基于力学分析的罚篮最优出手参数研究

1、基于力学分析的罚篮最优出手参数研究摘 要：本文建立了罚篮过程中篮球运动的三维数学模型，采用数值模拟方法，得到了使篮球空心入筐的出手 仰角、速率、横向角构成的三维参数相空间，并提出了基于参数相空间和篮球运动员出手稳定性特点确定最优出 手参数的方法。通过对比计算发现，与出手速率精确性高的运动员相比，出手角度精确性高的运动员在瞄准时 有更大的容错范围，其最优出手仰角也相对较大。关键词：篮球;相空间；罚篮随着篮球运动的不断发展以及竞赛规则的修 订,罚篮已成为篮球比赛中的一个重要部分。罚 篮是篮球比赛中唯一一个不受对方干扰的直接得 分手段，是决定比赛胜负的关键因素之一，因而备 受重视。为了帮助篮球队员掌

2、握其中的科学规 律,达到提高罚篮命中率的目的，人们对罚篮过程 进行了大量的理论和实验研究，其中罚篮过程中 的最优出手参数一直是篮球理论的研究热点。 Brancazio 认为最优投篮仰角应允许球在入筐时 有前后方向上的最大容错空间，他将篮球视为仅 受重力影响的质点，通过对篮球运动轨迹方程求 导，发现最佳投篮仰角对应着最小出手的速度，投 篮的重点应在于掌握最小出手速度。Fontanella2 则通过篮球视角，根据篮球入筐的通道横截面与 不同入筐角度的关系，提出一个比较陡的投篮轨 迹更容易使篮球空心入筐。Lang等则从运动员 的视角出发,认为罚篮过程中篮球的最优飞行轨 迹应使投篮仰角有最大容错空间。

3、Seppala- Holtzman4则根据轨迹平面内的“投篮仰角-速率” 相图确定罚篮时的最优出手参数。然而,上述文 献均将投篮简化为二维平面运动，忽略了投篮过 程中篮球的横向偏差，而篮球在横向的偏离程度 是影响投篮结果的重要参数之一。讨论篮球在横 向的偏离程度需要建立投篮的三维物理模型，Sil- verberg和Tran5-7虽然最早建立了投篮的三维模 型，但他们只是着重讨论了罚篮过程中篮球打板、 碰筐后，篮球自转等因素对命中率的影响。到目 前为止，人们还没有找出使篮球空心入筐的出手 参数的三维相空间图像，及横向容错空间随其它 参量的变化规律。因此，在三维物理模型的基础 上讨论罚篮过程中的最

4、优出手参数问题仍具有十 分重要的意义。本文建立了受重力、浮力、空气阻 力影响的篮球运动三维物理模型，得到了三维参 数相空间的一般图像，并提出了基于三维相空间 和篮球运动员出手特点而确定最优出手参数的方 法。1物理模型及空心入筐判据篮球在飞行的过程中，主要受重力、浮力和空 气阻力的作用，马格努斯效应对篮球的影响微弱， 在研究篮球运动时通常忽略。罚篮过程中，篮球 在空中飞行时速率数量级为100 m/s，这时篮球受 到的空气阻力f与速率v的关系式为f = kv，其中 空气阻力系数k =0.053 kg/s。文中其它参数选取:标准篮球半径r =0.120 m，质量M =0.60 kg，所 受浮力Fb

5、=0.102 N，篮筐半径R =0.225 m,篮筐离 地高度H =3.050 m，重力加速度g=9.80 m/s2。建立如图1所示参考系。根据篮球运动过程 中受力情况，对篮球应用牛顿运动定律，得(1(1)图1投篮示意图Fig.1 Schematic diagram of basketball shooting设篮球出手瞬间其中心处在坐标原点。，篮 球出手时的初速度为Vo，其与水平面xOy夹角为 B，初速度v0在xOy面上的投影与y轴夹角为中， 则方程组（1）的解析解，即篮球球心位置坐标（x， y，z ）所遵从的运动方程为-给.x = 11- e m lmVo cos B sin 甲/k(-Q

6、y = 11-e m lmv0 cos B cos H-h + r ；当y = l + R时，高度坐标z0。部分。同时，由对称性可以确 定，横向瞄准角9的最优值是0。但横向瞄准角 9的容错范围却依赖于出手参数（vo , B ）的选 择。当篮球以极限的出手速率和极限投篮仰角投 出时，篮球若能空心入筐，则要求篮球不能在横向 上有任何的偏差，即此时9的容错范围为零。 最大容错范围为 4 =1.3, 只出现在（B - %）相 图中极限投篮参数所包围区域中颜色最浅的位 置，如图2b所示。使篮球空心投中的最小投篮仰 角Bmin =46.3和最小出手速率Vomin =7.65 m/s。出 手仰角小于最小投篮

7、仰角。，皿，不论出手速率多 大，篮球均不能空心入筐。同理，出手速率小于最 小投出手速率Vo,.，不论出手仰角多大，篮球均不 能空心入筐。为更好地反映相空间的性质特点，计算了在 不同出手速率，篮球空心入筐对应的出手角度（9 - B ）相图，以及不同出手仰角，篮球空心入筐对应的 出手速率-横向角度（9 - vo ）相图。如图3所示，不同的出手速率，对应（9 - B ）相 图的面积、形状均有差别。在速率增加的过程中， （9 - B ）相图面积先增大后减小。（9 - B ）相图面积 越大，则说明以该出手速率投篮时,角度上的容错 范围也越大。如果篮球出手速率能够得到保证， 则以使（9 -。）相图面积取最

8、大值的速率出手，篮球图2罚篮出手参数（q, ,0，）相空间Fig.2 Phase space of parameters ( v,伊/()a. v0Fig.2 Phase space of parameters ( v,伊/()a. v0=7. 66 m/ s伊/()图3罚篮出手不同的出手速率的（w - 0）相图Fig.3 甲-0 phase spaces for different throw velocities空心入筐的概率最高。在速率增加的过程中，还 可以发现（中-0 ）相图经历了从一个区域变为两个 区域再到一个区域的过程。图3c中（w - 0 ）相图 分成上下两个区域，说明以速率v0

9、 =7.70 m/s投篮 存在两种抛物线选择。一种是0相对较小的低弧 线抛物线，另一种是0相对较大的高弧线抛物 线。上下两个区域并非是对称的，上半区域的面 积、高度、宽度明显要大于下半区域，这说明选择 高弧线抛物线出手角度上的容错范围更大，篮球 空心入筐概率会更大一些。这种差异也可以用 Fontanella的理论2来解释:在于选择0相对较大 的高弧线抛物线罚篮时，篮球入筐时的角度a更 大，篮球入筐的通道横截面也更大，即篮球入筐时 允许的位置偏差范围更大。如图4所示，不同的出手仰角，对应（,-v0 ）相 图的面积、高度依次增大、相图在坐标系中的位置 也依次升高，这说明投篮仰角增加的过程中，速度

10、上的容错范围依次增大;选择较大的投篮仰角，应 相应地提高篮球的出手速率。和（,-e ）相图不 同，（,-vo ）相图不仅有左右对称的结构，也有上 下对称的结构。两种相图的最大宽度，仅在vo、e 较小时，小于2小,叩。6 4 2 08.8.8.8.6 4 2 08.8.8.8.1 zr II1IIIIII7 -2. 0-1. 00. 01. 02. 09/()b.0=557. 8伊/cd.d=651 Z-|IIIIIIII-2. 0-1. 00. 01. 02. 0)a. 9=50() cM=60图4罚篮出手不同的出手仰角的（w 0）相图Fig.4 甲-Vo phase spaces for d

11、ifferent 0 values3罚篮时的最优出手参数在罚篮参数三维相空间确定后，可根据篮球 运动员的出手稳定性特点确定其最佳罚篮参数。 假定某篮球运动员进行罚篮时，每次篮球出手的 位置变化不计，篮球出手速率、出手仰角、横向角 的标准偏差（或标准偏差的倍数）分别为X。、八、 b,。则应以8aaea为标准体元，以参数（v。， e，,）空间中各点为中心，计算标准体元内相空间 的体积。标准体元内相空间的体积越大,则说明 罚篮时出手参数的容错范围越大,篮球空心入筐 的几率就越高。使相空间体积取最大值的中心点 所对应的一组参数（Vo ,e，甲）,即为该运动员罚 篮时的最优出手参数。最优参数中，中=0是

12、确定的，仅需研究出手 速率和投篮仰角的最优选择。以（a） bv。=0.025 m/s、 be =2、b, =1.3和（b）七=0.05 m/s、ae =1、av = 1.3两种情况为例，对最优参数的选择进行研究。 这两种情况对应的标准体元的体积是相同的，但 在出手速率和投篮仰角的偏离度上刚好相反：（a） 情况的出手速率偏差小，仰角偏差大；（b）情况出 手速率偏差大，仰角偏差小。标准体元内罚篮出 手参数相空间体积与篮球出手速率、投篮仰角 平的关系如图5所示（a）情况对应的最优出手参 数 v0 =7.69 m/s，e =52.2, , =0； （b）情况对应的最 优出手参数v0 =7.86m/s，

13、e =58.3，平=0。通过对 比不难发现，出手速率稳定性好的运动员选择投 篮仰角应相对较低，出手角度稳定性好的运动员8. 6v0=7. 69 m/ s8. 6v0=7. 69 m/ s7. 88. 48. 01 008.2 e/()a. (a)情况图5标准体元内罚篮出手参数相空间体积与篮球出手速率Vo、投篮仰角0的关系图Fig.5 Phase space volume in standard volume element as functions of velocity v, and vertical angle 0选择投篮仰角应相对较高。这一现象可以通过中=0时的速率容错范围 Av。与投篮

14、仰角0的关系图像(图6)，以及投篮仰 角容错范围A0与速率V。的关系图像(图7)进行解 释。图6显示，在投篮仰角大于最小投篮仰角 0mm =46.3。后,速率容错范围近似线性地随投篮仰 角的增大而增大，出手角度稳定性好的运动员若 要获得较大的速率容错空间就要增大投篮仰角。 而图7显示，出手速率大于最小出手速率v0min = 7.65 m/s后，随出手速率的增大投篮仰角容错范围 迅速地达到峰值，而后又急剧减小，最后趋于稳 定。出手速率稳定性好的运动员若要获得较大的 投篮仰角容错空间，就要选择峰值附近的速率出 手。 004550 0045505560658/()图6速率容错范围Aq,与投篮仰角0的

15、关系图Fig.6 Velocity error tolerance Av, versus vertical angle 0o.o.o.另外一个非常值得关注的现象是，图5b相空 间中，容错范围与最优参数相近的区域更大，这说 明出手角度精确性更高的运动员在罚篮过程中更 有优势，即使其在瞄准时出现了一定的偏差，篮球 也会有较大的几率空心入筐。图7投篮仰角容错范围A0与速率V,的关系图Fig.7 Vertical angle error tolerance A0 versus velocity v, 在有激烈的身体对抗的篮球比赛中，运动员 肌肉的紧张会使得力量控制的精度以及对篮球出 手速率控制的精度降低，但篮球运动员仍可通过 标准的身体形态与持球手型，尽力保证篮球出手 时角度的精确性。而本文的计算显示，篮球出手 角度的精确性高的运动员在罚篮过程中不仅更有 优势，其最优出手仰角也相对较大，而这刚好与目 前美职篮罚篮命中率最高的运动员StephenCurry的出手特点和出手选择910相符合。因此，篮 球运动员应通过科学的训练努力确保罚篮时篮球 出手角度的精确性。虽然本文研究的是罚篮时篮球空心入筐的情 况，但本文的方法也可帮助篮球运动员确定中远 距离定点投篮时的最优出手参数。4结论本文在建立罚篮过程中篮球运动的三维物理 模型过程中，考虑了篮球受到的重力、浮力、空气 阻力的