第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

1、第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器7.4 利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。 1. 线性相位条件 对于长度为N的h(n)，传输函数为(7.1.1) (7.1.2) 式中，Hg()称为幅度特性，()称为相位特性。注意，这里Hg()不同于|H(ej)|,Hg()为的实函数，可能取负值，而|H(ej)|总是正值。H(e

2、j)线性相位是指()是的线性函数，即 ()=, 为常数 (7.1.3) 如果()满足下式： ()=0-,0是起始相位 (7.1.4) 严格地说，此时()不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即 也称这种情况为线性相位。一般称满足(7.1.3)式是第一类线性相位；满足(7.1.4)式为第二类线性相位。 下面推导与证明满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即 h(n)=h(N-n-1) (7.1.5) 满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即 h(n)=-h(N-n-1) (7.1.6) (1) 第一类线性相位条件证明

3、：将(7.1.5)式代入上式得令m=N-n-1,则有(7.1.7) 按照上式可以将H(z)表示为 将z=e j代入上式，得到： 按照(7.1.2)式，幅度函数Hg()和相位函数分别为(7.1.8) (7.1.9) (2) 第二类线性相位条件证明：(7.1.10) 令m=N-n-1,则有 同样可以表示为因此，幅度函数和相位函数分别为(7.1.11) (7.1.12) 2. 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点 1) h(n)=h(N-n-1),N=奇数 按照(7.1.8)式，幅度函数H g()为 式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中

4、心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为令m=(N-1)/2-n,则有(7.1.13) (7.1.14) 式中 按照(7.1.13)式，由于式中cosn项对=0,2皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对=0,2是偶对称的。 2) h(n)=h(N-n-1),N=偶数 推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg()中没有单独项，相等的项合并成N/2项。 3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇数 将(7.1.11)式重写如下：令m=N/2-n,则有(7.1.15) (7.1.16) 4) h(n)=-h(N-n-1),N=偶数 类似上

5、面3)情况，推导如下： 令m=(N-1)/2-n，则有(7.1.17) (7.1.18) 令m=N/2-n,则有(7.1.19) (7.1.20) 3. 线性相位FIR滤波器零点分布特点 第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足(7.1.7)式和(7.1.10)式，综合起来用下式表示：(7.1.21) 图7.1.1 线性相位FIR滤波器零点分布 4. 线性相位FIR滤波器网络结构 设N为偶数，则有令m=N-n-1,则有(7.1.22)如果N为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出， (7.1.23) 图7.1.2 第一类线性相位网络结构图7.1.3 第二类线性相位网络结构7.2 利用窗函数法

6、设计FIR滤波器 设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej),hd(n)是与其对应的单位脉冲响应，因此 一般hd(n)为无穷长序列，需对其进行截断。（1）设Hd (ejw)是实偶函数， 则hd k也是实偶序列。例：设计一个线性相位的FIR滤波器。其频率响应能逼近截频为wc的理想低通。(2)设Hd (ejw)为 Hd (ejw) =Ad(w)exp(j( -0.5Mw+b)I型和II: b=0 ; III型和IV:b=pi/2, M=(N-1)/2例：设计一个线性相位的FIR滤波器。其频率响应能逼近截频为wc的理想低通。解：设 相应的单位取样响应h-d(n)为(7.2.1)(7.2.2) hd(n

7、)为无穷长序列，为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将h-d(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3) 我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)，图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗 以上就是用窗函数法设计FIR滤波器的思路。另外，我们知道Hd(e j)是一个以2为周期的函数，可以展为傅氏级数，即对(7.2.3)式进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得到：(7.2.4) 式中，Hd(e j)和RN(e j)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即(7.2.

8、5) RN()称为矩形窗的幅度函数；将Ha(ej)写成下式：按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd()为将Hd(e j)和RN(e j)代入(7.2.4)式，得到： 将H(ej)写成下式： (7.2.6)矩形窗对H(e jW)的影响矩形窗的幅度函数为窗函数法国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组WNp2Np2-Np4Np4-Npp-主瓣旁瓣)(WW矩形窗的幅度函数窗函数法国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组吉伯斯(Gibbs)现象000.510.2p0.4p0.6p0.8ppwA(W)M=14M=600.2p000.510.4p0.6p0.8ppA(W)w窗函数法国家电工

9、电子教学基地 信号与系统系列课程组)(wAwcwcw-pp-qpp-cwcw-)(q-wW)(qdA窗函数法国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组)(wAwcwcw-pp-qcwcw-pp-)(qdA)(q-wW窗函数法国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组 图7.2.2 矩形窗对理想低通 幅度特性的影响 通过以上分析可知，对hd(n)加矩形窗处理后，H()和原理想低通Hd()差别有以下两点： (1)在理想特性不连续点=c附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN()主瓣宽度，即4/N。与N成反比。 (2)通带内增加了波动，最大的峰值在c-2/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2

10、/N处。波动的幅度取决于窗函数旁瓣的相对幅度，旁瓣的面积越大，波动就越大，阻带的衰减就越小。 在主瓣附近，按照(7.2.5)式，RN()可近似为 用矩形窗设计的wc=p/2 FIR滤波器的幅度响应00.250.50.751-40-30-21-100M=14M=30Gain db窗函数法国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组常用窗函数矩形窗 Ap 0.82dB, As 21dB窗函数法国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组Hann(汉纳)窗(w=hanning(M+1)Ap 0.056dB, As 44dB窗函数法国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组由Hanning窗设计的wc=p

11、/2 FIR滤波器的频响特性(M=38)00.250.50.751-80-60-44-200Square HanningGain dB窗函数法国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组00.250.50.751-80-60-52-200Square HammingHamming（哈明）窗( w=hamming(M+1) )Gain db窗函数法国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组Blackman窗 ( w=blackman(M+1) )00.250.50.751-100-75-60-40-200Square BlackmanGain db窗函数法国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组

12、 下面介绍几种常用的窗函数。设 h(n)=hd(n)w(n) 式中w(n)表示窗函数。 1. 矩形窗(Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 前面已分析过，按照(7.2.5)式，其频率响应为 2. 三角形窗(Bartlett Window)(7.2.8) 其频率响应为 (7.2.9) 3. 汉宁(Hanning)窗升余弦窗当N1时，N-1N， 图7.2.3 汉宁窗的幅度特性 4. 哈明(Hamming)窗改进的升余弦窗(7.2.11)其频域函数WHm (e j)为其幅度函数WHm()为当N1时，可近似表示为 5. 布莱克曼(Blackman)窗(7.2.13) 其频域函数为

13、其幅度函数为(7.2.14) 图7.2.4 常用的窗函数 图7.2.5 常用窗函数的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗 图7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗； (d)哈明窗；(e)布莱克曼窗 6. 凯塞贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window) 式中 I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算： 一般I0(x)取1525项，便可以满足精度要求。参数可以控制窗的形状。一般加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为4，如有，再在该点附近

14、找出局部极值点，并用该点代替原来的点。 (3)利用和第二步相同的方法，把各频率处使|E()|的点作为新的局部极值点，从而又得到一组新的交错点组。图7.4.2 雷米兹算法流程图 3. 线性相位FIR滤波器的四种类型统一表示式 在7.1节，我们已推导出线性相位的四种情况，它们的幅度特性H-g()分别如下式： 奇数 奇数 偶数 偶数 经过推导可把H-g()统一表示为 Hg()=Q()P() (7.4.13) 式中，P()是系数不同的余弦组合式，Q()是不同的常数，四种情况的Q()和P()如表7.4.1所示。表7.4.1 线性相位FIR滤波器四种情况 表中 、 和 与原系数b(n)，c(n)和d(n)之间关系如下： (7.4.14) (7.4.15) (7.4.16) 将(7.4.13)式代入(7.4.3)式，得到:(7.4.17) (7.4.18) 图7.4.3 利用切比雪夫逼近法设计线性相位 FIR滤波器程序框图图7.4.4 利用切比雪夫逼近法设计的低通滤波器幅度特