创意平板折叠桌的数学模型数学建模B题

1、2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参 赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下 载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有 违反竞赛章

2、程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：16019013所属学校（请填写完整的全名）：河南理工大学万方科技学院参赛队员（打印并签名）：1.赵志领王京广郭涛指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：冯广庆（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容 请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）

3、日期：2014年9月上日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：创意平板折叠桌的数学模型摘要本文主要研究的是创意平板折叠桌的设计加工问题，对设计加工参数进行分析和优 化并为公司开发设计折叠桌软件提供数学模型，为解决这些问题建立不同的数学模型并 用MATLAB进行模型求解。针对问题一，本文建立了模型工一一动态变化及数学描述模型。利用解析几何求出 每根桌腿由平铺状态到

4、完全展开过程中转过的角度来描述折叠桌动态变化过程，并在此 基础上用MATLAB解出设计加工参数:桌腿木条开槽长度3，三维空间桌脚边缘线。针对问题二，本文建立模型口一一设计加工参数模型。采用多目标决策分析方法使 产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度K和长方形平板面积S必须达 到最小，对于任意给定的高度H和圆形桌面直径R确定：决策变量：a 1（桌面最外侧木条的半长），1（最外侧桌腿的竖直偏角），p （最外 侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值）目标函数：K （开槽总长度），S长方形木板面积用MATLAB求解出多组方案并确定目标函数最小的最优方案，列出设计加工参数。针对问题三，本文

5、建立了模型田一一软件设计模型。根据客户设定的高度、桌面边 缘线形状大小为客户提供三种桌面形状：圆形桌面，圆弧和矩形组合桌面，“8” 字形桌面。对于圆形桌面可参照模型H；对于组合桌面，可在模型H的基础上通过增大 最外侧桌面木条的长度、来实现；对于“ 8”字形桌面则可将两个组合桌面的直线边进 行对接，所以模型三的建立和求解便可在模型口的基础上改动来实现。关键词：解析几何MATLAB多目标决策分析EXLINK.问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张 平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分 别固定在桌腿各组最外侧的两根木条

6、上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子 外形由直纹曲面构成，造型美观。试建立数学模型讨论下列问题：.给定长方形平板尺寸为120 cm X 50 cm X 3 cm,每根木条宽2.5 cm,连接桌 腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立 模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如， 桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠 桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参 数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。

7、对于桌高70 cm,桌面直径80 cm的情 形，确定最优设计加工参数。.公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘 线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最 优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。团队的任务是帮助 给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠 桌。给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。.问题分析问题一的分析问题一要求我们建立模型描述折叠桌的动态变化过程并给出设计加工参数，由于长 方形平板尺寸和每根木条的宽度及钢筋的位置都为已知，所以只需假设最

8、外侧桌面木条 的半长，根据桌子的对称性研究桌子左边最外侧到中间的桌腿，利用空间几何建立数学 模型，再用MATLAB对模型求解得出设计加工参数，用EXLINK导出每根桌腿转过的角度。问题二的分析问题二要求我们做到产品稳固性好、加工方便、用材最少，对于已定的桌高和桌面 直径确定最优设计加工参数。由问题一中折叠桌桌腿的几何关系建立多目标决策分析模 型确定决策变量和目标函数，用MATLAB确定最优设计加工参数。问题三的分析问题三要求我们为折叠桌的设计软件提供数学模型，可根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线形状大小和桌脚边缘线的大致形状来给出所需平板的尺寸及加工参 数，对此我们充分的利用问题二的模型

9、来设计桌面边缘线的形状，使所建立的软件设计 模型易于求解。.模型的假设假设一：不考虑加工对长方形平板宽度带来的影响假设二：桌腿钢筋不会发生形变假设三：描述桌脚边缘线时桌脚为质点假设四：外侧桌腿和钢筋固定良好假设五：铰链不会发生形变且对设计加工参数无影响.问题一模型的建立与求解4.1符号说明:符号符号说明L i第i根桌腿腿长a i第i根桌面木条的半长a i第i根桌腿与竖直方向的夹角0 i第i根桌腿动态变化转过的角度Hi第i根桌腿底部距地面的高度R桌面外接圆半径h钢筋位置距桌面高度mi第i根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离b第一根桌腿底部距桌子竖直对称面的距离Ki第i根木条开槽长度模型I的建立（

10、数据单位均为cm）根据桌子的对称性只需研究桌子左边最外侧到中间的10根桌腿，设最外侧桌腿为第 一根桌腿1b其桌面木条的半长为4，以第一根桌脚为原点建立空间直角坐标系（见 图1）根据问题一所给尺寸计算出：第一根桌腿：腿长L1 = 60 - 4第一根桌腿底部距桌子竖直对称面的距离b = H tan a 1 + q桌腿与竖直方向的夹角a = arccos 101120 a1钢筋位置到桌子竖直对称面距离m1= 2、f(60 aj 502 + a1钢筋位置距桌面高度h = 25图3根据图2和图3计算可以得出： TOC o 1-5 h z 第，根桌面木条的半长a =、252 + a 2,5 - 2.511

11、1 i1桌面外接圆半径R = /52+ a 21第i根桌腿腿长L = 60 - a ii第i根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离m= mai第i根桌腿的竖直夹角a .二arctanmh h ，、一， 、 h第i根桌腿钢筋位置以上长度l =i cos ai第i根桌腿底部距地面的高度H = H - L cos a ii i第i根桌腿底部到桌子竖直对称面的距离Sj= a+ L sin a iX = b - Sii桌腿底部坐标Y = 2.5iiZ = Hii为了得出每根木条的开槽长度Ki,利用第i根桌腿钢筋位置以上长度li减去桌子平铺时候钢筋位置与折叠点的距离即：K = l -（30 - ai）模型I

12、的求解根据题中所给的图和木板的厚度，大致可以假设桌面最外侧木条半长a1为3，用 5MATLAB编程进行求解，程序见附录通过EXLINK导出桌面与竖直方向夹角a ,制出表格描述折叠桌动态变化的过程（见表1）桌腿第1根第2根第3根第4根桌腿与竖直方向夹a28.694412.147631063.175225706-3.250758279桌腿动态变化转过的角度061.305677.8523689486.8247742993.25075828第5根第6根第7根第8根第9根第10根-8.059088678-11.69189002-14.41203732-16.38860657-17.73218288-18

13、.512622198.05908868101.69189104.4120373106.3886066107.7321829108.5126221表1用MATLAB画出桌脚边缘线（见图3），程序见附录二桌脚边缘线三维图形图4桌脚边缘线各点坐标参数如下表:X0.00003.78337.56039.605310.6861Y2.50005.00007.500010.000012.5000Z0.00002.39315.36578.171310.6166X11.205411.407011.444111.413511.3740Y15.000017.500020.000022.500025.0000Z12.6

14、48914.269415.497616.356116.8632表2用EXLINK导出设计加工参数：桌面外接圆半径R = ；252 + a 2 = 25.17941桌腿开槽长度见下表：桌腿第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根开槽长度K06.8810.3413.1415.4717.3918.92第8根第9根第10根20.1020.9221.42开槽位置见下表:桌腿第2根第3根第4根第5根第6根第7根第8根第9根第10根li25.5725.0425.0425.2525.5325.8126.0626.2526.36表44.问题二模型的建立与求解5.1符号说明:符号符号说明S长方形平板面积K i第

15、i根桌腿的槽长L长方形木板长度d长方木形板宽度H桌子高度P最外侧桌腿钢筋的位置到折叠处的长度与桌腿的长度比值h第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离m i第i根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离a i第i根桌面木条的半长li第i根桌腿长度d桌子宽度f. /第i根桌腿钢筋位置以上长度a 1最外侧桌腿的竖直偏角R桌面直径5.2模型n的建立（数据单位均为cm）采用多目标决策分析方法使产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长 度K和长方形平板面积S必须达到最小，对于任意给定的高度H和圆形桌面直径R确定 最优设计加工参数，即输入桌高H及桌面直径R得出最优加工参数开槽长度K以及所需 长方木板长L和宽d由问

16、题一中图1解得第一根桌腿长度l =上二，设最外侧桌腿钢筋的位置到折叠12处的长度与桌腿的长度比值为p根据图1和图2得出第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离h = pH，桌宽d fR-a 2，4 i1第，根桌面木条的半长为a =、R-Id - 2.5G-1）1i 4 4第i根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离m = Apl -h 2 - a i y 1i第i根桌腿钢筋位置以上长度f=. hh 2 + m2所以可求出第i根桌腿的槽长K = f -（L - a ，即得出桌腿的总槽长K = 4严K，从i i l 2 i Jii =1而有：决策变量：a 1 （桌面最外侧木条的半长），a 1 （最外侧桌腿的竖直

17、偏角），p （最 外侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值）开槽长度K =川K目标函数4目标函数4i=1R2长方形平板的面积S = 2L R- - a 2415.3模型n的求解根据题中所给的图和问题一中木板的厚度，大致可以假设桌面最外侧木条半长a1等 于3，用MATLAB求解出多组方案。对折叠桌进行力学分析可得，当折叠桌的外侧桌腿垂直于地面时，折叠桌能承受的 正压力是最大的，此时能承受的侧向压力是最小的。当桌腿未完全展开时，其抗侧压力 性能强于抗正压力，若使折叠桌既能有较好的抗正压力和抗侧压力，则桌腿要与地面保持合适的夹角。通过对问题一中折叠桌支撑腿与竖直方向的夹角a1约等于28,并结合现实

18、生活中实际情况为使折叠桌的稳定性好，。1不能过小或过大，假设= 30由已知桌高H = 70,桌面直径R = 80,输入p , 的值，输出L,d,S,K，方案如下表：方案paLdSK10.411163.6679.9713088.55847.7520.42165.6679.9013236.07865.3230.43167.6579.7713374.87882.1740.44169.6679.6013504.61898.1650.51163.6679.9713088.55979.5460.52165.6679.9013236.07999.2870.53167.6679.7713374.871018.

19、1980.54169.6679.6013504.611036.1490.61163.6679.9713088.551078.37100.62165.6679.9013236.071099.64110.63167.6679.7713374.871120.12120.64169.6679.6013504.611139.65130.71163.6679.9713088.551149.04140.72165.6679.9013236.071171.46150.73167.6679.7713374.871193.22160.74169.6679.6013504.611214.15170.81163.66

20、79.9713088.551197.77180.82165.6679.9013236.071221.13190.83167.6679.7713374.871244.09200.84169.6679.6013504.611266.45表49图5实际情况中，桌面直径和每根木条的宽度是定量，所以a 1不可能很小，满足a 2；上-d2，由上表数据计算得当a = 1或2时，方案无效。1441当桌面平铺时，钢筋必须在圆形桌面以外，即p - L ，可以得出p R，根据上表 2 2L数据计算，当p 5 时为组合桌面。p = 0.5， ai = 30。ai 5，依旧参照模型口桌面木条根数n =三2.5L 2a第

21、一根桌腿长度l =，第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离h = pH，桌宽i 2Rd =1a 2，4 i第i根桌面木条的半长为a =JR2-d-2.5G-iRi 4 4ii第1根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离m =dpl h2 -ai1i第i根桌腿钢筋位置以上长度f=. hh 2 + m2所以可求出第i根桌腿的槽长K = f-(3). “8”字形桌面p = 0.5， = 30 a 1 5，桌面木条的根数n =2只需研究桌子一侧前1的桌腿 2.54由于“8”字形桌面的桌子是由两个组合桌子链接起来的，所以设计加工研究参数即为组合桌面桌子参数。6.2模型III的求解针对圆弧和矩形组合桌面R = 90，用MATLAB和EXLINK解出设计加工参数如下:现要加工高H = R = 90，用MATLAB和EXLINK解出设计加工参数如下:L = 188.56， d = 74.83第i根桌腿开槽长度:桌腿第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根开槽长度0.001.814.0110.3916.2919.4421.88第8根第9根第10根第11根第12根第13根第14根第15根23.7325.0726.0426.7427.2527