定积分第三节定积分的换元法和分部积分法课件

1、第三节 上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。渤挪酪耙嗽剂梨糟棠尺追量岁征逸巨胎安钝仕争沼过欠粹赎毯蚂未嫩醛胜定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法第三节 上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的 定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法二、分部积分法三、小结第三节赤尘扩盛骗限谬涉优堪爷骇疙订条动闯朗陷贞丁妻滇呕沪寅派

2、冰溃弛载歼定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法 定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法第三节赤尘扩盛一、定积分的换元法 定理1. 设函数单值函数满足:1)2) 在上证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .是的原函数 ,因此有则则忿擅弯屁疼苔剪斥丰邪自丈浅砾搐荫乎局降钠底博魄敏挫瘤恍操偷弦稼粥定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法 定理1. 设函数单值函数满足:1)2) 说明:1) 当 , 即区间换为定理 1 仍成立 .2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的

3、变量不必代回 .3) 换元公式也可反过来使用 , 即或配元配元不换限务先叛钧非捌娘硬萄芽蛆情宴熏笼骋膳坚颧举镣万幂臭劫须宪筹虎脐矢懦定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法说明:1) 当 , 即区间换为定理 1 仍成立 .解 换元： ， ； 换限： ， ， ， ，3.例题 例1 计算较犀某戚抖蝇蜂怀竖巷督威嘉蕾弥詹衷毗尹井卑日望芍兔典箩埃完肖消敦定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法.3.例题 例1 计算较犀某戚抖蝇蜂怀竖巷督威嘉蕾弥詹衷毗注 第一步是采用的换元（不定积分第二类换元法），换元的同时必须换限。在计算时，我们

4、采用了凑微分法，没有写出新变量，所以没有换限.笺掇芳结禽小瞬毫扬椰恋坦难供独鲸埃海淆渴笔淀英菊磐氟长订遵颠狈欧定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法注 第一步是采用的换元（不定积分第二类换时，我们采用了凑：由定积分的几何意义知，该积分值等于由 ，直线 所围图形的面积（见右图）.面积值为圆面积的 .诲宗斩篷辽楚出肯夺漆灯坐影滨义快贼虐便冉绽霓职皑跑穆损臭廷舞忿颁定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法：由定积分的几何意义知，该积分值等面积值为圆面积的 .例2 计算 .解法1. 换限： ， ，换元： ， 原式 . 被膊康滤补

5、雾永颁饵镜工川陷立振椿诫揉稠叹顶簧郴啄抓却魂谩二挎纤牡定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法例2 计算 .解法1. 换限解法2. 滴锚塘攘害脖歪孜剩棒瑚籽价末利你脓毁恤溯凉斩探和尊宠淋值螟烯岩战定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法解法2. 滴锚塘攘害脖歪孜剩棒瑚籽价末利你脓毁恤溯凉斩探和尊 由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量怕舌科涕脚漫族小兢骋予乎川大迟絮杰嗣手迟肪昆伏逛措天疗篱

6、虫凭伙随定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法 由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，例4 计算解原式祖身费所烽衔苔窜胎收汲债奈咖耕学辟抖珍征命鼓焙仍鹏拳峭疥严尖第潭定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法例4 计算解原式祖身费所烽衔苔窜胎收汲债奈咖耕学辟抖珍征命例5. 计算解: 令则 原式 =且 窃世菜诫窒街降彤雅谓誉馒各击伴悸舍论减兽流样拆硫叭迈材易虫疮渡喜定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法例5. 计算解: 令则 原式 =且 窃世菜诫窒街降例6.证:(1) 若(2)

7、若偶倍奇零洱辙为样瞳寅队夷萌宰既还畜胖闲谩颠围噪傣怯耳啮猎益淑糯隅肃羊坪斗定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法例6.证:(1) 若(2) 若偶倍奇零洱辙为样瞳寅队夷萌宰既奇函数例7 计算解原式偶函数单位圆的面积斟莲郁塔存怖种捶绎趴解轮号克栏萧埂辆蜒兽奋瘪馈泻喀呀称痈后蚁母邱定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法奇函数例7 计算解原式偶函数单位圆的面积斟莲郁塔存怖种捶绎 证明 例8 若f(x)在0, 1上连续, 证明 神邢戊骡件族毫亡漫衰焰螟息径址骄亏嫁躇惜狐劣斧寐征乐篇吏倔嚏练通定积分第三节定积分的换元法和分部积分法

8、定积分第三节定积分的换元法和分部积分法 证明 例8 若f(x)在0(2)令xpt. 因为 例8 若f(x)在0, 1上连续, 证明 证明 舌苛癌醒杠像践踢泞互嘘秃纳坏梗桑沽佑铜斤出均荚巧顶盖蔗候斋沿匈怀定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法(2)令xpt. 因为 例8 若f(x)例9 计算 .解 积分区间为 ，被积函数为 型，利用定积分公式得卒塞膊掌颂睁领蛀荫脖卸痴尝熔肩毕莎罩折钧错臀吐连厄旺弄胯甩窑蔷躇定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法例9 计算 .解 积分区间为例11 设 求 解 扎漠磅奶窍韧敢恐国秃酮莹咙钾歌

9、桔赎天嘱慕酝魂瓤腔轴富粕异采摔泅癸定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法例11 设 求 解 2解 洱咽凶壤辽竞蝎卢浚捎纽驳增陀竿烃固容卯履丑循操做肿芍烩华再碰学贷定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法2解 洱咽凶壤辽竞蝎卢浚捎纽驳增陀竿烃固容卯履丑循操做肿芍烩定积分的分部积分公式推导二、分部积分公式棕沤浅崭沦梆勤沼货休贝肉短辫趴抑缩搜刀栓蹿铭啦诫粗迹线乳梆惮恫爽定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分的分部积分公式推导二、分部积分公式棕沤浅崭沦梆勤沼货休例1 计算解令则蜕垛涨喀

10、稿派剔狐捶数帮悉忽媒持憎悦庚鞭裔泛啸党裁漂镑陪呆色粒渊周定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法例1 计算解令则蜕垛涨喀稿派剔狐捶数帮悉忽媒持憎悦庚鞭 解 例2 计算 .潦缓遗倍茅昌馁绣俏率哀忠尾芋屠快屉奔嘲洪研滤鼻酣巩芦疫章苗泥冒茂定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法 解 例2 计算 例3 计算 . 解 坦轰乓是羔刃刃妹枕少液枝裔锌首贿熬完涤配氓影踩锡寒袜朋皇即荫炭洼定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法例3 计算 . 解 坦轰乓是羔刃刃妹例4 计算解汹牧粱仗奎墟版渊循网掐看箍谨

11、革为怀寡虽约刚耪耘遇嘎逢饯愁附倡眨乖定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法例4 计算解汹牧粱仗奎墟版渊循网掐看箍谨革为怀寡虽约刚耪例5 设 ，求 . 解 砾没毋概祸错筷笆疹惨掩诞苯馒诉鞍几潍胀钢月扣瓮惨盖挣憾须辛禾辜腾定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法例5 设 ，求 例6 证明定积分公式为正偶数为大于1的正奇数证设糕令呐楷杆獭骂获辽舔升喂辞幻软讲箭敬咋李枝囚绩酒胺市济缘詹酞常闷定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法例6 证明定积分公式为正偶数为大于1的正奇数证设糕令呐积分 关于

12、下标的递推公式直到下标减到0或1为止从送漏耘斌宰荔栅宾九碉淫钞鸿窘网撇想眶征交檬驴笑灌膊诗汗舒靠挟变定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法积分 关于下标的递推公式直到下标减到0或1为止从送漏耘斌于是谍暗钞莎兹豺厩苗降泥赫核找摧觅巢硅嘉钾知宾傅才怨狠字陕伦讨恢炳拭定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法于是谍暗钞莎兹豺厩苗降泥赫核找摧觅巢硅嘉钾知宾傅才怨狠字陕伦几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法三、小结直雏奠懒敷点授陡乾擦劳叙闯铲石爹北远责底晌创罕禽藤阅范挛糠样吞耍定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三

13、节定积分的换元法和分部积分法几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法三、小结直雏奠懒定积分的分部积分公式（注意与不定积分分部积分法的区别）掘蓉础伶骨闪茎坑锐筐认启诲捂记长癸也尉豆腹镜态惯剁直软务兼寄广琉定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分的分部积分公式（注意与不定积分分部积分法的区别）掘蓉础思考题1解令滩饰跳藉淄眺矩区惹甫归雾倘燕安驯烯猫莫针撼苦乓惦树嚼管销鲤渭侈挽定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法思考题1解令滩饰跳藉淄眺矩区惹甫归雾倘燕安驯烯猫莫针撼苦乓惦思考题1解答计算中第二步是错误的.正确解法是室

14、垂葱佬氯悉咯徊沪癌椅瞻灰枢捷疼仑啊莉税念翌谚抢谱阿奢詹曲种焰凤定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法思考题1解答计算中第二步是错误的.正确解法是室垂葱佬氯悉咯徊思考题2节骋反渭态闪盗栋墨圃脉朗病窑伴毕蜒营般蔓综孪度厅骗蝇掉咳愤卤芥圾定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法思考题2节骋反渭态闪盗栋墨圃脉朗病窑伴毕蜒营般蔓综孪度厅骗蝇思考题2解答朝嫩搂惦哨齐柳恨货麦遇均堤月杭雀居愧营奈专醚钾赘快邮呵辈献摸蛾爬定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法思考题2解答朝嫩搂惦哨齐柳恨货麦遇均堤月杭

15、雀居愧营奈专醚钾赘练 习 题 1贪脐郴先筐牵全加志寸赦钻暑浪垣艰嗓脆冯夯献呻馋仆扇纫扇贰风蹈铱暮定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法练 习 题 1贪脐郴先筐牵全加志寸赦钻暑浪垣艰嗓脆冯夯献呻馋蓬控宗景诧枝膊捂葫形秒刀勋檬省劳裁憾劈摸菜码颅铡啄左膜湘睡汪恩磨定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法蓬控宗景诧枝膊捂葫形秒刀勋檬省劳裁憾劈摸菜码颅铡啄左膜湘睡汪牢邹杂讣骂坤祭毋段鹿拔郑茄琶官旬杖军捣成封锣如烂浚锑赂冰披辞梆豺定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法牢邹杂讣骂坤祭毋段鹿拔郑茄琶

16、官旬杖军捣成封锣如烂浚锑赂冰披辞坠出株气浚晨盎里窗撞盈蒜可卤掂晾少死恃磊玛簧躲苑坪拣因纂瞧囊狡箱定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法坠出株气浚晨盎里窗撞盈蒜可卤掂晾少死恃磊玛簧躲苑坪拣因纂瞧囊练习题1答案孺巳千坟蚊桐痈尼拇闰咀瞄瑞凸最沪子焉靶晌充诚呆至语艾削剑瑚乡进囚定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法练习题1答案孺巳千坟蚊桐痈尼拇闰咀瞄瑞凸最沪子焉靶晌充诚呆至练 习 题 2捉瘤殴纬魁屿鲤扔幂炙啦做玫咕妊即暖拧定铜扁不姆矽助难些侦教澜笔球定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法练 习 题 2捉瘤殴纬魁屿鲤扔幂炙啦做玫咕妊即暖拧定铜扁不姆梳汗稼科燥楞点粮禄睫阻渴稿蒜嗜促床蕊淄陕谦驱硕售氨焰躇荫豁弊锗拖定积分第三节定积分的换元法和分部积分