2023届高三新高考数学试题一轮复习专题4.2导数与函数的单调性 教案讲义 （Word解析版）

1、第 Page * MergeFormat 18 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 页4.2 导数与函数的单调性课标要求考情分析核心素养1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.新高考3年考题题 号考 点数学运算逻辑推理直观想象2022()卷 7 利用单调性比较大小（构造函数） 2022()卷22（1） 研究含参函数的单调性2021()卷22（1） 研究不含参函数的单调性2021()卷22（1） 研究含参函数的单调性1.函数f(x)的单调性与导数f(x)正负之间的关系函数

2、yf(x)在某个区间(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间(a,b)内单调递增；(2)若f(x)0(f(x)0或f(x)0或f(x)0或f(x)0时往往需要分类讨论，确定方程fx=01. 方程fx = 1 * GB2 fx=lnx+a1-xfx = 2 * GB2 fx=1x-x+alnxfx=-2. 方程f = 1 * GB2 fx=2x3-ax2+bf = 2 * GB2 fx=axex-x2-2x(a0)f【典例精讲】例3.(2022山东省临沂市月考) 已知函数f(x)=lnx+ax-2x(aR)()若x=1是f(x)的极大值点，求a的值；()【名师点睛】分类讨论时注意：(1)研究含参

3、数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点例4. (2022北京市市辖区模拟) 已知函数f(x)=(x2-2ax)lnx-12x2+2ax(aR)()若a=0，求f(x)【靶向训练】练2-1(2022江苏省南京市期末) 已知函数f(x)=ax-ln(1)若a=1，求函数f(x)在(1,f(1)处的切线方程；(2)讨论函数y=f(x)在1,练2-2(2022河南省郑州市模拟) 已知函数f(x)=x(1)当a=1时，求函数y=f(x)的极值；(2)讨论函数y=f(x)的单调性 考点三已知函数单调性求

4、参【方法储备】根据函数单调性求参数的一般思路：1.已知函数y=f(x)在(a，(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，(2)转化为恒成立问题处理：对任意的x(a，b)都有f(x)0(f(x)0)，且在(a，2. 已知函数y=f(x)在(a，b)3. 已知函数y=f(x)在(a，b)上不单调：转化为方程【典例精讲】例5.(2022江苏省盐城市月考) 若函数f(x)=x2-ax+lnx在区间A. 3,+)B. (-,3 C. 3,e2【名师点睛】已知函数y=f(x)在(a，b)上单调，一般会选择转化为恒成立问题解决，通过分离参数构造函数求最值，求出参数的取值范围

5、，但要注意转化为x(a，b)，f(x)0(或f(x)0)【靶向训练】练3-1(2022湖北省荆门市月考) 若函数f(x)=lnx+ax2-2在区间(练3-2(2022四川省泸州市期中) 已知函数f(x)=x2-alnx+1在A. 2,8) B. 2,8 C. (-,28,+) D. (2,8) 考点四构造函数研究单调性【方法储备】在一些不等式的证明、比较大小、求解或者证明参数的范围、极值点的分析、计算变量的值等问题中，往往需要构造函数，研究新函数的性质，从而解决问题. 1.抽象函数的构造：（本专题重点） = 1 * GB2 利用 f (x) 进行抽象函数构造 = 1 * GB3 对于不等式fx

6、k,(k0) , 构造函数g(x)=f(x)-kx+b; = 2 * GB3 对于不等式xf(x)+f(x)0,构造函数g(x)=xf(x); = 3 * GB3 对于不等式xf(x)-f(x)0,构造函数g(x)=f(x)x; = 4 * GB3 对于不等式xf(x)+nf(x)0,构造函数g(x)=xnf(x) ; = 5 * GB3 对于不等式xf(x)-nf(x)0,构造函数g(x)=f(x)xn. = 2 * GB2 利用 f (x) 与ex构造 = 1 * GB3 对于不等式f(x)+f(x)0,构造函数g(x)=exf(x) = 2 * GB3 对于不等式f(x)-f(x)0,构

7、造函数g(x)=f(x)ex; = 3 * GB3 对于不等式f(x)+kf(x)0, 构造函数g(x)=ekx = 4 * GB3 对于不等式f(x)+2xf(x)0,构造函数g(x)=ex2 = 3 * GB2 利用 f (x) 与ln x构造 = 1 * GB3 对于不等式f(x)fx0,构造函数g(x)=lnf(x); = 2 * GB3 对于不等式fxlnx+fxx = 4 * GB2 利用 f (x) 与sin x, cos x = 1 * GB3 对于不等式f(x)+f(x)tanx 0,构造函数g(x)=sinxf(x); = 2 * GB3 对于不等式f(x)-tanxf(x

8、)0, 构造函数g(x)=cosxf(x)2.具体函数的构造： = 1 * GB2 作差法：如求证当x0时,不等式x-x220都成立，及由lnxx-1得到的ln(x+1)x，lnx = 3 * GB2 同构法：将不等式变形为fgxfhx的结构，构造函数f(x)，其单调性易于研究.常见变形方式： = 1 * GB3 指对跨阶型， = 2 * GB3 双变量型， = 3 * GB3 同构放缩或同构换元共存.（专题4.5中补充）【典例精讲】例6.(2022江苏省盐城市月考) 已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f(x)，当x0时，xf(x)-f(x)0，若a=f(e)e，b=f(ln2)

9、ln2，c=f(-3)-3，则aA. abcB. bcaC. acbD. cab例7.(2022江苏省盐城市期中) 若对任意的x1，x2(m,+)，且当x1caB. acbC. cbaD. cab练4-2(2021安徽省安庆市月考) 设函数fx在R上存在导函数fx，xR，有fx-f-x=x3A. -1,1 B. (-,1 C. 1,+ D. (-,-11,+)核心素养系列 逻辑推理利用导数解不等式利用导数解决不等式问题常见的有解不等式、证明不等式、比较大小等。其实质是利用求导数的方法研究函数的单调性。在解不等式问题上，通常是利用导数直接研究给定函数的单调性，或构造函数研究单调性，结合函数其他性

10、质，解出不等式.【方法储备】1.给定函数解析式：可以直接求导，研究单调性；2.构造函数解不等式： = 1 * GB2 具体函数的构造：根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构形式的相同点,构造具体的函数解析式.常见的有： = 1 * GB3 含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数； = 2 * GB3 同构法：例如若F(x)0，能等价变形为fg(x) fh(x)，构造函数f(x)，利用f(x)的单调性(如递增),再转化为g(x) h(x). = 2 * GB2 抽象函数的构造：将题干给出的导数不等式的外形结构特征与导数运算法则结合起来,合理构造出相关

11、的可导函数,然后利用函数的性质解决问题.【典例精讲】例8. (2021山东省青岛市模拟) 函数fx是定义是在R上的可导函数，其导函数fx满足2fxA. -,0 B. -,1 C. 0,+ D. -,+例9. (2021河南省郑州市月考) 下列各组x，y的值满足x2A. x=e3，y=3e B. x=e，y=eC. x=3【名师点睛】构造具体函数解决问题的关键是分析所给代数式的结构,发现结构相同的部分,必要时,应对代数式进行合理地转化和变形(移项、通分、取对数、拆分、常数代换等),以便发现它们的共同点,从而构造函数.有时考查函数奇偶性和单调性的综合应用【靶向训练】练5-1(2022广东省东莞市期

12、中) 已知函数f(x)=x2-cos2x，则满足f(2A. (0,1)B. (0,+)C. (-1,0)D. (-,0)练5-2(2021天津市市辖区月考) 已知f(x)是函数f(x)的导函数，对于任意xR，都有f(x)=ex(2x+3)+f(x)A. -1,2 B. -1,4 C. -2,1 D. -4,1易错点1 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻例10. (2022江苏省南京市期末) 已知函数f(x)=x3-32x2-aA. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要易错点2 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚例11. (2022安徽省合肥市

13、月考) 在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)xA. (-,-5)(3,+) B. (-3,0)(3,+)C. (-5,-3)(3,5) D. (-,-3)(0,3)答案解析【教材改编】1【解析】A：x0,a时，f(x)0，f(x)单调递增，故A错误；B：xa,b时，f(x)0，f(x)单调递增，xb,c时，f(x)0，f(x)单调递减，故B错误；C：xc,d时，f(x)0，f(x)单调递增，所以x=d时，f(x)取得极小值，故C正确；D：x=c不是函数的最值点，故D错误 故选C2【解析】因为f(x)=6x2-2x，令f(x)0，解得x13或x0，解得x-32或f(x

14、)的单调递增区间为(-,-3例2.【解析】(1)当k=0时，f(x)=ex-x所以当x(-,0)时，f(x)0；当x(0,+)时，所以f(x)在区间(-,0)上单调递减，在区间(0,+)上单调递增故f(x)的最小值为f(0)=1(2)若k=1，则f(x)=ex-12令g(x)=ex-x-1由g(x)0，得x0，所以g(x)在区间由g(x)0，得x0，可得2sinx-10，sinx12解得2k-76x练1-2.【解析】依题意，f(x)=2x-1x-3x+1，函数-11,333,+f+0-0+f极大值极小值所以，A，x=3是函数fx的一个极值点，故A正确；B，fx的单调增区间是-1,1，3,+，故

15、B不正确；C，fx的单调减区间是1,3，在区间(1,2)上单调递减，故C正确；D，fx的极大值为f1，极小值为f3，又因为f2=16ln3-16，所以f30，函数f(x)单调递增，当x(1,+)时，f(x)0，函数f(x)单调递减，故x=1是f(x)的极大值点，a=1；()f(x)=-2x2+x-ax2，(0,+)由方程-2x2+x-a=0的=1-8a，可得：当=1-8a0，即a18时，f(x)0在(0,+)恒成立，f(x)在(0,+)单调递减，当a0例4. 【解析】 ()函数f(x)的定义域为(0,+)若a=0，则f(x)=x2lnx-12x2，f(x)=2xlnx，令f(x)=0，得x=1

16、，x(0,1)1(1,+)f(x)-0+f(x)单调递减极小值f(1)单调递增所以a=0时，f(x)的最小值为f(1)=-12()因为f(x)=2(x-a)lnx(x0)，当a0时，x-a0，令f(x)0，得lnx0，所以x1，f(x)在区间(1,+)上单调递增，令f(x)0，得lnx0，所以0 x1，f(x)在区间(0,1)上单调递减当0a1时，令f(x)=0，得x=1或x=a，随x的变化，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示x(0,1)1(1,a)a(a,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增f(1)单调递减f(a)单调递增所以f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,a)上单调递

17、减，在区间(a,+)上单调递增综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间为(1,+)，单调递减区间为(0,1)；当0a1时，f(x)的单调递增区间为(0,1)，(a,+)，单调递减区间为(1,a)练2-1.【解析】(1)当a=1时，f(x)=x-lnx，则f(x)=1-1x，故切线的斜率k=f(1)=0又f(1)=1所以函数f(x)在(1,f(1)处的切线方程为：y=1(2)由f(x)=ax-lnx，得f(x)=a-1x=ax-1x，当a0时，f(x)0,f(x)在1,2上单调递减；当0a12时，f(x)0,f(x)在1,2上单调递减；当12a1时，令f(x)=0，得x=1a，当1x1a时，f

18、(x)0,f(x)在1,1a上单调递减；当1a0,f(x)在1a练2-2.【解析】(I)当a=1时，f(x)=x2-5x+2lnx，定义域为(0,+)，f(x)=2x-5+2x=2x2-5x+2x=x0,1122,+f+0-0+f单调递增-单调递减-6+2ln2单调递增当x=12时，f(x)有极大值，且极大值为f(12)=-94-2ln2；当x=2时，f(x)有极小值，且极小值为f(2)=-6+2ln2.(II)函数f(x)定义域为(0,+)，f(x)= = 1 * GB3 若a0，则当x(0,2)时，f(x)0，f(x)单调递增 = 2 * GB3 若0a4，即0a20，f(x)单调递增；当

19、x(a2,2)时，f(x)4，即a22，则当x(0,2)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(2,a2)时，f(x)0，f(x)单调递增. 综上：当a0时，f(x)的单调递增区间是(2,+)，单调递减区间是(0,2)；当0a0，f(x)=2x-ax=2x2-ax，x(0,+)，当a0时，fx0，f(x)在(1,2)上单调递增，不符合题意，当a0时，在a2,+上，f(x)0，f(x)单调递增，在0,a2上，fx0时，xf(x)-f(x)0，g(x)2x1x2，且x10，x20，得x1x2lnx1-x1x2lnx22x1-2x2，再由故答案为：2练4-1.【解析】因a=e-1=e1-1，b=3e4-34=e43-143，c=eln4-1ln4设练4-2.【解析】fx-f-x=x3，fx-x32=f-x-x32，令gx=fx-x32，=fm-2-fm+3m2-6m+40,即gm-2【素养提升】例8.【