25)lM2(X2)(C3X2+C4, 4X2!6梁BD段没有受到分布载荷的作用，其载荷集度q(0, 根据式(11)可知，梁BD段的剪

17、力方程和弯矩方程分别为： FS3(X3)(C5, 6x8(26)M(x3)(C5x3+C6, 6!x!8式(24)-(26)表明，该外伸梁的剪力方程和弯矩方程中有 6个积分常数,确定这6个积分常数需要6个边界条件和突 变条件.第三步：根据梁的边界条件和突变条件确定剪力方程 和弯矩方程中的积分常数.该外伸梁的边界条件为 ：fXi(0, Mi(0)(0(27)lx(8,：30)(0该外伸梁在C截面没有集中力的作用，但受到集中力 偶(顺时针转向)的作用,因此梁的剪力图在C截面没有突 变,而弯矩图在该截面向上突变10kN，m；在B截面没有受 到集中力偶的作用，因此梁的弯矩图在B截面不会突变；在 D截面

18、受到向下集中力的作用，因此梁的剪力图在D截面 向下突变2kN到零.综上所述,该外伸梁的突变条件为： xi(x2(4 , Fsi(4)(Fs2(4) ,Mi(4)+10(M2(4)x2(x(6 , ：2(6)(M(6)(28)x(8&(8)-2(。将该外伸梁的边界条件和突变条件代入梁的剪力方程 和弯矩方程(24)-(26),即可确定出这6个积分常数：Ci=3, C2(0, C=-5, C4(26, C5(2, C=-16.第四步：确定剪力方程和弯矩方程.将积分常数代入式(24)-(26),即可得到梁ACCB和BD 段的剪力方程和弯矩方程分别为：上述3个算例表明，利用该方法绘制杆件内力图的优 点有：不需要预先求解杆件的约束反力；(2)易于学生理解 和掌握；(3)结合各种基本变形杆件的突变条件可以检查内 力图的正确性.3结论本文以产生弯扭拉组合变形的杆件为例，建立了弯扭 拉组合变形杆件的内力与分布载荷之间的关系.并提出了确 定杆件内力方程的一种新方法，结合算例给出了详细的过 程，得到如下结论：根据内力与载荷集度之间的微分关系,分析了各种 基本变形杆件在无分布