大学物理-机械振动课件

1、第四章 机械振动4.1 简谐振动的动力学特征4.2 简谐振动的运动学4.3 简谐振动的能量4.4 简谐振动的合成 *振动的频谱分析4.5 阻尼振动 受迫振动 共振* 4.6 非线性振动简介第四章 机械振动4.1 简谐振动的动力学特征4.2 振动是自然界中最普遍的一种运动形式。物体在平衡位置附近做往复的周期性运动，称为机械振动。电流、电压、电场强度和磁场强度围绕某一平衡值做周期性变化，称为电磁振动或电磁振荡。 一般地说，任何一个物理量的值不断地经过极大值和极小值而变化的现象，称为振动。 虽然各种振动的具体物理机制可能不同，但是作为振动这种运动的形式，它们却具有共同的特征。 本章主要讨论简谐振动和

2、振动的合成，并简要介绍阻尼振动、受迫振动和共振现象以及非线性振动。 振动是自然界中最普遍的一种运动形式。物体在平衡位置附简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移 x（或角位移）随时间 t 按余弦（或正弦）规律变化的振动。 简谐振动的运动学定义x 可以是位移、电流、场强、温度4.1 简谐振动的动力学特征简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移 x一、弹簧振子模型弹簧振子：弹簧 物体系统 平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧 质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体 可看作质点 简谐振动的判据受力微分方程令 一、弹簧振子模型弹簧振子：弹簧 物体系统 平衡位置：单摆

3、结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。当 时二、微振动的简谐近似摆球对C点的力矩令 角频率，振动的周期分别为：单摆结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。当 复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。当 时令 角频率，振动的周期分别为：例4.1 证明竖直弹簧振子的振动是简谐振动（自学）复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体结论：复摆的小角度摆动其通解为：一、简谐振动的运动学方程简谐振动的微分方程 简谐振动的运动学方程令 4.2 简谐振动的运动学其通解为：一、简谐振动的运动学方程简谐振动的微分方程 简二、描述简谐振动的特征量1、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的

4、最大位移（或角位移）的绝对值。若已知初始条件 由初始条件和系统本身情况决定二、描述简谐振动的特征量1、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位频率 ：单位时间内振动的次数。2、周期 、频率、圆频率对弹簧振子角频率 固有周期、固有频率、固有角频率周期T ：物体完成一次全振动所需时间。频率 ：单位时间内振动的次数。2、周期 、频率、圆频率对弹2、周期 、频率、圆频率对弹簧振子固有周期、固有频率、固有角频率单摆复摆2、周期 、频率、圆频率对弹簧振子固有周期、固有频率、固有角0 是 t =0 时刻的位相 初位相3、位相和初位相 位相，决定谐振动物体的运动状态 由初始条件和系统本身情况决定0 是 t =0 时刻

5、的位相 初位相3、位相和初位相位相差 两振动位相之差。当 =2k , k = 0,1,2, 两振动步调相同,称同相当 = (2k+1) , k=0,1,2. 两振动步调相反,称反相2 超前于1 或 1 滞后于 2 位相差反映了两个振动不同程度的参差错落 位相差 两振动位相之差。当 =2k , k = 三、简谐振动的旋转矢量表示法0t = 0 x t+0t = tox三、简谐振动的旋转矢量表示法0t = 0 x t+0t旋转矢量 确定 和研究振动合成很方便xv0 00 x0A/2例如，已知x参考圆(circle of reference)0AA 0t+ox tt = 0 x = A cos( t

6、 + ) 则由左图给出旋转矢量 确定 和研究振动合成很方便xv0用旋转矢量表示相位关系同相反相用旋转矢量表示相位关系同相反相谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTavxT/4T/4谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTavxT/4由图可见：x t+o由图可见：x t+o例：如图m =210-2kg，弹簧的静止形变为 l = 9.8cm，取平衡位置为坐标原点。t =0时，x0= -9.8cm, v0 = 0（1） 取开始振动时为计时零点，写出振动方程；（2）若取x0=0，v00为计时零点， 写出振动方程并计算频率。xOmx解：平衡位置处作谐振动 设振动方程为在坐标为 x处, 受力

7、为例：如图m =210-2kg，弹簧的静止形变为 l = 例：如图m =210-2kg，弹簧的静止形变为 l = 9.8cm，取平衡位置为坐标原点。t =0时，x0= -9.8cm, v0 = 0（1） 取开始振动时为计时零点，写出振动方程；（2）若取x0=0，v00为计时零点， 写出振动方程并计算频率。xOmx由初条件得由 x0 = Acos0 = - 0.098 0 cos0 0 x0=Acos0=0 , cos0=0 ， 0=/2 ,3/2 v0=-Asin 0 , sin 0 0 x例：如图所示，振动系统由一倔强系数为k的 轻弹簧、一半径为R、转动惯量为I的 定滑轮和一质量为m的 物体

8、所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.mm解：取位移轴ox，m在平衡位置时，设弹簧伸长量为l，则例：如图所示，振动系统由一倔强系数为k的 轻弹簧、一半径为Rmm当m有位移x时联立得物体作简谐振动mm当m有位移x时联立得物体作简谐振动例：已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。解：设振动方程为例：已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振故振动方程为故振动方程为以弹簧振子为例谐振动系统的能量 = 系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数4.3 简谐振动的能量

9、以弹簧振子为例谐振动系统的能量 = 系统的动能Ek+系统的势动能势能情况同动能机械能简谐振动系统机械能守恒动能势能情况同动能机械能简谐振动系统机械能守恒由起始能量求振幅xtTEoEtEk(1/2)kA2Ep由起始能量求振幅xtTEoEtEk(1/2)kA2Ep实际振动系统 系统沿x轴振动，势能函数为Ep(x)，势能曲线存在极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。在该位置（取x=0）附近将势能函数作级数展开微振动系统一般可以当作谐振动处理实际振动系统 系统沿x轴振动，势能函数为Ep(一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动，其频率仍为合振动:4.4 简谐振动的合成 *振动的频谱分析一、同方向

10、、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动，其频率仍为用旋转矢量法讨论用旋转矢量法讨论如 A1=A2 , 则 A=0两分振动相互加强两分振动相互减弱讨论若两分振动同相：若两分振动反相:如 A1=A2 , 则 A=0两分振动相互加强两分振动相互减合振动不是简谐振动式中随t 缓变随t 快变合振动可看作振幅缓变的准简谐振动二、同方向不同频率简谐振动的合成分振动合振动当21时,合振动不是简谐振动式中随t 缓变随t 快变合振动可看作振幅缓拍 合振动忽强忽弱的现象拍频 单位时间内强弱变化的次数xtx2tx1t拍 合振动忽强忽弱的现象拍频 单位时间内强弱变化*三、振动的频谱分析振动的分解：把一个振动分解为若干个简

11、谐振动。谐振分析：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。若周期振动的频率为 :0则各分振动的频率为:0、20、30(基频 , 二次谐频 , 三次谐频 , )按傅里叶级数展开*三、振动的频谱分析振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振方波的分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x0方波的分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5xot锯齿波A03050锯齿波频谱图 一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动。xot阻尼振动曲线阻尼振动频谱图oAxot锯齿波A03050锯齿波频谱图 一个非周*四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成质点合振动的轨

12、迹方程：分振动*四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成质点合振动的轨迹方程合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线质点离开平衡位置的位移讨论合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线质点离开平衡合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线质点离开平衡位置的位移合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线质点离开平衡合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆质点沿椭圆的运动方向是合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆质点沿椭圆的运动方向是

13、= 5/4 = 3/2 = 7/4 = 0 = = /2 = 3/4Q = /4P .时，逆时针方向转动。时，顺时针方向转动。 = 5/4 = 3/2 = 7/4 *五、垂直方向不同频率 可看作两频率相等而 随t 缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。yxA1A2o-A2-A1两分振动频率相差很小为整数比合成轨迹为稳定的闭合曲线 李萨如图例如右图：*五、垂直方向不同频率 可看作两频率相等而 随t x y2 13 13 2x = 0：y = 0 y x0 x y2 13 13 2x = 0：一、阻尼振动阻尼振动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩

14、擦力的作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。4.5 阻尼振动 受迫振动 共振一、阻尼振动阻尼振动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）振子动力学方程振子受阻力系统固有角频率阻尼系数 弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比 阻力系数其解分三种情形阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）振子动力学方程弱阻尼1、弱阻尼 每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的准周期弱阻尼1、弱阻尼 每一周期内损失的能量越小，振

15、2、临界阻尼临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来过阻尼3、过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置2、临界阻尼临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置二、受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程令周期性外力策动力该方程的解为二、受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动稳定解(1)频率: 等于策动力的频率(2)振幅:(3)初相:特点：稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化阻尼振动简谐振动稳定解(1)频率: 等于策动力的频率(2)振幅:(3)初三、共振在一定条件下, 振幅出现极大值, 振动剧烈的现

16、象。1、位移共振(1)共振频率:(2)共振振幅:三、共振在一定条件下, 振幅出现极大值, 振动剧烈的现象。12、速度共振一定条件下, 速度振幅极大的现象。速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。 2、速度共振一定条件下, 速度振幅极大的现象。速度共振时，速不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。1、内在的非线性因素发生非线性振动的原因：振动系统内部出现非线性回复力振动系统的参量不能保持常数，如漏摆、荡秋千。一、非线性振动概述单摆（或复摆）的回复力矩自激振动* 4.6 非线性振动简介不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。1、内在的非线性2、外在的

17、非线性影响非线性阻尼的影响策动力为位移或速度的非线性函数如如线性振动与非线性振动的最大区别：线性振动满足叠加原理非线性振动不满足叠加原理2、外在的非线性影响非线性阻尼的影响策动力为位移或速度的非线近似简化、图解、计算机处理研究方法：微扰法二、非线性振动研究的方法及意义相平面法近似简化、图解、计算机处理研究方法：微扰法二、非线性振动研究7.4 非谐振动的傅氏分解 频谱任何一个周期性复杂振动都可分解为一系列 谐振动的叠加例如:方波：（基频为v0）由傅里叶理论，有x(t)结论：1.方波可分解为 v0 ，3 v0 ，5 v0 等 谐振动的叠加。2.谐频次数越高的项振幅越小。Avv03v0 5v0方波频谱图7v0OO7.4 非谐振动的傅氏分解 频谱任何一个周期性方波的分解图v03v05v0（基频为v0）x1+ x3+ x5方 波OOOOO方波的分解图v03v05v0（基频为v0）x1+ x3+ x北京大钟寺内的巨钟的频谱图0100200300400500v (Hz)北京大钟寺内的巨钟的频谱图0100200300400500v7.5 两个自由度系统自由振动简介一. 多自由度振动系统(三自由度振动系统)二. 两自由度振动系统两摆的运动微分方程为其特解为（1）（